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1.3.2函数的奇偶性
一、学习目标
（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）学会判断函数的奇偶性．
二、自主学习
问题1：观察下列函数的图象，从对称的角度你发现了什么？
根据填下列表格：
x …… -3 -2 -1 0 1 2 3 ……
f (x)
根据填下列表格：
x …… -3 -2 -1 1 2 3 ……
f (x)
结合图像请说明自变量为x与-x时，函数值的关系是什么？
当函数图像关于y轴对称时，有
当函数图像关于原点对称时，有
总结：1．偶函数的定义
2．奇函数的定义
总结: 判断函数奇偶性的基本格式
判断定义域是否关于原点对称；
判断,则为奇函数；
三、知识应用
一．结合你对函数奇偶性概念的理解回答下列问题。
1.下面四个结论：①偶函数的图象一定与轴相交；②奇函数的图象一定经过原点；③偶函数的图象关于轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是，其中正确命题的个数是（　　）A.1 B.2 C.3 D.4
2、如果定义在区间上的函数为奇函数，则 ___
3、若函数在上是奇函数，则a= _________．
4、若为偶函数，则实数
5、（1）判断函数的奇偶性.
(2)函数的图像一部分如图所示，你能根据函数的
奇偶性作出它在y轴左边的图像吗？
二．判断下列函数的奇偶性.
1、常见函数奇偶性的判断
(4)
2、分段函数奇偶性判断
归纳：判断函数奇偶性的方法：
1、定义法
（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
（2）确定f(－x)与f(x)的关系；
（3）作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
2、图像法
若函数图像关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称，则函数为偶函数。
3、性质法
奇函数，偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性如下：
g(x)
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 奇函数 奇函数
奇函数 偶函数 奇函数 奇函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 偶函数
第二课时 函数奇偶性的性质
函数奇偶性的重要性质
奇函数：
（1）奇函数的定义域都关于原点对称
（2）若奇函数的定义域包含数，则
（3）奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数
（4）奇函数的图像关于原点对称
(5)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；
偶函数：
（1）偶函数的定义域都关于原点对称
（2）偶函数的图像关于Y轴对称
(3)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数
(4)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(5)偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
知识应用
函数奇偶性常见应用
一.利用奇偶性求参数（求函数表达式中的参数，求定义域中的参数）
1、已知函数f(x)是偶函数,则实数=____________。
2、为奇函数，则a= _________．
为偶函数，则a= _________．
3、若函数是偶函数，其定义域为，则a=______，b=_______．
二、利用奇偶性求值（思想方法：利用奇偶性将所求量转化到已知的范围）
4、已知函数
5、设函数是定义在R上的偶函数，且,,求
三、利用奇偶性求解析式
1、已知函数是奇函数，当时解析式为，求这个函数在区间上的表达式。
2、若是定义在R上的偶函数，当时，，求当时的解析式
3、若是定义在R上的奇函数，当 .
4、f(x),g(x)的解析式
四、综合应用
1.定义在R上的偶函数在上是增函数，则（　　）
A.B.
C.D.
2、设函数是是定义在R上的奇函数，且在区间上是减函数，若，则实数的取值范围是 .
3、设函数是是定义在上的偶函数，且在区间上是减函数，若，则实数的取值范围是 .
五、补充练习
1.若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
2.若奇函数在区间上为增函数，且有最小值8，则它在区间上（　）
A.是减函数，有最小值－8 B.是增函数，有最小值－8
C.是减函数，有最大值－8 D.是增函数，有最大值－8
3.已知是定义在上的偶函数,且在[0,2]内是增函数，试解不等式
4．设定义在上的奇函数在上是单调递减，若，求实数m的取值范围.
5.设函数是定义在上的偶函数，且在区间上是减函数，实数满足不等式：，求实数的取值范围．
6.已知函数是定义域在上的偶函数，且在区间上单调递减，求满足不等式的解集．
奇偶性练习题
一、单选题
1．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是(　　)
A. B. C. D.
2．设偶函数的定义域为，当时，是减函数，则的大小关系是（）
A. B.
C. D.
3．已知，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数是R上的偶函数，且在上是减函数，若，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．或 C． D．
5．已知函数为偶函数，且在区间上单调递增，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．奇函数在上单调递增，若，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．定义在R上的偶函数，对任意的，都有，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．已知是定义域为的奇函数，且当时，，则( )
A． B．0 C．1 D．2
9．已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则 的解集为（ ）A． B． C． D．
二、解答题
10．已知函数是定义在上的偶函数，当时，现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示．
(1)画出函数在轴右侧的图象，并写出函数在上的单调递增区间；
(2)求函数在上的解析式．
11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，求该函数解析式.
12．已知定义在上的函数是增函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）若函数是奇函数，且，解不等式.
13．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有.
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性.
14．函数是定义在上的偶函数,当时,．
求的函数解析式；
写出函数的单调区间及最值；
当关于的方程有四个不同的解时,求的取值范围．
15．函数的定义域为，且对任意，有，且当时，，
(Ⅰ)证明是奇函数；
(Ⅱ)证明在上是减函数；
(III)若,，求的取值范围.

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