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13.1.2 第1课时
线段垂直平分线的性质
人教版 八年级上册
教学目标
【教学目标】
1.知识与技能
（1）掌握线段垂直平分线的性质和判定。
（2）能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题。
2.过程与方法
探究线段垂直平分线的性质，培养学生认真探究、积极思考的能力。
3.情感态度和价值观
在探究的过程中，更大程度的激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力。
【重点】线段垂直平分线的性质
【难点】线段垂直平分的性质的运用
回顾复习
垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
l⊥AB，垂足为O，且AO=BO，则l是线段AB的垂直平分线.
新知探究
如图，直线ι垂直平分线段AB，P1、P2、P3…是ι上的点，分别量一量点P1、P2、P3…，到点A与点B的距离，你有什么发现？
P1A=P1B;P2A=P2B;P3A=P3B …
由此你能得到什么规律？
新知探究
猜想：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
求证：PA =PB．
证明：∵　l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
　又 AC =CB，PC =PC，
　∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
　∴ PA =PB．
P
A
B
l
C
新知探究
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
用符号语言表示为：
∵ CA =CB，l⊥AB，
∴ PA =PB．
A
B
P
C
l
性质定理
针对练习
1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是(　 　)
A．2
B．4
C．6
D．8
C
针对练习
解：∵　AD⊥BC，BD =DC，
∴　AD 是BC 的垂直平分线，
∴　AB =AC．
∵　点C 在AE 的垂直平分线上，
∴　AC =CE．
2.如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
A
B
C
D
E
针对练习
A
B
C
D
E
解：AB =AC =CE．
∵　AB =CE，BD =DC，
∴　AB +BD =CD +CE．
即　AB +BD =DE ．
2.如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
新知探究
　　反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？
点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB．
求证：点P 在线段AB 的垂直平
分线上．
P
A
B
C
探究
新知探究
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，
垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵　PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
P
A
B
C
新知探究
线段垂直平分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
应用格式：
∵PA =PB，
∴点P 在AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
新知探究
【性质】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
【判定】与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
从上面两个结论可以看出：
在线段AB的垂直平分线 l 上的点与点A、B的距离都相等；反过来，与A、B的距离相等的点都在直线 l 上，所以直线 l 可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合.
例题讲解
例1.尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：如图，直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在AB两旁.
(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E.
(3)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.
(4)作直线CF.
则：直线CF就是所求作的垂线
例题讲解
∵ CD=CE，FD=FE
∴ C、F都在DE的垂直平分线上
∴ CF垂直平分DE
∴ CF⊥AB
例1.尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
已知：如图，直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C.
想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？
课堂练习
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为(　　)
A．5 cm　　 B．10 cm　　
C．15 cm　　 D．17.5 cm
C
课堂练习
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．13
C
3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（　 ）
A．41° B．42° C．43° D．44°
B
课堂练习
4.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
5.如图②所示，在△ABC中，BC=8 cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18 cm,则AC的长是 .
B
10 cm
P
A
B
C
D
图①
A
B
C
D
E
图②
6.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16 cm,则△BCE的周长是 cm.
A
B
C
D
E
16
课堂练习
7.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．
解:AD垂直平分EF.
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.
又∵ AD＝AD，
∴ △ADE≌△ADF，
∴ AE＝AF，DE＝DF.
∴ A、D均在线段EF的垂直平分线上，
即直线AD垂直平分线段EF.
A
B
C
D
E
F
课堂练习
课堂小结
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
谢谢
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