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第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量的数量积运算
学案
一、学习目标
1. 了解空间向量的夹角、模的概念及其表示；
2. 掌握空间向量的数量积及其运算律；
3. 能运用向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、距离或长度等问题.
二、基础梳理
1. 已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的__________，记作__________.即__________.
2. 零向量与任意向量的数量积为__________.
3. __________；
__________.
4. 空间向量的数量积的运算律：
__________，；
交换律：__________；
分配律：__________.
三、巩固练习
1.对于空间向量a，b，c和实数，下列命题中真命题是( )
A.若，则或 B.若，则或
C.若，则或 D.若，则
2.若空间向量m垂直于向量a和b，向量(且)，则( )
A. B.
C. m不平行于n，m也不垂直于n D.以上三种情况都有可能
3.在正方体中，有下列命题：
①；
②；
③与的夹角为.
其中真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.10
4.在空间四边形中，，则( )
A. B. C. D.
5.如图，正方体的棱长为a，对角线和相交于点，则( )
A. B.
C. D.
6.已知在正四面体中，所有棱长都为1，的重心为，则的长为( )
A. B. C. D.
7.已知空间向量a，b，，，若，则的值为_______.
8.如图，在三棱锥中，底面边长与侧棱长均为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且，求的长.
参考答案
基础梳理
数量积；；
0
0；
；；
巩固练习
1.答案：B
解析：对于选项A，还包括的情形；对于选项C，结论应是；对于选项D，也包括垂直的情形.故选B.
2.答案：B
解析：由题意知，则.
∵，∴.故选B.
3.答案：B
解析：根据向量数量积的定义，知①②为真命题；与的夹角为，③为假命题.故选B.
4.答案：D
解析：
，
.故选D.
5.答案：C
解析：
.
故选C.
6.答案：D
解析：如图，连接AG并延长交BC于点M，连接DM，
∵G是的重心，∴.
.
又
.
∴.故选D.
7.答案：
解析：由题意知，，
由得，
即，解得.
8.答案：，
，即.
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