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平面向量、复数 二轮讲义
从高考的考查情况来看，平面向量主要命题方向：向量的线性运算、向量的数量积运算，利用向量数量积解决模长、夹角问题，平行或垂直问题、平面向量基本定理及应用，有时也会与三角函数、平面解析几何进行交汇命题共线向量定理，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度不大．考查考生的直观想象、数学运算核心素养和方程思想、数形结合思想的运用．同时，在高考中复数及其运算也是新高考的一个必考点，内容比较简单，主要考查复数的有关概念和复数的四则运算.
【重点讲解】
重点1：平面向量的线性运算
1、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：．
⑷运算性质：①交换律：；
②结合律：；③．
2、向量减法运算：
三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
3、向量数乘运算：
⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．
①；
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．
⑵运算律：①；②；③．
【例1】如图，在等腰中，已知，，E，F分别是边AB，AC上的点，且，，其中，，且，若线段EF，BC的中点分别为M，N，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在等腰中，已知则，因为分别是边的点，所以，而，左右两边平方得，
又因为，所以，
所以当时，的最小值为，即的最小值为.
【跟踪训练1】(1)．已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连结，则为的中位线，
，
故选：A
(2)．在中，点D满足，E为上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将，当作基底来表示，根据向量的共线定理确定，从而可求出.
【解析】因为，所以，
则，
因为A，E，D三点共线，
所以，所以．
故选：D.
重点2：平面向量的坐标运算及向量共线的充要条件
1、坐标运算
加法：设，，则．
减法：设，，则．
数乘：⑶坐标运算：设，则．
两点：设、两点的坐标分别为，，则．
分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．
（当
2、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．
设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．
【例2】已知向量，满足，，，则（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】设，，所以，且，解得，，即，.所以，则，解得，故.
【跟踪训练2】(1)．设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】试题分析：若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.
【名师点睛】判断充分必要条件的的方法：（1）根据定义，若，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么，互为充要条件；若，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知
,若，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么，互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将是条件的判断，转化为是条件的判断.
(2)．设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．
【答案】
【解析】因为向量与平行，所以，则所以．
【例3】已知，，，且不共线，则（　 　）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
【答案】B
【解析】解：，，，且不共线，
，
已知，，即与共线，则,,三点共线，
【跟踪训练3】(1)已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【解析】因为，，，
选项A，，，若A，B，D三点共线，则，即，解得，故该选项正确；
选项B，，，若A，B，C三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；
选项C，，，若B，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；
选项D，，，若A，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；
故选：A.
(2)．在中，点D满足，E为上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
则，
因为A，E，D三点共线，
所以，所以．
故选：D.
重点3：平面向量数量积的概念及其几何意义
1、．零向量与任一向量的数量积为．
2、性质：设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反向时，；或．③．
3、运算律：①；②；③．
4、坐标运算：设两个非零向量，，则．
若，则，或． 设，，则．
5、设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．
【例4】边长为2的正六边形ABCDEF中，M为边CD上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．6 C．4 D．
【答案】A
【解析】如图：以正六边形的中心为原点，所在直线为轴，
的垂直平分线所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，设，
则，
，因为M为边CD上的动点，
所以，即，解得
所以，令，
则结合二次函数的性质可知，
【跟踪训练4】如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：；.
重点5：复数的运算
设 ， 则:
①加法： ；
②减法： ；
③乘法： ；
④除法： 。（最常考）
例5．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
故选 ：C
【跟踪训练5】（1）．已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由,得,即
故选:
（2）．复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，则，
∴.
故选：D.
（3）．设，其中为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为R，，所以，解得：．
故选：A.
重点6：复数的综合应用
例6．任何一个复数（其中a、，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若，时，则________；对于，________．
【答案】
【解析】当，时，，所以；
，令，则，
，
，
而，则，，
所以.
故答案为：-i；
【跟踪训练6】（1）．对任意复数、，定义，其中是的共轭复数.对任意复数、、，有如下四个命题：
①； ②；
③； ④.
则真命题的个数是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：对于命题①，，命题①正确；
对于命题②，，命题②正确；
对于命题③，左边，右边
，左边右边，命题③错误；
对于命题④，取，，则，，
命题④错误.故选B.
（2）．任意一个复数都可以表示成三角形式即.棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立的，指的是设两个复数（用三角函数形式表示），，则：，”已知复数，则______.
【答案】1
【解析】由，
所以，
而，
所以.
故答案为：1

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