资源简介

2023解圆锥曲线微专题——定义及其运用
一、圆锥曲线的定义
1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2.双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
3.抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线．
二、典例分析
例1（1）已知定圆，圆，动圆与定圆外切，与定圆内切．求动圆圆心的轨迹方程.
（2）已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程？
（3）已知动点到定点的距离比到轴的距离大.求动点的轨迹的方程.
对点练习
1.已知点的坐标为，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线
2.（多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（ ）
A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线
3.（多选）已知点是圆：上一动点，点，若线段的垂直平分线交直线于点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的轨迹是椭圆 B．点的轨迹是双曲线
C．当点满足时，的面积
D．当点满足时，的面积
例2（1）设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是（ ）
A．(6，＋∞) B．[6，＋∞) C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
（2）已知点，．设点满足，且，，则的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
（3）已知曲线上任意一点满足，则曲线上到直线的距离最近的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
对点练习
1.已知双曲线的方程为，点是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是__________.
2.动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（ ）
A．2 B．6 C． D．10
例3在平面直角坐标系内，已知双曲线：()，
（1）若的一条渐近线方程为，求的方程；
（2）设、是的两个焦点，为上一点，且，△的面积为，求的值；
（3）若直线与交于、两点，且坐标原点O始终在以AB为直径的圆内，求的取值范围.
对点练习
1.已知，则的最值为_________.
2.已知，是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，那么的值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．随变化而变化
三、综合练习
1.已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（ ）
A． B． C． D．
2.如果双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点为双曲线上的动点，已知，则的值可能为（ ）
A． B．2 C． D．4
3.（多选）已知，是椭圆：的左 右焦点，且，分别在椭圆的内接的与边上，圆是的内切圆，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为定值8
B．当点与上顶点重合时，圆的方程为
C．为定值
D．当轴时，线段交轴于点，则
4.已知圆：，圆：，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为____________.
5.已知点，点Р是圆C：上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．
（1）求点E的轨迹方程；
（2）若直线与点E的轨迹有两个不同的交点F和Q，且原点О总在以FQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．
6.在平面直角坐标系Oxy中，点F(1，0)，D为直线l:x=-1上的动点，过D作l的垂线，该垂线与线段DF的垂直平分线交于点M，记M的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）若过点F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与直线x=1分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
7.已知为圆的圆心，是圆上的动点，点，若线段的中垂线与相交于点.
（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与点的轨迹分别相交于，两点，且与圆相交于，两点，求的取值范围.
2023解圆锥曲线微专题——定义及其运用解析
一、圆锥曲线的定义
1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2.双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
3.抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线．
二、典例分析
例1（1）已知定圆，圆，动圆与定圆外切，与定圆内切．求动圆圆心的轨迹方程.
【详解】设动圆的半径为，由图可知，圆内含于圆，圆的半径为，圆的半径为.
动圆与定圆外切，则，动圆与定圆内切，则，
由题意知：，根据椭圆定义，圆心的轨迹是以原点为中心，、为焦点，长半轴长，半焦距的椭圆，，的方程为；
（2）已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程？
解：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
（3）已知动点到定点的距离比到轴的距离大.求动点的轨迹的方程.
解析：由题意得轨迹方程为焦点在轴上，准线为的抛物线
则，即，故轨迹的方程为.
对点练习
1.已知点的坐标为，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线
【解析】由题意，圆，可得圆心坐标为，半径为，
因为线段的垂直平分线交于，可得，
所以，
根据椭圆的定义，可得点的轨迹为以、为焦点的椭圆.故选：B.
2.（多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（ ）
A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线
【解析】由题意知，定点，，可得，
因为，可得，当且仅当，即时等号成立．
当时，可得的，此时点的轨迹是线段；
当时，可得，此时点的轨迹是椭圆．故选：BC．
3.（多选）已知点是圆：上一动点，点，若线段的垂直平分线交直线于点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的轨迹是椭圆
B．点的轨迹是双曲线
C．当点满足时，的面积
D．当点满足时，的面积
【解析】依题意，，，因线段的垂直平分线交直线于点，于是得，当点在线段的延长线上时，，当点在线段的延长线上时，，从而得，由双曲线的定义知，点的轨迹是双曲线，故A错，B对；选项C，点的轨迹方程为，当时，，
所以，故C对；选项D，当时，，所以，故D对，
故选：BCD.
例2（1）设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是（ ）
A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
【解析】∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴，即，
又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，
∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为．故选：D.
（2）已知点，．设点满足，且，，则的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解析】因为，所以点在以，为焦点，实轴长为6，焦距为10的双曲线的右支上，则双曲线的方程为．由题意知在圆上，在圆上，
如图所示，，，则．
当是延长线与圆的交点，是与圆的交点时取等号．故选：C．
（3）已知曲线上任意一点满足，则曲线上到直线的距离最近的点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【解析】 设,则,
点的轨迹是以，为焦点的椭圆. 曲线的方程是：，设与直线平行且与曲线相切的直线方程为.由得，，，，
当时，，；当时，，；又中靠近的点应该在椭圆的下方，曲线上到直线的距离最近的点的坐标是.
故选：
对点练习
1.已知双曲线的方程为，点是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是__________.
【解析】如图
∵双曲线的方程为，右焦点坐标为，连接.
由双曲线的定义，得.∴.
因为点是圆上的点，此时圆心为，半径为1，
∴，∴，
当点M，A在线段上时上式取等号，即的最小值为.
2.动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（ ）
A．2 B．6 C． D．10
【解析】根据题意，设，则，
即：，为的左焦点，
设的右焦点为，则，
从而，
当共线，且在线段上时取等号，故的最小值为6.故选：B．
例3在平面直角坐标系内，已知双曲线：()，
（1）若的一条渐近线方程为，求的方程；
（2）设、是的两个焦点，为上一点，且，△的面积为，求的值；
（3）若直线与交于、两点，且坐标原点O始终在以AB为直径的圆内，求的取值范围.
【解析】（1）由双曲线：()可得其渐近线方程为，
而的一条渐近线方程为，故即的方程为：.
（2）不妨设在第一象限，、分别为左右焦点，
则，，
而，所以，
所以，故的面积为，所以，因为，故.
（3）设，因为坐标原点O始终在以AB为直径的圆内，
故为钝角，所以即，
故即.
由可得，所以，
又，故，故且.
又可化简为，
该不等式对任意的且恒成立.故且.
对点练习
1.已知，则的最值为_________.
【解析】满足题设的点的轨迹是定点，的距离之和为定长20的椭圆，此椭圆的中心在、长半轴a满足，即.线段长为，即，所以椭圆的短半轴长.又椭圆长轴所在直线方程为.如图可知，使得椭圆与直线有公共点的m的取值范围是原点到直线的距离不超过.
即，解得.
椭圆上任意一点均满足.
由，
得的最大值为，最小值为.
2.已知，是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，那么的值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．随变化而变化
【解析】由双曲线方程知，，双曲线的渐近线方程为
直线的倾斜角为，所以，又直线过焦点，如图
所以直线与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，…………(1)，
…………(2)，由(1)+(2)得，.
故选：A
三、综合练习
1.已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题可得圆心，半径为6，是垂直平分线上的点，，
，点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，，故点的轨迹方程为.故选：B.
2.如果双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点为双曲线上的动点，已知，则的值可能为（ ）
A． B．2 C． D．4
【解析】由在双曲线的渐近线上知，，设右焦点，
由M与F关于对称知，，
故，，，双曲线方程为，设双曲线左焦点为，
若P在左支上，由双曲线定义知，；
若P在右支上，由双曲线定义知，
则根据选项的数值大小关系知，CD满足条件；
故选：CD
3.（多选）已知，是椭圆：的左 右焦点，且，分别在椭圆的内接的与边上，圆是的内切圆，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为定值8
B．当点与上顶点重合时，圆的方程为
C．为定值
D．当轴时，线段交轴于点，则
【解析】对于A：连接，根据椭圆的定义得:，则的周长为，故选项A错误；对于B：当点与上顶点重合时，此时，，直线：，与椭圆的方程联立得 可得，利用对称性知，，，，设的内切圆的半径为，，即，解得，故选项B错误；对于C：设直线：，与椭圆的方程联立得，设，，则，，得，同理可得，所以，故选项C正确；
对于D：当轴时，，，又因为，直线：，与椭圆的方程联立得，所以直线：，令，得点横坐标为4，于是，故选项D正确，
故选：CD.
4.已知圆：，圆：，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为____________.
【解析】由圆，圆得到，半径，，半径，
设动圆的半径为，∵圆在圆内，∴动圆只能在内与圆内切，不能是在动圆内，即：，
∵动圆与圆外切，∴，∵动圆与圆内切，∴，
∴，即到和到的距离之和为定值，
∴是以、为焦点的椭圆，且，，所以，
∴动圆圆心的轨迹方程为，
又圆过点，椭圆也过点，而点显然不在圆上，
所以所求轨迹方程为：.
5.已知点，点Р是圆C：上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．
（1）求点E的轨迹方程；
（2）若直线与点E的轨迹有两个不同的交点F和Q，且原点О总在以FQ为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．
【解析】（1）由题意知，，，所以，
所以E的轨迹是以C，A为焦点的椭圆，设椭圆E的方程为，
则，，所以，所以E的轨迹方程为．
（2）设，，联立，消去y得，
由得①，所以，．
因为原点О总在以FQ为直径的圆的内部，所以，
即．而，所以，
即，所以，且满足①式，所以m的取值范围是．
6.在平面直角坐标系Oxy中，点F(1，0)，D为直线l:x=-1上的动点，过D作l的垂线，该垂线与线段DF的垂直平分线交于点M，记M的轨迹为C.
（1）求C的方程；
（2）若过点F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与直线x=1分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
【解析】（1）连接，则，则根据抛物线的定义，
点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线．
则点的轨迹的方程为．
（2）设直线的方程为，，，，，
联立整理得，，，，
直线的方程为，同理：直线的方程为，
令得，，，设中点的坐标为，，
则，，所以．
．圆的半径为．
所以为直径的圆的方程为．
展开可得，，
令，可得，解得或．
所以以为直径的圆经过定点和．
7.已知为圆的圆心，是圆上的动点，点，若线段的中垂线与相交于点.
（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与点的轨迹分别相交于，两点，且与圆相交于，两点，求的取值范围.
【解析】（1）由线段的垂直平分线可得：，
所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为2，长轴长为的椭圆，
所以，，，所以椭圆的标准方程为.
（2）由（1）可知，椭圆的右焦点为，
①若直线的斜率不存在，直线的方程为，则，，，
所以，，.
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，，.
联立，可得，则，，
所以.
因为圆心到直线的距离，所以，
所以.
因为，所以.
综上，.

展开更多......

收起↑