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函数的单调性
学生姓名： 年级：高一年级 科目：数学 学科教师：
课题 第五讲 函数的单调性
授课类型 基础知识回顾 经典例题再现 巩固提升
教学目标 1.理解函数的单调性定义； 2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性； 3.学会运用单调性的定义求函数的最大（小）值。
教学重难点 会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性
授课日期及时段
教学内容
一、函数单调性的定义 1、图形描述： 对于函数的定义域I内某个区间D上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说函数在区间D上为单调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数在区间D上为单调递减函数。 2、定量描述 对于函数的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值， （1）若当时，都有,则说在区间D上是增函数； （2）若当时，都有,则说在区间D上是减函数。 3、单调性与单调区间 若函数=在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 特别提醒： 1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数（图1），当时是增函数，当时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的。2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。 二、用定义证明函数的单调性： 定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是： 1、取量定大小：即设是区间上的任意两个实数，且<； 2、作差定符号：即，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形； 3、判断定结论： 即根据定义得出结论。 三、判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论 1、函数与函数的单调性相反 2、当恒为正或恒为负时，函数与函数的单调性相反 3、在公共区间内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数。 四、复合函数单调性的判断 对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表： 增 ↗减 ↘ 增 ↗减 ↘增 ↗减 ↘ 增 ↗减 ↘减 ↘增 ↗
以上规律还可总结为：“同增异减”。 类型一、函数的单调性的证明 例1.已知：函数 （1）讨论的单调性. （2）试作出的图象. 【变式1】 证明函数在上是增函数. 【变式2】讨论函数的单调性，并证明你的结论. 类型二、求函数的单调区间 例2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2； (2) 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|； (2)　　　　(3) ；（4）y=|x2-2x-3|. 【变式2】已知的定义域为，且当时.若对于任意两个正数和都有，试判断的单调性. 【变式3】已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3. . 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 例3. 已知函数是定义域为的单调增函数． （1）比较与的大小； （2）若，求实数的取值范围． 例4. 求下列函数的值域： (1)； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2) ； (3) ； (4). 【变式1】已知当的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值. （1）[0，3]；（2）[-1，1]；（3）[3，+∞）. 【变式2】已知函数. (1)判断函数f(x)的单调区间； (2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域. 变式3. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1. (1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围； (2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象. 【变式4】 求在区间[0，2]上的最大值和最小值. 类型四：利用函数的单调性求参数的取值范围 例5. 已知函数在区间是增函数，求及的取值范围． 【变式1】函数在内单调递减，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【变式2】函数在区间[1，2]上单调，则（ ）. A. B. C. D. 【变式3】已知函数在区间上是增函数，求的取值范围。 【变式4】已知函数. （1） 当时，求函数的最大值和最小值； （2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数。
1．定义域上的函数对任意两个不相等的实数，总有，则必有( ) A．函数先增后减 B．函数先减后增 C．函数是上的增函数 D．函数是上的减函数 2．在区间上为增函数的是( ) A． B． C． D． 3．函数的一个单调递减区间可以是（ ） A.[-2，0] B.[0，2] C.[1，3] D. [0，+∞） 4．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 5．函数的值域为( ) A． B． C． D． 6．设，函数的图象关于直线对称，则之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7．函数的单调区间是____________________. 8．函数的值域是____________. 9．若函数在上是减函数，是增函数，则 . 10．已知一次函数在上是增函数，且其图象与轴的正半轴相交，则的取值范围是 . 11．已知函数是上的减函数，且的最小值为正数，则的解析式可以为 .（只要写出一个符合题意的解析式即可，不必考虑所有可能情形） 12．设，判断函数的单调性，并写出单调区间. 13．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值范围. 14．已知函数. ① 当时，求函数的最大值和最小值； ② 求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.

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