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专题四 图象平移
1．将函数y＝sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为（　　）
A． B．0 C． D．
2．将函数f（x）＝sin（2x+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（　　）
A． B． C． D．
3．已知，为函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象与x轴的两个相邻交点的横坐标，将f（x）的图象向左平移个单位得到g（x）的图象，A，B，C为两个函数图象的交点，则△ABC面积的最小值为（　　）
A．2π B．π C．2π D．π
4．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0，φ∈（0，π））的图象与x轴的两个交点的最短距离为．若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到的新函数图象关于（0，﹣1）中心对称，则φ＝（　　）
A． B． C． D．
5．已知A（x1，0），B（x2，0）两点是函数f（x）＝2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，φ∈（0，π））与x轴的两个交点，且满足|x1﹣x2|min＝，现将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到的新函数图象关于y轴对称，则φ的可能取值为（　　）
A． B． C． D．
6. 下列命题中正确的是（ ）
A．将的图象沿轴向右平移个单位，得到的图象
B．函数的图象，当时由的图象向右平移个单位得到
C．的图象可由的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的倍得到
D．的图象可由的图象上各点横坐标不变，纵坐标缩小为原来的倍得到．
7. 函数的图象可由的图象至少向右平移_________个单位长度得到.
8．函数y＝sinx﹣cosx的图象可由函数y＝sinx+cosx的图象至少向右平移　 　个单位长度得到．
9. 函数与函数图象的交点个数有____________个.
10.将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，则函数y=f（x）+g（x）的最大值为__________.
11. 已知向量，函数
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和．专题四 图象平移
一．选择题（共7小题）
1．将函数y＝sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为（　　）
A． B．0 C． D．
【分析】直接利用三角函数的关系式的平移变换的应用和函数的奇偶性的应用求出结果．
【解答】解：函数y＝sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位，
得到f（x）＝sin（2x++φ），
由于函数f（x）为偶函数，
故+φ＝kπ+，
整理得：φ＝kπ+（k∈Z），
当k＝0时，φ＝，
当k＝﹣1时，φ＝．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的平移变换，三角函数的奇偶性，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
2．将函数f（x）＝sin（2x+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（　　）
A． B． C． D．
【分析】求出平移后的函数解析式，利用两个函数都经过P（0，），解出θ，然后求出φ即可．
【解答】解：函数向右平移φ个单位，得到g（x）＝sin（2x+θ﹣2φ），
因为两个函数都经过P（0，），所以，，
所以g（x）＝sin（2x+﹣2φ），sin（﹣2φ）＝，φ＞0，所以﹣2φ＝2kπ+，φ＝﹣kπ，与选项不符舍去，
﹣2φ＝2kπ+，k∈Z，当k＝﹣1时，φ＝．
故选：B．
【点评】本题考查函数图象的平移，函数值的求法，考查分析问题解决问题的能力与计算能力．
3．已知，为函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象与x轴的两个相邻交点的横坐标，将f（x）的图象向左平移个单位得到g（x）的图象，A，B，C为两个函数图象的交点，则△ABC面积的最小值为（　　）
A．2π B．π C．2π D．π
【分析】由题意利用正弦函数的周期性求得f（x）的解析式，再利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，利用正弦函数的图象和性质，求得△ABC面积的最小值．
【解答】解：已知，为函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象与x轴的两个相邻交点的横坐标，
＝﹣，∴ω＝2．
由f（）＝0，可得2 +φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝﹣，f（x）＝2sin（2x﹣）．
将f（x）的图象向左平移个单位得到g（x）＝2sin（2x+﹣）＝2cos（2x﹣） 的图象，
A，B，C为两个函数图象的交点，
令2sin（2x﹣）＝2cos（2x﹣），可得2x﹣＝kπ+，即x＝+，k∈Z．
把代入f（x）的解析式，可得交点纵坐标为±，
则△ABC面积的最小值为 π 2＝π，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于基础题．
4．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0，φ∈（0，π））的图象与x轴的两个交点的最短距离为．若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到的新函数图象关于（0，﹣1）中心对称，则φ＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，求得结果．
【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0，φ∈（0，π））的图象与x轴的两个交点的横坐标满足sin（ωx+φ）＝，
f（x）的图象与x轴的两个交点的最短距离为＝ ，∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x+φ）﹣1．
若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin（2x++φ）﹣1的图象，
若得到的新函数图象关于（0，﹣1）对称，则+φ＝kπ，k∈Z，
∵φ∈（0，π），∴φ＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
5．已知A（x1，0），B（x2，0）两点是函数f（x）＝2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，φ∈（0，π））与x轴的两个交点，且满足|x1﹣x2|min＝，现将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到的新函数图象关于y轴对称，则φ的可能取值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意，|x1﹣x2|min＝，设x1＞x2，；A（x1，0），B（x2，0）两点是函数f（x）＝2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，φ∈（0，π））与x轴的两个交点，不妨令x1ω+2φ＝，x2ω+2φ＝，即（x1﹣x2）ω＝；∴ω＝2
结合f（x）的图象向左平移个单位，得到的新函数图象关于y轴对称，即+φ＝，可得φ的可能取值．
【解答】解：由题意，|x1﹣x2|min＝，令f（x）＝0，可得sin（ωx+φ）＝，
由A（x1，0），B（x2，0）两点是函数f（x）＝2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，φ∈（0，π））与x轴的两个交点，
设x1＞x2，不妨令x1ω+2φ＝，x2ω+2φ＝，即（x1﹣x2）ω＝；∴ω＝2
∴f（x）＝2sin（2x+φ）+1
函数f（x）的图象向左平移个单位，得到的新函数图象关于y轴对称，即+φ＝，
可得φ＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．
6. 下列命题中正确的是（ ）
A．将的图象沿轴向右平移个单位，得到的图象
B．函数的图象，当时由的图象向右平移个单位得到
C．的图象可由的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的倍得到
D．的图象可由的图象上各点横坐标不变，纵坐标缩小为原来的倍得到．
【解析】由三角函数图象的平移变换可判断A、B选项的正误；利用三角函数图象的伸缩变换可判断C、D选项的正误.
【详解】对于A：将的图象沿轴向右平移个单位，得到的图象，A选项错误；
对于B：当时，的图象向左平移个单位可得的图象，B选项错误；
对于C：正确；
对于D：图象上各点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的倍可得的图象，D项错误．
故选：C.
【点睛】本题考查有关三角函数图象变换的命题真假的判断，属于基础题.
二．填空题（共4小题）
7. 函数的图象可由的图象至少向右平移____个单位长度得到.
【分析】结合辅助角公式对目标函数进行变形得，从而可得到正确答案.
【详解】解：，
所以的图像至少向右平移个单位长度得到.
故答案为: .
【点睛】本题考查了辅助角公式的应用，考查了三角函数图像的平移变换.本题的关键是对目标函数的解析式进行整理变形.
8．函数y＝sinx﹣cosx的图象可由函数y＝sinx+cosx的图象至少向右平移　　个单位长度得到．
【分析】令f（x）＝sinx+cosx＝2sin（x+），则f（x﹣φ）＝2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）＝2sin（x﹣），由﹣φ＝2kπ﹣（k∈Z），可得答案．
【解答】解：∵y＝f（x）＝sinx+cosx＝2sin（x+），y＝sinx﹣cosx＝2sin（x﹣），
∴f（x﹣φ）＝2sin（x+﹣φ）（φ＞0），
令2sin（x+﹣φ）＝2sin（x﹣），
则﹣φ＝2kπ﹣（k∈Z），
即φ＝﹣2kπ（k∈Z），
当k＝0时，正数φmin＝，
故答案为：．
【点评】本题考查函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ＝2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．
9. 函数与函数图象的交点个数有__2018__个.
【分析】首先画出函数的图象，分析两个函数的性质，由图象分析两个函数的交点个数.
【详解】首先画出函数的图象，当时，的周期为2，最大值为1，
当时， ，
共有个周期，每一个周期有两个交点，由图象分析可知共有个交点，
当时，由图象可得，只有1个交点，
综上可知，两个函数的交点个数是2018个.
故答案为：2018
【点睛】本题考查函数交点个数，意在考查数形结合分析问题的能力，属于中档题型，本题的关键是正确画出函数的图象，并正确计算包含的周期个数.
10.将函数f（x）=sinx的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，则函数y=f（x）+g（x）的最大值为_________.
【详解】由题意得，将函数f(x)=sinx的图象向右平移个单位，得g（x)=sin(x-），所以函数y=f(x)+g(x)=sinx+sin(x-)=sinx-cosx=xin（x-）所以函数的最大值为.
三．解答题（共1小题）
11.已知向量，函数
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和．
【分析】（1）利用恒等变换化简后，结合三角函数的性质求解；
（2）利用图象变换法则求得的函数表达式，解方程求得的值，利用换元思想，结合三角函数的图象和性质分析求得．
【解答】(1)解：由题意，向量，
可得
(2)解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
因为，则或，
即或．
令，当时．，
画出的图象，如图所示：
可得有两个根，关于对称，即，
由，可得，
即在上有两个不同的根，
则，所以，
又由的根为，
所以方程在内所有根的和为．

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