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阿波罗尼斯圆定理及拓展及解题
一点到多点到两弧圆的定比例距离定比例分段定比例长度切线
阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A、B，则所有满足 PA/PB=k 且不等于 1
的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。
——点到两定点距离定比。见图 1。
阿氏圆是以定比 m：n（m/n=k）内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆。
点点阿氏圆方程，见图 2。
Y
P(x,y)
kL
X
O A a C B Q D
Xo
图 1 阿氏圆——点到两定点距离定比 图 2 点点阿氏圆方程
根据已知条件列方程：
x 2 y 2 k 2 L2 ， x a 2 y2 L2 ， x2 2ax a2 y2 L2
k 2x2 2ak 2x a2k 2 k 2 y2 k 2L2
k 2 1 x2 y2 2ak 2x a2k 2 0
此公式为圆方程式，证明了动点到两定点距离定比的轨迹是一个圆。
令 y 0 ，求 C 点 D 点的 x 坐标：
k 2 1 x2 2ak 2x a2k 2 0
x 1 2 2ak
2 2ak 2 2 4 k 2 1 a2k 2
2 k 1
x ak
2 1
2 2 a
2k 4 a2k 4 a2k 2
k 1 k 1
x a a ak
k 2

1 k 2 1
得到 C 点 D 点的 x 坐标：
ak 2x ak ak
2 ak
C k 2
， x
1 D

k 2 1
1
R
L
得到阿氏圆圆心的 x 坐标：
x ak
2 a
Q a 点点阿氏圆圆心公式k 2 1 k 2 1
得到阿氏圆半径：
R ak 2 k 1
题目 1 图见图 3。
绘制阿氏圆类图形、求解阿氏圆类问题，首先要绘制出阿氏圆。
绘制阿氏圆的方法一，内外分点法，内外定比分点直径圆法。几何原理，阿氏圆是内外
两个分点连线为直径的圆。见图 4。
14
a 85
7
5
14
2
.
A C B 7R5 D
120 80
120
图 3 题目 1 点到两点距离定比 图 4 运用方法一内外分点法绘制阿氏圆
绘制阿氏圆的方法二，内分点一对圆法，内分点定比点三点圆法。几何原理，到两定点
距离为定比的点在阿氏圆上，三点定圆。见图 5。
R10
0
4
285
71
.14
A C B R57
120
图 5 运用方法二内分点一对圆法绘制阿氏圆
绘制阿氏圆的方法三，两对圆法，定比点三点圆法。几何原理，到两定点距离为定比的
点在阿氏圆上，三点定圆。见图 6。
在绘制阿氏圆的基础上解题，题目 1 题解见图 8。
阿波罗尼斯圆定理扩展 1：已知平面上一动点 P 到两定圆 OA（半径 RA）、OB（半径
RB）切线（切点为 TA 、TB）的长度之比为不等于 1 的定值（PTA/PTB =k，k≠1）则点 P
的运动轨迹是一个圆——阿氏圆。——点到两圆切线定比。见图 7。
2
47
R40
2a
10
0
R
14
428
57
.1
A C B R57
120 R60
图 6 运用方法三两对圆法绘制阿氏圆
4
57
1
42
8
.1
A C B 7R5 D
120
图 7 阿波罗尼斯圆定理扩展 1——点到两圆切线定比 图 8 题目 1 题解
圆圆阿氏圆方程，见图 9。
P(x,y)
Y kL
T A
R A R B TB X
O O A C OB O
Q R D
a
Xo
图 9 圆圆阿氏圆方程
3
R150
47
R40
L
根据已知条件列方程：
x2 y2 R 2 k 2L2 x a 2 y2 2 2A ， RB L
x2 2ax a2 y2 R 2B L
2
k 2x2 2ak 2x a2k 2 k 2 y2 k 2R 2 k 2L2B
k 2 1 x2 y2 2ak 2x R 2 k 2 a2 R 2A B 0
此公式为圆方程式，证明了动点到两定圆切线长度为定比的轨迹是一个圆。
令 y 0 ，求 C 点 D 点的 x 坐标：
k 2 1 x2 2ak 2x R 2 2A k a2 R 2B 0
x 1 2 2 2 2ak 2ak
2 4 k 2 1 a2k 2 R 2A k 2R 2 B
2 k 1
x ak
2 1
a2k 4 a2k 4 k 2R 2 k 4R 2 a2k 2 R 2 2 2
k 2 2
A k RB
1 k 1 A B
x a a 1 2 1 k 2 R 2 k 2R 2 a2A B k 2 k 1 k 2 1
得到 C 点 D 点的 x 坐标：
ak 2 1 k 2 R 2 k 2A R 2B a2k 2xC k 2 1
ak 2 1 k 2 R 2A k 2R 2B a2k 2xD 2 k 1
得到阿氏圆圆心的 x 坐标：
x ak
2
Q 2 a
a
2 圆圆阿氏圆圆心公式k 1 k 1
得到阿氏圆半径：
R 1 2 1 k 2 R 2A k 2R 2B a2k 2 k 1
题目 2，点到两圆切线定比，见图 10。
3a
2a
绘制阿氏圆的方法四，三公切线法，三
公切线定比分点法。几何原理，到两定圆切 R1
5
R20
线长度为定比的点在阿氏圆上，三点定圆。
见图 11。 60
图 10 题目 2 点到两圆切线定比
4
40
绘制阿氏圆的方法五，
定比切线点一对圆法，公切
线定比分点定比切线点三点
R7
圆法。几何原理，到两定圆 5.657
切线长度为定比的点在阿氏 12
0 12
圆上，三点定圆。见图 12。 R2 8
R1
5
绘制阿氏圆的方法六，
60
定比切线点两对圆法，定比
切线点三点圆法。几何原理，
到两定圆切线长度为定比的
点在阿氏圆上，三点定圆。
见图 13。 图 11 运用方法四三公切线法绘制阿氏圆
0
5 R
2
R1
60
图 12 运用方法五定比切线点一对圆法绘制阿氏圆
15 RR 20
60 40
60
图 13 运用方法六定比切线点两对圆法绘制阿氏圆
5
45
45
30 30
R75.65712128
28
12
1
576
75
.
R
在绘制阿氏圆的基础上 3a 2a
绘制出题目 2，见图 14
R20
R15
60
图 14 题目 2 题解
扩展 1 扩展：动
点 Pp到两定点 A、B
的距离之比为定值
kp，动点 Pt到两定圆
OA（同 A 点）、OB
（同 B 点）切线的长
度之比 kt，两比值相
等（kp=kt≠1）时，
两点 Pp、Pt运动轨迹
的阿氏圆是两个同
心圆。见图 15。
图 15 扩展 1 扩展——同心阿氏圆
从前面的点点阿氏圆圆心公式和圆圆阿氏圆圆心公式，可以得知两个阿氏圆圆心为同一
个点，圆心的 x 坐标相同：
x ak
2
a aQ k 2

1 k 2 1
绘制阿氏圆的方法七，同心阿氏圆法。几何原理，扩展 1 扩展。见图 16、图 17、图 18。
50 20
R6
0 714
428
5
A C B R57
.1
R82
120 R .6 80 5714286
图 16 运用方法七同心阿氏圆法绘制阿氏圆 1
6
40
R75.65712128
20
857
14
7.1
42
A C B R5
R82.8571
120 4286
50
图 17 运用方法七同心阿氏圆法绘制阿氏圆 2
A C B
R82.8571
60 4286
120
图 18 运用方法七同心阿氏圆法绘制阿氏圆 3
题目 3 见图 19，题目 4 见图 20。
a
7a
a
4a
140 0 90 0
R7 R7
图 19 题目 3 点圆定比分点 图 20 题目 4 点圆定比分点
扩展 2：动点 TA围绕定圆 OA（半径
RA）运动，定点 B 与动点 TA的连线 BTA，
连线 BTA 上有定比分点 P，PTA 长度与
PB 长度之比为定值 k，则动点 TA运动时，
定比分点 P 点的运动轨迹是一个圆 OP
（半径 RP），且 RA/RP=BTA/BP=1+k，且
圆 OA 与圆 OP 的两外公切线延伸交点为
P 点。——点圆定比分点。见图 21。
图 21 扩展 2 点圆定比分点
7
60
20 50
60
14
57
42
8
.1
R5
7
方法八，点圆定比分点法，几何原理见扩展 2 点圆定比分点。见图 21、图 22、图 23。
75
601707 73
4949
1.91 101.26
5
29547 7349
497
149.66
6
101.
80
0 70
R7 90 R
140
图 22 题目 3 题解—— 图 23 题目 4 题解——
运用方法八点圆定比分点法解题 运用方法八点圆定比分点法解题
7a
题目 5，点到点的距离与点到圆切线的长度
之比为定比。见图 24。
0R5
扩展 3：动点 P 到定圆 OA（半径 RA）作切
线，切点为 TA，动点 P 到切点 TA的距离 PTA与 120
动点P到定点B的距离PB之比为定值 k（PTA/PB
=k，k≠1），则动点 P 点的运动轨迹是一个圆—
—阿氏圆。——点到圆点切距定比。见图 25。 图 24 题目 5——点到圆点切距定比
图 25 扩展 3——点到圆点切距定比
点圆阿氏圆方程，见图 26。
根据已知条件列方程：
x2 y2 R 2 2 2 2 2 2A k L ， x a y L
x2 2ax a2 y2 L2
k 2x2 2ak 2x a2k 2 k 2 y2 k 2L2
k 2 1 x2 y2 2ak 2x R 2 a2A k 2 0
8
R40
60
4a
35R
P(x,y)
Y
kL
T A
R
R A X
O O C O A B O
Q D
a
Xo
图 26 点圆阿氏圆方程
此公式为圆方程式，证明了动点到定点距离与到定圆切线长度为定比的轨迹是一个圆。
令 y 0 ，求 C 点 D 点的 x 坐标：
k 2 1 x2 2ak 2x R 2 a2k 2A 0
x 1 2 2 2 2ak 2ak
2
4 k 2 1 a2k 2 R 2A 2 k 1
x ak
2 1
a22 2 k
4 a2k 4 k 2R 2 2 2A a k R
2
A
k 1 k 1
x a a 1 2 1 k 2 R 2 a2 22 A k k 1 k 1
得到 C 点 D 点的 x 坐标：
ak 2 1 k 2 R 2A a2k 2xC k 2 1
ak 2 1 k 2 R 2A a2k 2xD k 2 1
得到阿氏圆圆心的 x 坐标：
2
x ak a aQ 2 点圆阿氏圆圆心公式k 1 k 2
1
得到阿氏圆半径：
R 1 2 1 k 2 R 2 2 2k 1 A a k
绘制阿氏圆的方法九，点切距定比法，点到圆点切距定比法。几何原理，扩展 3，见图
27。
扩展 3 扩展：动点 Pp到两定点 A、B 的距离之比为定值 kp，动点 Pt到定圆 OA（同 A
点）切线长度与到定点 B 的距离之比 kt，两比值相等（kp=kt≠1）时，两点 Pp、Pt 运动轨
迹的阿氏圆是两个同心圆。见图 28。
9
L
47
82
8
806
R50 95
.
R
120
图 27 应用方法九点切距定比法绘制阿氏圆
图 28 扩展 3 扩展——同心阿氏圆
从前面的点点阿氏圆圆
心公式、圆圆阿氏圆圆心公
式和点圆阿氏圆圆心公式， R118
可以得知同比例的三个阿氏 .1818
圆圆心为同一个点，圆心的 x 10 8R5 18
坐标相同： 7
120 28
4
8
ak 2
0
x a a
8
5.
6
Q R9k 2 1 k 2 1
绘制阿氏圆的方法七，
同心阿氏圆法。几何原理，
扩展 1 扩展与扩展 3 扩展，
见图 15、图 16、图 17、图 图 29 运用方法七同心阿氏圆法绘制阿氏圆 4
18、图 28、图 29。
题目 5 题解见图 30。
10
84
40 70
R48
7a
R50
47
120 288
68
0
.
R9
5
图 30 题目 5 题解
a
题目 6，点到点的距离与点到圆切 4
线的长度之比为定比。见图 31。 7a
应用方法九点切距定比法绘制阿
氏圆，见图 32。
120
运用方法七同心阿氏圆法绘制阿
氏圆，见图 33、图 34。
图 31 题目 6——点到圆点切距定比
R5
0
120
48
图 32 应用方法九点切距定比法绘制阿氏圆
11
R118.65522897
60
R50
73
84R
4a
0
818 R
5
1 120
.18
18
8
R11
图 33 运用方法七同心阿氏圆法绘制阿氏圆 4
81
8
18
1
18
8.
7
1 28
9
R1 55
2
.6
18
R1
图 34 运用方法七同心阿氏圆法绘制阿氏圆 4
题目 6 题解见图 35。
12
R118.65522897
48 84
9
604
8
3.8
69 11
6 1.771808
R5
0 56
R118.65 120522897
图 35 题目 6 题解
扩展 4：一动点 P 到两定点 A、B 的距
离相等（距离之比为 1，PA/PB=k=1）时，
则点 P 的运动轨迹是一条直线 Lp，且直线 Lp
为线段 AB 的垂直平分线，阿波罗尼斯定理
特例。——点到两点距离相等。见图 36。
扩展 5：一动点 P 到两定圆 OA（半径
RA）、OB（半径 RB）切线（切点为 TA 、TB）
的长度相等（长度之比为 1，PTA/PTB =k =1）
时，则点 P 的运动轨迹是一条直线 Lp，且直
线 Lp经过公切线 Lt的中点，并垂直于连心线
OA OB，阿波罗尼斯定理特例。——点到两
圆切线相等。见图 37。 图 36 扩展 4——点到两点距离相等
图 37 扩展 5——点到两圆切线相等
13
73
题目 7，点到两圆切线长度相等。
见图 38。 A A
绘制阿氏圆直线的方法十，中点 0
R4
垂线法，阿波罗尼斯定理特例直线的
绘制。几何原理，扩展 5。作经过公 120
切线的中点，并垂直于连心线的直
线。见图 37、图 39。
图 38 题目 7 点到两圆切线相等
题目 7 题解见图 39。
8062 549
80.4 80.45
扩展 6：动点 P 到定圆 OA（半 49806
径 RA）作切线，切点为 TA，动点 P
2
到切点 TA的距离 PTA与动点 P 到定 0R4
点 B 的距离 PB 相等（长度之比为 1，
PTA/PB =k =1）时，则点 P 的运动 120
轨迹是一条直线 Lp，且直线 Lp 经过
点 B 到圆 OA切线 Lt的中点，并垂直
于点 B 与圆心 OA的连线，阿波罗尼 图 39 题目 7 题解——方法十中点垂线法
斯定理特例。——点切点点相等。见
图 40。
题目 8，点到点距离与点到圆切
线长度相等。见图 41。
绘制阿氏圆直线的方法十，中点
垂线法。阿波罗尼斯定理特例直线的
绘制。几何原理，扩展 6，作经过切
线的中点，并垂直于点与圆心连线的
直线，见图 40、图 42。
题目 8 题解见图 42。 图 40 扩展 6——点切点点相等
A 5911
8
3
82.5
4
40R R4
0
120 120
图 41 题目 8——点切点点相等 图 42 题目 8 题解——方法十中点垂线法
14
63
63
63
63
11
8
59
54
3
25 82
.
25 RR
A
扩展 7：一动点 P 到相切（切
点 TAB）两定圆 OA（半径 RA）、
OB（半径 RB）切线（切点为 TA 、
TB）的长度相等（长度之比为 1，
PTA/PTB =k =1）时，则点 P 的
运动轨迹是一条直线 Lp，且直线
Lp经过公切线 Lt的中点，并垂直
于连心线 OA OB，经过两圆相切
的点 TAB，即 Lp直线为两圆的内
公切线，阿波罗尼斯定理特例。
——相切圆等切线。见图 43。
图 43 扩展 7——相切圆等切线
题目 9，点到相切圆切线长度相等。见图 44。
绘制阿氏圆直线的方法十一，内公切线法，阿波罗尼斯定理特例直线的绘制。几何原理，
扩展 7，见图 43、图 45。
144.26
90° A 14
° 90 79 73
45°
R5
0
R5
0 R70
120 120
图 44 题目 9 点到相切圆切线长度相等 图 45 题目 9 题解——内公切线法
扩展 8：以动点 O 为圆心的圆 O
（半径 R）与两定圆 OA（半径 RA）
和 OB（半径 RB）相切（切点为 TAO、
TBO），过切点 TAO的内公切线 LAO与
过切点 TBO的内公切线 LBO相交于点
P，P 点跟随动点 O 作相应的运动，
点 P 的运动轨迹是一条直线 Lp，且
直线 Lp 经过公切线 Lt 的中点，并垂
直于连心线 OA OB，见图 46。
题目 10 圆切两圆内公切线交点
轨迹为直线，见图 47。
图 46 扩展 8——圆切两圆内公切线交点轨迹为直线
应用绘制阿氏圆直线的方法十中点垂线法解题，见图 46、图 48。
15
A
144.26149773
R7
0
题目 10 题解见图 48。
R40
120
120
图 47 题目 10，圆切两圆内公切线 图 48 题目 10 题解——方法十中点垂线法
交点轨迹为直线
扩展 8 扩展 1：圆 O 与圆 OA和圆 OB相
切，切线（LA 、LB）公切线（LAO 、LBO）
的长度相等，即 PTA= PTB=PTAO=PTBO=RP，
——圆切两圆切线相等，——点到两圆四切
线相等，——四切点共圆。
扩展 8 扩展 2：圆 O 与圆 OA和圆 OB相
切（切点为 TAO、TBO），公切线（LAO 、LBO）
相交与点 P，则 O、P、TAO、TBO四点共圆。
——两切点两圆心四点共圆。
图 49 四切线相等四切点共圆，
两切点两圆心四点共圆
题目 11 四切线相等四切点共圆，见图 50。
题目 11 题解，四切线相等四切点共圆，见图 51。
R80
R80
R40
R25
120
120
图 50 题目 11 四切线相等四切点共圆 图 51 题目 11 题解，四切线相等四切点共圆
题目 12，圆切两圆，公切线夹角定角度，见图 52。
几何原理，公切线垂直于连心线，四边形对角互补四点共圆，见图 49、图 53。
16
90°
90°
80
90°
80 R4
R 040
80
25R
90°
25R
90° 90°
40° 40°
140°
R40 R25
120 120
图 52 题目 12，圆切两圆，公切线定角度 图 53 切点、圆心、公切线交点四点共圆
题目 12 作图问题转化为题目 13 题目 14 问题。
题目 13、题目 14，三角形两边差为定值，见图 54、图 55。
120 120
140° 140°
40 25 B+15 B
R R
图 54 题目 13 三角形两边差为定值 图 55 题目 14 三角形两边差为定值
方法十二，底外角圆法，等腰三角形底角外角圆法。
题目 12、题目 13、题目 14 解题 1，在 120 直线上作出公切线夹角 40°角，作三点圆
弧，任意作出其补角 140°角见图 56。
解题 2，以 140°角为顶点作等腰三角
形，以等腰三角形底角的外角作圆弧，见图
40° 57。
几何原理，同圆弧的圆周角相等。
160°
120 140°
120 140° R175.42826401
图 56 作 40°角作圆弧作 140°角 图 57 作等腰三角形及其底角外角圆弧
解题 3，在横线左端点处以半径 15 圆截 160°R15
内圆弧，直线连接端点与交点，延伸至外圆 120 140°
弧，横线右端点直线连接交点、直线连接端
点，得到新的 140°角为顶点的等腰三角形，
见图 58。
几何原理，同圆弧的圆周角相等。 R175.42826401
图 58 作 R15 圆，直线连接横线端点与交点
题目 13、题目 14 题解见图 59。
并延伸到外圆弧，作出等腰三角形
17
R40
R25
题目 12 题解见图 60。
16
0°R15
120 140°
扩展 9：以动点 O 为圆心的圆 O
（半径 R）与两相切（切点为 TAB）定
圆 OA（半径 RA）和 OB（半径 RB）相 56. 725
切（切点为 T 2 8AO、TBO），过切点 TAO的 97 21 2872 29
22
L T L .公切线 与过切点 的公切线 2AO BO BO 92
5
2 5
6.
8725
相交于点 P，P 点跟随动点 O 作相应的
运动，图形具有扩展 8 的特性。——三
圆两两相切切线相等。见图 61。 图 59 题目 13、题目 14 题解
扩展 9 扩展 1：圆 O
与两相切（切点 TAB）圆
OA和OB相切（切点为TAO、 40°
TBO），过切点 TAO 和 TBO
的公切线LAO与LBO相交于 120
点 P，以 P 点为圆心可以
R2
作三角形 OOAOB 的内切 140° 5
圆-圆 P（半径 RP），且圆 P 71.29 287
25
经过 TAO、TBO和 TAB三个 2287 9225 6.2
切点。——三切点圆为连 5
心三角形的内切圆。见图
61。
图 60 题目 12 题解
题目 15，3 圆相切，
已知两圆，圆心三角形已
知角对边，见图 62。
题目 16，三角形与内
切圆，见图 63。
图 61 扩展 9 与扩展 9 扩展 1
70° 70°
R60
140
60
140
图 62 题目 15 相切 3 圆与圆心三角形 图 63 题目 16 一切点定位的三角形内切圆
18
R80
R40
题目 15、题目 16 解
题，按方法十二底外角圆
法，题解见图 64。
0°7
扩展 9扩展 2：相切（切 70°
点 TAB）两圆 OA和 OB，以
OAOB线段为直径作圆 Ot，
圆 Ot与外公切线 Lt相切，
切点为 Tt，且切点 Tt 在过 125° R80
TAB 点的公切线 Lp 上。— 140 R20
—三圆外公切线共线。见
图 65。
图 64 题目 15、题目 16 题解——方法十二底外角圆法
扩展 9 扩展 3：相切
（切点 TAB）两圆 OA 和
OB，公切线 Lt 与圆 OA
圆 OB 的切点为 TA、与
TB，过 TA、TB与 TAB三
点作圆 Tt，线段 TATB为
圆 Tt 的直径线，连心线
OAOB为圆 Tt的切线，切
点为 TAB。——公切线圆
与连心线相切。见图 66。
图 65 扩展 9 扩展 2 相切两圆连心线圆三圆外公切线共线
扩展 9 扩展 4：半圆
（圆 Ot）上的三个相切
（切点 TAO、TBO、TAB）
圆（圆 OA、圆 OB、圆 O），
公切线LAO与LBO的交点
为 P，则 O、P、TAO、
TBO四个点组成正方形。
见图 67。
题目 17，半圆上的
三个相切圆，见图 68。
图 66 扩展 9 扩展 3 公切线圆与连心线相切
19
60R
图 67 扩展 9 扩展 4 半圆上三个相切圆四点组成正方形
题目 17 解题，按方法十二底外角圆法，题解见图 68、图 69。
90°
90°
R20
R50
R50
120
120
图 67 题目 17 半圆上的三个相切圆 图 68 题目 17题解——方法十二底外角圆法
70°
扩展 10：动点 O 画圆（圆 O
半径 R），圆 O 与两定圆（圆 OA
°
半径 RA、圆 OB半径 RB）相割， 70
割点为 JA1、JA2、JB1、JB2，割线
JA1 JA2与 JB1JB2延伸交点为 P， R20
则 P 点随动点 O 的运动而运动，
50
P 点的运动轨迹是一条直线 Lp、 R
且 Lp 经过两定圆公切线 L 的中 120t
点，并垂直于两圆的连心线
OAOB。——圆割两圆，割线交点
在直线上，见图 70。
图 69 题目 17 题解——方法十二底外角圆法
20
R70
35°
90°
R70
R70
120
扩展 10 扩展 1：从 P 点作圆 O、圆 OA、圆 OB的切线，切点为 tA1、tA2、tA3、tB1、tB2、
tB3，则切线长度相等，即 PtA1=PtA2=PtA3=PtB1=PtB2=PtB3，切点 tA1、tA2、tA3、tB1、tB2、tB3
六点共圆，圆心为 P。——圆割两圆，割线交点处切线相等切点共圆，见图 71。
图 71 扩展 10 扩展 1——圆割两圆
图 70 扩展 10——圆割两圆割线交点在直线上
割线交点处切线相等切点共圆
扩展 10 扩展 2：连心线 OOA垂直平分割线 JA1JA2，连心线 OOB垂直平分割线 JB1JB2，
且 O、P、SA（OA）、SB（OB）四点共圆。见图 72、图 73、图 74、图 75。
R
L p O J
B2
R
O
J
RA
J
A1
A1 L
P S
90° B90°
O A
J J
O
R BA SA A2
B1
OB
O
JB1
J A A2 S RB T
J AB2 B
L
P T T TB B
L P 120T tA
图 72 扩展 10 扩展 2——圆割两圆四点共圆 图 73 扩展 10 扩展 2——圆割两圆四点共圆
L O
L J
R L O RP O
J A1
L JP B2
R S
A A O J JB A1 O
B2
J
O A J
A2 R
OB
J B RAB1 O
A J J
R
B1 B
T A2A L T T A
L
P T TB P T 120 B 120
图 74 扩展 10 扩展 2——圆割两圆四点共圆 图 75 扩展 10 扩展 2、扩展 3、扩展 4
21
R50
扩展 10 扩展 3：圆（O）割两圆（OA、OB），直径（JA1JA2、JB1JB2）割线，三圆心（O、
OA、OB）与割线交点（P）四点共圆（OJ），见图 75。
扩展 10 扩展 4：圆（O）割两圆（OA、OB），直径（JA1JA2、JB1JB2）割线，过四点（O、
OA、OB、P）圆（OJ）圆心（OJ）的竖线（LJ）为连心线（OAOB）的垂直平分线，且该竖线
（LJ）为过公切线（TATB）中点割线（JA1JA2、JB1JB2）交点（P）的竖线（LP）与过圆心（O）
的竖线（LO）的对称线，见图 75。
题目 18，圆割两圆且割线长度相等，见图 76。
方法十三，等割线法。几何原理，扩展 10、扩展 10 扩展 1、扩展 10 扩展 2，切割线定
理，割线定理，扩展 5，方法十中点垂线法。因为切线相等，a=a，所以割线相等。见图 77。
应用方法十三等割线法解题，题目 18 题解见图 77。
0°7
110° 110°
a
R3
0
R30
120 120
图 76 题目 18 圆割两圆且割线长度相等 图 77 题目 18 题解——方法十三等割线法
题目 19，圆割两圆连心线夹角定角，见图 78。
方法十四，中点镜像法。几何原理，扩展 10 扩展 4，切割线定理，割线定理，扩展 5，
方法十中点垂线法。见图 79。
70°
0°7
70°
R30
120 120
图 78 题目 19 圆割两圆连心线夹角定角 图 79 题目 19 题解方法十四中点镜像法
应用阿波罗尼斯圆定理及拓展绘制图形。
题目 20，三角形两边定比，见图 80。
几何原理，相似三角形，阿波罗尼斯圆定理。
应用绘制阿氏圆的方法一内外分点法解题，题解见图 81。
22
80
R30
a
R50
R50
R30
R50
80
R50
50
.7877
R50
80
80 133.33
80x5/(5-2)
图 80 题目 20 圆割两圆连心线夹角定角 图 81 题目 20 题解——方法一内外分点法
应用绘制阿氏圆的方法二内分点一对圆法解题，题解见图 82。
应用绘制阿氏圆的方法三两对圆法解题，题解见图 83。
31.11
20
.7877
77.
78
R50
R3
80 0 80
R R77 55
R30
R36
图 82 题目 20 题解——方法二内分点一对圆法 图 83 题目 20 题解——方法三两对圆法
题目 21，三角形两边定比，夹角直角，见图 84。
几何原理，阿波罗尼斯圆定理，直径上的圆周角为直角。
应用绘制阿氏圆的方法一、方法二、方法三解题目 21，题解见图 85、图 86、图 87。
5
71.
5
90°
80 80
图 84 题目 21 三角形两边定比夹角直角 图 85 题目 21 题解——方法一内外分点法
90° 90°
55 5
71. 71.
5
R
80 30 80
R60
图 86 题目 21 题解——方法二内分点一对圆法 图 87 题目 21 题解——方法三两对圆法
方法十五，相似三角形法。几何原理，相似三角形对应边成比例。见图 88。
应用方法十五解题目 21，题解见图 88。
23
30
30
R50
30
30
31.1
1
8
35.
7
20
90R 8
35.
7
0 31.112
20
8
35.
7
题目 22，三角形两边定比，夹角定角，见图 89。
应用方法一、方法二、方法三、方法十五解题 22，题解见图 90、图 91、图 92、图 93。
100
71.55
R80
图 88 题目 21 题解——方法十五相似三角形法 图 89 题目 22 三角形两边定比夹角定角
73°
46
75
.
6
5.
4 73°
7
80 240
80 80R R60
3°7
图 90 题目 22 题解——方法一内外分点法 图91 题目22题解——方法二内分点一对圆法
73°
46.
75
137.4271°
100
75.46
R7
80 80
5
R R60
73
°
图 92 题目 22 题解——方法三两对圆法 图93 题目22题解——方法十五相似三角形法
题目 23、题目 24，三角形两边定比，夹角定角，见图 94、图 96。
应用方法十五解题 23、题 24，题解见图 95、图 97。
5a
160
7 127.45890°
R120
120
图 94 题目 23 三角形两边定比夹角定角 图95 题目23题解——方法十五相似三角形法
24
137.4271°
R100
35.78
50
137.4271°
50.9836 56.6
64 75
°
73 °
70
56.
6
70
°
0
R8
2a
56.
6
56.
6
90.78
140
图 96 题目 24 三角形两边定比夹角定角 图97 题目24题解——方法十五相似三角形法
题目 25、题目 26，定圆内接长方形长宽定比，见图 98、图 99。
应用方法十五解题 25、题 26，题解见图 100、图 101。
2H 7a
图 98 题目 25 定圆内接长方形长宽定比 图 99 题目 26 定圆内接长方形长宽定比
100 140
67.08 64.34
图 100 题目 25 题解方法十五相似三角形法 图 101 题目 26 题解方法十五相似三角形法
方法十六，比例缩放法。几何原理，相似三角形对应边成比例；CAD 操作，参照比例
缩放。见图 88。
应用方法十六解题 25、题 26，题解见图 102、图 103。
75 140
64.34
67.08
100
图 102 题目 25 题解方法十六比例缩放法 图 103 题目 26 题解方法十六比例缩放法
题目 27，点到两点距离相等，见图 104。
25
33.54
33.54
H
50
50
27.57
27.57 160
103.74
3a
60
60
0
R8
80
48°
R7
0
R75
方法十七，垂直平分线法。几何原理，扩展 4。见图 105。
应用方法十七解题 27，题解见图 105。
50
25
33.75
60
图 104 题目 27 点到两点距离相等 图 105 题目 27 题解方法十七垂直平分线法
题目 28，点到两点距离定比，见图 106。
应用方法一内外分点法解题 28，题解见
图 107。
应用方法十五相似三角形法解题 28，题
解见图 108。
图 106 题目 28 点到两点距离定比
61 6. 10 .3 03
6
22.31 1.03
50
22.31
50
图 107 题目 28 题解方法一内外分点法 图 108 题目 28 题解方法十五相似三角形法
题目 29，点到两点距离定比，见图 109。
应用方法一内外分点法解题 29，题解见图 110。
50
30
.32
13.16 26
60
图 109 题目 29 点到两点距离定比 图 110 题目 29 题解方法一内外分点法
题目 30，点到两点距离定比，见图 111。
26
35
35
22.33
5
40 20
40 20
33
2. 32 4.
6
4
63.
44
应用方法一内外分点法解题 30，题解见图 112。
R90
60
55
R 80
图 111 题目 30 点到两点距离定比 图 112 题目 30 题解方法二内分点一对圆法
题目 31，点到三点距离定比，见图 113。
解题，求两阿氏圆的交点。
解题 31，应用方法一内外分点法求阿氏圆，见图 114、图 115，应用对齐缩放操作对齐
到正方形的两边，见图 116，应用参照比例缩放调整到尺寸，题解见图 117。
5:8阿氏圆
15 24
65 39
104
图 113 题目 31 点到三点距离定比 图 114 题目 31 解题 1 作 5:8 阿氏圆
100
8:13阿氏圆
64.6762
40 65
6
.42
2
168 105 40
273
图 115 题目 31 解题 2 作 8:13 阿氏圆 图 116 题目 31 解题 3 对齐到正方形的两边
12.3693
8
5
图 118 题目 32 点到两点距离定比
图 117 题目 31 题解——解题 4 参照缩放
直线分割定比
27
12.3693
13
46.55
6
100 9.82
105.0988
100
5°7
°
320
52.
0
题目 32，点到两点距离定比直线分割定比，见图 118。
解题 32，1）应用方法一内外分点法作阿氏圆，见图 119；2）应用方法八点圆定比分
点法，以 56 线段左端点为基点复制参照比例缩放作出阿氏圆的三分之二圆，见图 120；3）
偏移横线 28，连接 56 线段左端点与偏移横线和三分之二圆的交点，延伸至阿氏圆，题解见
图 121。
另外，在偏移 28 的横线上还有另外一个解，见图 122。
56 112 56 112
图 120 题目 32 解题 2
图 119 题目 32 解题 1 作 3:2 阿氏圆
作出阿氏圆的三分之二圆
52.9
7
35
1. 105.
94
2
69 35
42
. 1.2
69
42
.
.94
56 112 105
56 112
图 121 题目 32 解题 3 偏移
图 122 在偏移 28 的横线上的两个解
直线连接延伸连线——题解
题目 33，两个点到两点距离的两个定比且直线相交分割定比，见图 123。
解题 33，1）应用方法一内外分点法作 3:2 阿氏圆，见图 124。
50 100
图 123 题目 33 两个点到两点距离
图 124 题目 33 解题 1 方法一作 3:2 阿氏圆
的两个定比且直线相交分割定比
2）应用方法二内分点一对圆法作 6:7 阿氏圆，见图 125。
3）应用方法八点圆定比分点法，以 50 线段左端点为基点参照比例缩放复制作出 3:2
28
28
28
42.69
42.69
阿氏圆的三分之二圆，见图 126。
4
R161.
5
R7
0 R161.5
4
60 50 100 50R
图 126 题目 33 解题 3 以线段左端点为基点
图 125 题目 33 解题 2 方法二作 6:7 阿氏圆
作出 3:2 阿氏圆的三分之二圆
4）自 50 线段右端点任
意作直线与左侧 6:7 阿氏圆
.2
7
相交，见图 127。 17 40
5 .）作出其他直线，题解 23
54
见图 127。 34.
从步骤 4）可以知道，
题解不是唯一的。
50
要得到唯一的解，还需
要有一个条件。
再仔细分析题图，见图
123，3b 直线与 7a 直线相互
垂直。
以 50 直线为直径作圆，
再绘制出其他直线。 图 127 题目 33 解题 4 解题 5 直线连接延伸连线——题解 1
8.
9 题解见图 128。
1
.87 题目 34，两个点到两点3
距离的两个定比且直线相交
分割定比，见图 129。
50
图 129 题目 34 距离定比且
图 128 题目 33 解题 5 作圆作其他直线——题解 2
直线相交分割定比
绘制阿氏圆的方法十七，直角三角形法。
几何原理，见图 130，阿氏圆上任意一点到两点的距离定比。
自 B 点作线段 AB 的垂线与以 AB 的内外分点为直径的阿氏圆相交于 P 点，则 PA:PB
29
40.48
34.4
90 8°
4
34.5
23.
47 37.8
为定比 k。
绘制 m:n=k 阿氏圆的直角三角形法： P
1） 作 PB=L；
kL2） 作垂线 BA；
3） 以 P 点为圆心，kL 为半径画弧（圆），
交 BA 于 A； A C B O D
4） 作 PO 垂直于 PA，交 AB b c于 O； a
5） 以 O 为圆心，OP 为半径画圆 O；
圆 O 131 b/c=k=m:n即为阿氏圆。见图 。
图 130 方法十七直角三角形法几何原理
作图方法证明，即已知 PA/PB=KL/L=k，
P
证明 b/c=k，AD/BD=k。 kL
证明： kL
PDA CPA △CAP ≌△PAD
AP AC PC
A b C c B O DAD AP PD a
BDP BPC b/c=k=m:n
直角△BDP≌直角△BPC
图 131 方法十七直角三角形法绘制阿氏圆
PC CB PB AP AC CB PB

PD PB DB AD AP PB DB
AC CB AC PA b
k 即 k
AP PB CB PB c
AP PB AP AD AD PA
k
AD DB PB DB BD PB
绘制阿氏圆的方法十八，任意三角形法。
几何原理，见图 132，阿氏圆上任意一点到两点的距离定比。
绘制 7:4 阿氏圆的任意三角形法：
1） 作横线； R70
2） 任意方向画 40 直线；
3） 以 40 直线上端点为圆心，70 为半径
画弧（圆），交横线；
4） 横线右端修剪（延伸）调整到与圆弧
的交点；
5） 横线作 11 等分（4+7）；
6） 端点-节点-垂足三点画圆（即左斜线
上端点、横线左 4 分点、横线的垂
图 132 方法十八任意三角形法绘制阿氏圆
足点）或上下镜像左斜线；
7） 端点-节点-端点三点画圆。
画出的圆即为 7:4 阿氏圆。见图 132。
解题 34，
30
L
L
40
1） 应用绘制阿氏圆的方法十七直角三角形法作 6:7 阿氏圆，见图 133。
2） 应用绘制阿氏圆的方法十八任意三角形法作 3:2 阿氏圆，见图 134。
R70 R60
36.18
6:7阿氏圆 79.16
3:2阿氏圆
图 133 方法十七直角三角形法绘制阿氏圆 图 134 方法十八任意三角形法绘制阿氏圆
3） 将两个阿氏圆应用对齐缩放或参照比例缩放加移动，调整到同一条 50 长的线段上，
见图 135。
4） 应用方法八点圆定比分点法，以 50 线段左端点为基点参照比例缩放复制作出 3:2
阿氏圆的三分之二圆，见图 136。
5） 应用方法八点圆定比分点法，以 50 线段右端点为基点参照比例缩放复制作出 6:7
阿氏圆的五分之三圆，见图 136。
1
0.
6
1 16
R160
.6 R6 R0 R60R40
50 50
五分之三圆
6:7阿氏圆 3:2阿氏圆 三分之二圆
3:2阿氏圆
6:7阿氏圆
图 136 以线段左右端点为基点参照比例缩
图 135 将两个阿氏圆调整到同一线段上
放复制作出两个比例圆
6） 得到两个比例
圆后由其交点 五分之三圆
就可以作出其
08
他的图线，见图 20
.
137。
15
.40
题目 34 的题解见图 R40
138。 R160.61 50 60
R
题目 35，点到两圆 6:7阿氏圆 三分之二圆
切线定比，见图 139。 3:2阿氏圆
图 137 由两个阿氏圆比例圆的交点作出其他图线
31
R116.2
60
R96
47 ..3 38 7
R94.9
R9 96.37
33
55
. 40.15
40 3.
2
3
3
2.
1
2
08
20
.
15.
40
50
图 138 题目 34 的题解 图 139 题目 35 点到两圆切线定比
题目 35 解题，应用方法四三公切线法解题，将三公切线作 m+n（3+2）等分，用三个
内分点作出 m:n（3:2）阿氏圆，见图 140。题解见图 141。
41.21 41
1 .28 81 1
1. 1.6 6
60
60
图 140 题目 35 应用三公切线法解题 图 141 题目 35 题解
题目 36，点到两圆切线定比夹角定角，见图 142。
3a 2a
90 11
58.347 0°
110°
R15
R15 60 R20 R20
70°
图 142 题目 36 点到两圆切线定比夹角定角
R20
应用方法十五相似三角形法解题 36 ，题
解见图 143。 图 143 题 36 题解应用相似三角形法解题
7a
题目 37，点到圆点切距定比夹角定角，
70
见图 144。参见图 24 题目 5。 °
方法十五相似三角形法解题步骤： 50R
1）绘制顶角为定角两边为定比的三角
形，见图 145。 120
2）在三角形底角处绘制符合几何关系的
圆、直线等图形，见图 146。 图 144 题目 37 点到圆点切距定比夹角定角
32
47.3
60 8
60
R60
4a
60
8
38.
89
33
40.15
5.5
.2
33
.1
3
22
280 280
图 145 绘制顶角定角两边定比的 图 146 在三角形底角处
符合几何关系的三角形 绘制符合几何关系的圆、直线等图形
3）三角形底角处的图形，沿三角形底边指示的方向移动，以使底边底角图形符合几何
关系，见图 147。
4）保持三角形底边底角处图形的几何关系，在三角形底边原三角形底角的对应点处绘
制原三角形顶角两边的平行线，构造与原三角形相似的新的三角形，见图 148。
题目 37 题解见图 148。几何原理，相似三角形对应边比例相等，对应角角度不变。
280 280
145.06
R50 R50
R50 R50 120
图 147 沿三角形底边指示方向移动图形 图 148 题目 37 题解相似三角形法在对应点
以使底边底角图形符合几何关系 处作原三角形两边的平行线得到相似三角形
题目 38，点到圆点切距定比夹角定角，见图 149。参见图 31 题目 6。
应用方法十五相似三角形法解题 38，题解见图 150。
280
7 °
70° a 70
0°7
R120
120 120
R50 R50
图 149 题目 38 点到圆点切距定比夹角定角 图 150 题目 38 题解相似三角形法
题目 39，点到圆点切距定比线定位，见
图 151。
绘制点圆阿氏圆的方法十八，直角三角
形加切线分点法。题目 39 解题 1。
1）在点圆心连线与圆的交点处作直角三
角形，直角边与斜边之比为定比 m:n（1：2）。
图 151 题目 39 点到圆点切距定比线定位
33
4a
R50
16
1 060
160
82.89
1
1 66 00
0°7
20
R1
0°7
70
°
50R
°
0° 7
0
7 20R1
30-60 度直角三角形短边为斜边的一半，见
图 152。 60°
2）作圆的两条切线，将切线三等分，见
58
图 153。 .21
3）三点作圆，用直角三角形定比线的顶
点与两个切线的等分点，作阿氏圆，见图
153。
4）作出其他直线，题解 1 见图 154。
50
图 152 方法十八在交点处作直角三角形，
直角边与斜边之比为定比 m:n 即 1:2
60°
50
16.71
33.42
50
图 154 方法十八直角三角形加切线分点法
图 153 作切线等分切线作阿氏圆
解题——题目 39 题解 1
题目 39 解题 2。应用方法十七和方法七
6
解题。 0°
1）用方法十七直角三角形法绘制点与圆
心点两点的 m:n（1:2）阿氏圆，见图 155。 50
2）画一条切线，等分切线，见图 155。 16.71
3）过切线等分点画点点阿氏圆的同心
圆，即方法七，见图 155。
4）作出其他直线，题解 2 见图 155 3。 3.42
绘制点圆阿氏圆的方法十九，相似直角 图 155 方法十七直角三角形法和方法七
三角形同心圆法。 同心圆法解题——题目 39 题解 2
1）作直角边与斜边之比为定比m:n（1:2） 60°
的两个相似直角三角形，另一直角边为点与
圆心连线和连线与圆的交点到点的连线，见 82.
图 156。 40
2）作斜边垂线，与连心线相交，以交点
8
为圆心作点点阿氏圆，见图 157。 .5
21
3）过另一个相似三角形顶点作点点阿氏
圆的同心圆，见图 158。 图 156 方法十九相似直角三角形同心圆法 1
34
50
50
50
50
3.164
1.658
43.1
6
60° 60°
图 157 方法十九相似直角三角形同心圆法 2 图 158 方法十九相似直角三角形同心圆法 3
作点点阿氏圆 作阿氏圆的同心圆
4）作出其他直线，见图 155。
题目 40，点到圆点切距相等，见图 159。
应用方法十中点垂线法解题，题目 40 题解见图 160。
27.5
50 27.5
图 159 题目 40 点到圆点切距相等 图 160 题目 40 题解——方法十中点垂线法
题目 41，点到两圆切线相等，见图 161。
应用方法十中点垂线法解题，题目 41 题解见图 162。
44.59
35.89
70
图 161 题目 41 点到两圆切线相等 图 162 题目 41 题解——方法十中点垂线法
题目 12、题目 13、题目 14，见图 52、
图 54、图 55。
应用方法十五相似三角形法解题 12、解 40°
题 13、解题 14，题解见图 163、图 164、图
R40 R25
165。
题目 9 见图 44。
120
应用方法十五相似三角形法解题 9，题
解见图 166。
图 52 题目 12，圆切两圆，公切线定角度
35
40
50
35
44.59
120 120
140° 140°
40 25 B+15 B
R R
图 54 题目 13 三角形两边差为定值 图 55 题目 14 三角形两边差为定值
40° 120
31.29
R40 R25
40°
31.29
R120
R25
140°
120 R40
R40
图 163 题目 12 题解方法十五相似三角形法 图 164 题目 13 题解方法十五相似三角形法
90° A
R120 12
0 56.29
R15 140° 0
15 56.29 R5
120
图 165 题目 14 题解方法十五相似三角形法 图 44 题目 9 点到相切圆切线长度相等
200
144.26
R70
70°
R
0 62 01
140
R50
图 166 题目 9 题解方法十五相似三角形法 图 62 题目 15 相切 3 圆与圆心三角形
题目 15、题目 16 见图 62、图 63。
应用方法十五相似三角形法解题 15、解题 16，题解见图 167。
题目 17，见图 68。
36
180
200
85.9749
144.26
R50
A
R80
20 R
70
R1
49
80 .9
7
1 85
70°
70
°
60
140 70°
图 63 题目 16 切点定位的
三角形内切圆 140 R80
90°
R60
R R6050
120 图 167 题目 15 题目 16 题解方法十五相似三角形法
图 67 题目 17 半圆上的
R
三个相切圆 50
题目 17 解题，按方法十二底外角圆
120 R20
法，题解见图 168。
题目 17 解题，方法十五相似三角形
法，题解见图 169
题目 42，半圆上的三个相切圆，见
图 170。 图 168 题目 17 题解——方法十二底外角圆法
R120
R70
R50
0
12
R50
图 169 题目 17 题解方法十五相似三角形法 图 170 题目 42 半圆上的三个相切圆
题目 42 解题，应用方法十一内公切线
法，1）绘制内公切线，2）小圆画竖线得交
点，3）绘制小圆切线，4）自两切线交点绘
制大圆切线，5）切点与圆心连线，见图 171。
延伸两圆心与切点的连线，得到第三圆
圆心，绘制第三圆，见图 172 题解。
图 171 题目 42 解题 1 画圆切线
37
R70
R70
R140
120
题目 43、题目 44，半圆上的三个相切圆，
见图 173、图 174。
图 173 题目 43 半圆上的三个相切圆
图 172 题目 42 解题 2——题解——
方法十一内公切线法
题目 43、题目 44 解题，按方法十二底
外角圆法解题，题解见图 175、图 176。
题目 43、题目 44 解题，方法十五相似
177 178 图 174 题目 44 半圆上的三个相切圆 三角形法，题解见图 、图 。
R20 R15
图 175 题目 43 题解方法十二底外角圆法 图 176 题目 44 题解方法十二底外角圆法
图 177 题目 43 题解方法十五相似三角形法 图 178 题目 44 题解方法十五相似三角形法
38
80
85
85R
0
R8
题目 45，定角度圆弧上的三个相切圆，
见图 179。
题目 45 解题，应用方法十二底外角圆法
解题，120°等腰三角形底角 30°，120°的
补角为 60°，绘制 30°、60°角，作三点
圆弧，则以连心线为弦的圆弧角度为 120°
和 150°，题解见图 180。
图 179 题目 45 定角度圆弧上的三个相切圆
120° 题目 45 解题，应用方法十五相似三角形
法解题，题解见图 177、图 178。
R15
120°
120°
60°
30°
图 180 题目 45 题解方法十二底外角圆法 图 181 题目 45 题解方法十五相似三角形法
题目 46，圆外与相切 4 比例圆相切，见图 182。
题目 47，正方形外与相切 4 比例圆相切，图 183。
图 183 题目 47 正方形外与
图 182 题目 46 圆外与相切 4 比例圆相切
相切 4 比例圆相切
题目 46 解题参见题目 44，见图 176，按图 176 或图 178 解题，然后镜像，见图 184。
题目 47 解题参见题目 46，见图 182，按图 184 解题，然后参照旋转转正，画正方形，
见图 185。再作参照比例缩放将正方形边长缩放到 100，见图 186。
题目 48，圆外与相切 4 圆相切且外 4 圆内切菱形，见图 187。
题目 48 应用方法十五相似三角形法解题，解题 1，1）画横线、画竖线、画 45°斜线、
画 30°斜线；2）3 点画下圆，端点-切点-垂足；3）3 点画右圆，端点-切点-垂足；4）3 点
画第三圆，交点-切点-垂足；见图 188。
39
34.27
图 185 题目 47 解题按图 184 解题，
图 184 题目 46 题解按题目 44 解题后镜像
转正，画正方形
100
图 186 题目 47 题解参照比例缩放 图 187 题目 48 圆外与相切 4 圆相切
将正方形边长缩放到 100 且外 4 圆内切菱形
tan
per tan
end
int per tan
tan
end
60° tan tan
per tan
tan
图 188 题目 48 解题 1 三点画圆画 3 圆 图 189 题目 48 解题 2 画公切线三切点画圆
题目 48 解题 2，5）画圆公切线；6）延伸公切线；7）三切点画圆；见图 189。
题目 48 解题 3，8）自圆心画横线；9）横竖交点画圆；见图 190。
26
89.
00
1
图 190 题目 48 解题 3 画横线画圆 图 191 题目 48 解题 4 镜像圆和直线
40
100
34.27
60°
题目 48 解题 4，10）镜像圆和直线，见图 191；11）参照比例缩放，题解见图 193。
题目 49，正方形外与相切 4 圆相切且外 4 圆内切菱形，见图 192，题解见图 193。
100
图 192 题目 49 正方形外与相切 4 圆相切
图 193 题目 48 题目 49 题解
且外 4 圆内切菱形
题目 50、题目 51、题目 52，长方形外
与相切 4 等圆相切，见图 194、图 195、图
196。
题目 50、题目 51、题目 52 应用方法十
二底外角圆法解题，解题 1 见图 197、图 198。
题目 50、题目 51、题目 52 解题 2，镜
像复制或旋转复制，见图 199、图 200。
题目 50、题目 51、题目 52 解题 3，旋
转，见图 201、图 202；解题 4 题解参照比
例缩放见图 203、图 204。 图 194 题目 50 长方形外与相切 4 等圆相切
图 195 题目 51 长方形外与相切 4 等圆相切 图 196 题目 52 长方形外与相切 4 等圆相切
8 26
3.
4
24
.
12 4
8 26
3. .4 74
10:7三角形 R
50
:5三角
形
0 21.741
R4 R15
R80 1 00:5三 R80角形 10:7三
角
形
图 197 题目 50 解题 1 方法十二底外角圆法 图 198 题目 52 解题 1 方法十二底外角圆法
41
R50
60°
70
.9
8
51
98
16
.
74.
61
R80 R15
R40
R50
R8010: 15 0三 :7角 三形 角形
图 199 题目 50 解题 2 镜像复制或旋转复制 图 200 题目 52 解题 2 镜像复制或旋转复制
86.97 48.51
图 201 题目 50 题目 51 解题 3 旋转 图 202 题目 52 解题 3 旋转
100 100
图 203 题目 50 题目 51 解题 4 题解
图 204 题目 52 解题 4 题解参照比例缩放
参照比例缩放
题目 50、题目 51、题目 52 应用方法十五相似三角形法，解题 1 见图 205、图 206。
题目 50、题目 51、题目 52 解题 2，镜像，见图 207、图 208。
题目 50、题目 51、题目 52 解题 4 题解，参照比例缩放，见图 203、图 204。
题目 53，长方形外与相切比例 4 圆相切，见图 209。
题目 53 应用方法十二底外角圆法解题，解题 1 见图 210。
42
50 43.48
R50
70 33.96
70
200 200
图 205 题目 50 题目 51 解题 1 图 206 题目 52 解题 1
方法十五相似三角形法 方法十五相似三角形法
54.36 48.51
图 207 题目 50 题目 51 解题 2 镜像复制 图 208 题目 52 解题 2 镜像复制
77.73
28.73
形
10:7三
角
49
R51
10:7三
角
形
图 210 题目 53 应用方法十二
图 209 题目 53 长方形与相切比例 4 圆相切
底外角圆法解题 1
题目 53 解题 2 旋转镜像，见图 211；解题 3 作长方形，见图 212。
77.73
28.73 57.45
R70 R70
图 211 题目 53 解题 2 旋转镜像 图 212 题目 53 解题 3 作长方形
43
27.18
100
111.04
41.04
10:7三
角
形
R100
1 33.9611.04 140
41
82.08 .04
R100
R100
119
70R
题目 53 解题 4 题解，缩放，见图 213。
题目 54，等边三角形外与相切比例 3 圆相切，见图 214。
70
.8
4
21
R1
29
R85
.
图 214 题目 54 等边三角形外
图 213 题目 53 解题 4 题解缩放
与相切比例 3 圆相切
题目 54，解题 1，1）画等边三角形，2）画竖线，3）相切相切半径画Φ100 圆，见图
215。
题目 54，解题 2 题解，4）相切相切半径画Φ70 圆，见图 216。
tan tan
tan tan
tan tan
60 60
图 215 题目 54 解题 1 画等边三角形 图 216 题目 54 解题 2 题解
画竖线相切相切半径画Φ100 圆 相切相切半径画Φ70 圆
题目 54，按方法十五相似三角形法解题，见图 217；镜像，题解，见图 218。
60
tan
tan
5
R8 23.49
图 217 题目 54 按方法十五
图 218 题目 54 题解镜像
相似三角形法解题
44
100
题目 55，已知直角三角形边与边差，见图 219。
题目 56，已知三角形边与边差及角，见图 220。
图 219 题目 55 已知直角三角形边与边差 图 220 题目 56 已知直角三角形边与边差
题目 55 应用方法十二中点垂线法解题，题解见图 221
题目 56 应用方法十二底外角圆法解题，题解见图 222。
81.
70 68°
34.38 R20
70
34.38
80
图 221 题目 55 题解方法十中点垂线法 图 222 题目 56 题解方法十二底外角圆法
题目 55 应用方法二十中垂线法解题，作等腰三角形底边中垂线，找到三角形顶点，题
解见图 223。
题目 56 应用方法十五相似三角形法解题，题解见图 224。
5 00 7.8 R1 R20
°
68
80
图 223 题目 55 题解方法二十中垂线法 图 224 题目 56 题解方法十五相似三角形法
45
121.67 121.67
30
121.67 91.67
70.81
70
34°
.8150
R30
题目 57，圆割两圆割线为两圆直径线，见图 225。
题目 57 解题 1，应用方法十四中点镜像法解题，1）作公切线，2）由公切线中点作连
心线垂线（竖线）——得到中点垂线，3）连心线中点作竖线，4）镜像中点垂线——得到
镜像线，镜像线与右圆交点为第三圆圆心，5）作两条连心线，见图 226。
题目 57 解题 2，6）两圆处作垂直于连心线的直径线，7）作出第三圆，见图 227。
60
图 225 题目 57 圆割两圆割线为直径线 图 226 题目 57 解题 1 方法十四中点镜像法
60
图 227 题目 57 解题 2 题解方法十四中点镜像法
方法
绘制阿氏圆的方法一，内外分点法，内外定比分点直径圆法。
绘制阿氏圆的方法二，内分点一对圆法，内分点定比点三点圆法。
绘制阿氏圆的方法三，两对圆法，定比点三点圆法。
绘制阿氏圆的方法四，三公切线法，三公切线定比分点法。
绘制阿氏圆的方法五，定比切线点一对圆法，公切线定比分点定比切线点三点圆法。
绘制阿氏圆的方法六，定比切线点两对圆法，定比切线点三点圆法。
46
绘制阿氏圆的方法七，同心阿氏圆法。
方法八，点圆定比分点法，几何原理见扩展 2 点圆定比分点。
绘制阿氏圆的方法九，点切距定比法，点到圆点切距定比法。
绘制阿氏圆直线的方法十，中点垂线法。
绘制阿氏圆直线的方法十一，内公切线法。
方法十二，底外角圆法，等腰三角形底角外角圆法。
方法十三，等割线法。
方法十四，中点镜像法。
方法十五，相似三角形法。
方法十六，比例缩放法。
绘制阿氏圆的方法十七，直角三角形法。
绘制点圆阿氏圆的方法十八，直角三角形加切线分点法。
绘制点圆阿氏圆的方法十九，相似直角三角形同心圆法。
方法二十，中垂线法，等腰三角形底边中垂线法。
题目
3a 2a
5a
15R R20
60
120
图 3 题目 1 点到两点距离定比 图 10 题目 2 点到两圆切线定比
a
7a
a
4a
140
R7
0 90 0
R7
图 19 题目 3 点圆定比分点 图 20 题目 4 点圆定比分点
7a 4
a
7a
R5
0
120
120
图 24 题目 5——点到圆点切距定比 图 31 题目 6——点到圆点切距定比
47
47
60
40
R50
73
2a
4a
A A
A
R4
0
0
R4
120
120
图 38 题目 7 点到两圆切线相等
图 41 题目 8——点切点点相等
90° A
R40
50R
120
120
图 47 题目 10，圆切两圆内公切线
交点轨迹为直线
图 44 题目 9 点到相切圆切线长度相等
40°
R40 R25
120
R80
图 52 题目 12，圆切两圆，公切线定角度
R40
120
R25
140°
120 40 25
R R
图 50 题目 11 四切线相等四切点共圆
图 54 题目 13 三角形两边差为定值
120
70°
140°R60 B+15 B
140
图 55 题目 14 三角形两边差为定值
图 62 题目 15 相切 3 圆与圆心三角形
48
A
90°
R80
63
90°
80 63
R2
5
A 90°
°
25
90
R
70R
90°
70°
R50
120
60
140
图 63 题目 16 一切点定位的三角形内切圆 图 67 题目 17 半圆上的三个相切圆
70°
110°
a
R30
120
120
图 76 题目 18 圆割两圆且割线长度相等 图 78 题目 19 圆割两圆连心线夹角定角
50
80
图 80 题目 20 圆割两圆连心线夹角定角 图 84 题目 21 三角形两边定比夹角直角
5a
70°
120
图 89 题目 22 三角形两边定比夹角定角 图 94 题目 23 三角形两边定比夹角定角
2H
图 96 题目 24 三角形两边定比夹角定角 图 98 题目 25 定圆内接长方形长宽定比
49
30 80
R30
a
R50
R50 R70
H
2a
20
7a
图 99 题目 26 定圆内接长方形长宽定比 图 104 题目 27 点到两点距离相等
图 106 题目 28 点到两点距离定比 图 109 题目 29 点到两点距离定比
图 111 题目 30 点到两点距离定比 图 113 题目 31 点到三点距离定比
图 118 题目 32 点到两点距离定比 图 123 题目 33 两个点到两点距离
直线分割定比 的两个定比且直线相交分割定比
50
3a
图 129 题目 34 距离定比
图 139 题目 35 点到两圆切线定比
且直线相交分割定比
7a
3a 2a
70
11 °0°
0
R5
R15 12060 R20
图 142 题目 36 点到两圆切线定比夹角定角 图 144 题目 37 点到圆点切距定比夹角定角
7
70° a
120
图 149 题目 38 点到圆点切距定比夹角定角 图 151 题目 39 点到圆点切距定比线定位
图 159 题目 40 点到圆点切距相等 图 161 题目 41 点到两圆切线相等
图 170 题目 42 半圆上的三个相切圆 图 173 题目 43 半圆上的三个相切圆
51
4a
R50
4a
图 174 题目 44 半圆上的三个相切圆 图 179 题目 45 定角度圆弧上的三个相切圆
图 182 题目 46 圆外与相切 4 比例圆相切 图 183 题目 47 正方形与相切 4 比例圆相切
图 187 题目 48 圆外与相切 4 圆相切 图 192 题目 49 正方形外与相切 4 圆相切
且外 4 圆内切菱形 且外 4 圆内切菱形
图 194 题目 50 长方形外与相切 4 等圆相切 图 195 题目 51 长方形外与相切 4 等圆相切
52
图 196 题目 52 长方形外与相切 4 等圆相切 图 209 题目 53 长方形与相切比例 4 圆相切
图 214 题目 54 等边三角形外
图 219 题目 55 已知直角三角形边与边差
与相切比例 3 圆相切
图 220 题目 56 已知直角三角形边与边差 图 225 题目 57 圆割两圆割线为直径线
53
题目类型分布
点点比例 点圆切比例 圆圆切比例 点到 3 点比例
距离 1,20,29 5,6 2,35 31
角度 21,22,23,24,25,26 37,38 36,50,51,52,53,54
定位-线 28,30 40,39
点点相等 点圆切相等 圆圆切相等 点点分比
距离 27 8 7,10,11,41 32,33,34
角度 55,56 9,12
定位-线 40
圆圆直线 圆圆圆相割 圆圆圆相切 点圆直线比例
距离 三角形 16 3
角度 13,14 18,19 15,17,42,43,44,45,46,47 点圆直线相等
定位-线 57 48,49 4
54

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