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2023届圆锥曲线二级结论运用（一）
一、结论速记
1.有心圆锥曲线定义: 圆、椭圆、双曲线都有对称中心, 统称为有心圆锥曲线，它们统一的标准方程为: .
2.有心圆锥曲线垂径定理: 已知直线与曲线 交于两点, 的中点为 若直线和( 为坐标原点) 的斜率都存在, 则.
3.点在圆锥曲线上，为曲线上异于P的两点，且A、B关于原点对称, 则必有.
二、结论证明
1.证：已知直线与曲线 交于两点, 的中点为 若直线和( 为坐标原点) 的斜率都存在, 则.
设，，把代入得①②
①-②得，
，
2.证：点在圆锥曲线上，为曲线上异于P的两点，且A、B关于原点对称, 则必有.
设，，，把代入得
① ②
①-②得，，
三、典例分析
例1.椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
对点练习
1.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点．若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
2.已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为，若的斜率之和为-2，则 （ ）
A．-4 B． C．4 D．6
例2.设双曲线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
对点练习
1.已知过原点的动直线l与椭圆交于A，B两点，D为椭圆C的上顶点，若直线，的斜率存在且分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知点，是双曲线（，）的左、右顶点，，是双曲线的左、右焦点，若，是双曲线上异于，的动点，且直线，的斜率之积为定值，则（ ）
A．2 B． C． D．4
例3.（1）已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、．若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2）已知是双曲线上任意一点，，是双曲线上关于坐标原点对称的两点，且直线，的斜率分别为，若的最小值为1，则实数的值为（ ）
A．16 B．32 C．1或16 D．2或8
对点练习
1.（多选）已知动点P在左、右焦点分别为、的双曲线C上，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为2 B．当P在双曲线左支时，的最大值为
C．点P到两渐近线距离之积为定值 D．双曲线C的渐近线方程为
2.已知A，B是椭圆长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为.若椭圆的离心率为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3.点 分别为椭圆的左 右顶点，直线与椭圆相交于 两点，记直线 的斜率分别为 ，则的最小值为___________
四、综合练习
1.已知点，动点满足：，直线与点的轨迹交于，两点，则直线，的斜率之积（ ）
A． B． C． D．不确定
2.（多选）已知椭圆的离心率为，的三个顶点都在椭圆上，为坐标原点，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在直线的斜率分别，，，且，，均不为，则（ ）
A．
B．直线与直线的斜率之积为
C．直线与直线的斜率之积为
D．若直线，，的斜率之和为，则的值为
3.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线与直线的斜率之积为
C．存在点满足
D．若的面积为，则点的横坐标为
4.（多选）已知双曲线的离心率为2，点，是上关于原点对称的两点，点是的右支上位于第一象限的动点（不与点、重合），记直线，的斜率分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A．以线段为直径的圆与可能有两条公切线
B．
C．存在点，使得
D．当时，点到的两条渐近线的距离之积为3
5.（多选）如图，已知椭圆的左 右顶点分别是，上顶点为，在椭圆上任取一点，连结交直线于点，连结交于点(是坐标原点)，则下列结论正确的是（ ）
A．为定值 B．
C． D．的最大值为
6.双曲线的左右顶点为，以为直径作圆，为双曲线右支上不同于顶点的任一点，连接交圆于点，设直线的斜率分别为，若，则_____.
2023届圆锥曲线二级结论运用（一）解析
一、结论速记
1.有心圆锥曲线定义: 圆、椭圆、双曲线都有对称中心, 统称为有心圆锥曲线，它们统一的标准方程为: .
2.有心圆锥曲线垂径定理: 已知直线与曲线 交于两点, 的中点为 若直线和( 为坐标原点) 的斜率都存在, 则.
3.点在圆锥曲线上，为曲线上异于P的两点，且A、B关于原点对称, 则必有.
二、结论证明
1.证：已知直线与曲线 交于两点, 的中点为 若直线和( 为坐标原点) 的斜率都存在, 则.
设，，把代入得①②
①-②得，
，
2.证：点在圆锥曲线上，为曲线上异于P的两点，且A、B关于原点对称, 则必有.
设，，，把代入得
① ②
①-②得，，
三、典例分析
例1.椭圆与直线交于、两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【解析】联立椭圆方程与直线方程，得，，
，，，，
中点坐标：，中点与原点连线的斜率．故选：A
对点练习
1.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点．若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设点、，则，两个等式作差得，
整理可得，设线段的中点为，即，
另一方面，，所以，，
所以，，解得，因此，椭圆的方程为.故选：D.
2.已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为，若的斜率之和为-2，则 （ ）
A．-4 B． C．4 D．6
【解析】设，则，，
，两式相减，得，即，即，同理，
得，所以；故选A.
例2.设双曲线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设，则，那么，
两式相减得：，整理得：
即 ，又因为双曲线的离心率为，
对点练习
1.已知过原点的动直线l与椭圆交于A，B两点，D为椭圆C的上顶点，若直线，的斜率存在且分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题知，可设，，则，
又在椭圆上，故，即，所以．
2.已知点，是双曲线（，）的左、右顶点，，是双曲线的左、右焦点，若，是双曲线上异于，的动点，且直线，的斜率之积为定值，则（ ）
A．2 B． C． D．4
【解析】设，，，则，，
所以，
又因为，所以，．又因为，
所以，，所以．故选：A．
例3.（1）已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、．若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为直线与双曲线没有公共点，
所以双曲线的渐近线的斜率，
而双曲线的离心率，
当双曲线的离心率取最大值时，取得最大值，即，即，
则双曲线的方程为，
设、、，则，
两式相减得：，即，即，
又，．故选：A.
（2）已知是双曲线上任意一点，，是双曲线上关于坐标原点对称的两点，且直线，的斜率分别为，若的最小值为1，则实数的值为（ ）
A．16 B．32 C．1或16 D．2或8
【解析】双曲线中，设，，，则，，所以相减得，∴，
因此．从而，所以（当且仅当时取等号）．故选：B．
对点练习
1.（多选）已知动点P在左、右焦点分别为、的双曲线C上，下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为2 B．当P在双曲线左支时，的最大值为
C．点P到两渐近线距离之积为定值 D．双曲线C的渐近线方程为
【解析】在双曲线C中，实半轴长，虚半轴长，半焦距.
对于AD，双曲线的离心率，渐近线方程为，故A正确，D错误；
对于B，当P在双曲线的左支上时，，
故，当且仅当时，即时等号成立，故的最大值为，故B错误；
对于C，设，则，即，而渐近线为和，故到渐近线的距离之积为为定值，故C正确.
故选：AC.
2.已知A，B是椭圆长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为.若椭圆的离心率为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设点，则椭圆的对称性知，不妨令，而点A(-a，0)，B(a，0)，则，显然有，则，
因椭圆的离心率为，即，
，则，
因，所以，当且仅当时取“=”，
即的最小值为为.故选：B.
3.点 分别为椭圆的左 右顶点，直线与椭圆相交于 两点，记直线 的斜率分别为 ，则的最小值为___________
【解析】设 ，联立，消去并整理得，
由韦达定理可得，，
设直线的斜率为，则，，
所以，，，
而，
因此，，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.
四、综合练习
1.已知点，动点满足：，直线与点的轨迹交于，两点，则直线，的斜率之积（ ）
A． B． C． D．不确定
【解析】，故，
化简整理得到，故轨迹方程为椭圆，，，
故椭圆方程为：.
设，，则，化简得到，故，
.故选：.
2.（多选）已知椭圆的离心率为，的三个顶点都在椭圆上，为坐标原点，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在直线的斜率分别，，，且，，均不为，则（ ）
A．
B．直线与直线的斜率之积为
C．直线与直线的斜率之积为
D．若直线，，的斜率之和为，则的值为
【解析】对于A：因为椭圆的离心率，所以，因为，
所以，故选项A正确；
对于B：设，，，则，，
所以，，两式相减可得：，
即，所以，
，故选项B不正确；
对于C:由选项B同理可得，故选项C正确；
对于D：由选项B同理可知，
可得，，
由已知可得，即，
所以，故选项D正确；
故选：ACD.
3.（多选）已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线与直线的斜率之积为
C．存在点满足
D．若的面积为，则点的横坐标为
【解析】由题意，，，，，短轴一个顶点，
，A错；
设，则，，
所以，B正确；
因为，所以，从而，而是椭圆上任一点时，当是短轴端点时最大，因此不存在点满足，C错；
，，，则，，D正确．
故选：BD．
4.（多选）已知双曲线的离心率为2，点，是上关于原点对称的两点，点是的右支上位于第一象限的动点（不与点、重合），记直线，的斜率分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A．以线段为直径的圆与可能有两条公切线
B．
C．存在点，使得
D．当时，点到的两条渐近线的距离之积为3
【解析】当点，分别是的左、右顶点时，圆与恰有两条公切线，故A正确；
设，，，则，则，
所以，故B正确；
，故C错误；
当时，，渐近线方程为，即，
点到两条渐近线的距离之积为，
双曲线，点是的右支上位于第一象限，则，
整理可得，代入上式可得，故D正确．
故选：ABD．
5.（多选）如图，已知椭圆的左 右顶点分别是，上顶点为，在椭圆上任取一点，连结交直线于点，连结交于点(是坐标原点)，则下列结论正确的是（ ）
A．为定值 B．
C． D．的最大值为
【解析】椭圆的左右顶点分别，
因为点在椭圆上，所以设点的坐标为，，
对于A，，所以A正确；
对于B，因为，
所以直线为，令，得，所以点的坐标为，所以，所以，所以B正确；
对于C，因为，所以，所以，所以C正确；
对于D，直线为，直线为，
由两直线的方程联立方程组，解得，
所以点的坐标为，因为，
所以，
当时，
所以的最大值为错误，故选：ABC
6.双曲线的左右顶点为，以为直径作圆，为双曲线右支上不同于顶点的任一点，连接交圆于点，设直线的斜率分别为，若，则_____.
【解析】设，，，
，交圆于点，所以，
易知:，即.

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