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4．2.3　等差数列的前n项和(2)
1. 能选取合适的等差数列的前n项和公式解决问题．
2. 探求等差数列前n项和的性质并能运用它们解决问题．
活动一 掌握等差数列前n项和公式的灵活运用
例1　在等差数列{an}中，Sn为前n项和．
(1) 已知a3＝1，a5＝11，求an和S8；
(2) 已知a2＋a7＋a12＝24，求S13；
(3) 已知前4项和为25，最后4项和为63，前n项和为286，求项数n；
(4) 已知Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，求Sm＋n.
在等差数列{an}的五个变量中，a1，n，d，an，Sn，可知三求二．若已知an，优先选用Sn＝；若已知d，优先选用Sn＝na1＋d，同时在解题的过程中注意等差数列的性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq的应用．
活动二 掌握等差数列前n项和的最值问题
例2　在等差数列{an}中，a1＝50，d＝－.
(1) 从第几项开始有an＜0
(2) 求Sn的最大值．
求Sn最值的常用方法：
(1) 函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方法或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n是正整数；
(2) 邻项变号法：①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.
　(1) 在等差数列{an}中，a1＝13，S3＝S11，求Sn的最大值；
(2) 在等差数列{an}中，d＞0，若|a3|＝|a9|，求Sn的最小值．
活动三 探求等差数列前n项和的性质
例3　在等差数列{an}中，已知第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和．
例4　有一等差数列共有2n(n∈N*)项，它的奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，若最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差和项数．
思考
在等差数列中，当项数为2n(n∈N*)时，奇数项和与偶数项和之间有什么关系？
探究：若一个等差数列共有2n＋1(n∈N*)项，则其奇数项和与偶数项和有什么关系？
例5　有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Tn，Sn，且＝，求.
　在例5的条件下，求：
(1) ；(2) ；(3) .
若有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Tn，Sn，则＝________.
1. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5等于(　　)
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
2. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是An和Bn，且＝，则等于(　　)
A. 2 B. C. D.
3. (多选)设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论中正确的是(　　)
A. d<0 B. a7＝0
C. S9>S5 D. S6与S7均为Sn的最大值
4. 一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为，则公差d＝________．
5. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.
(1) 求公差d的取值范围；
(2) 指出S1，S2，S3，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．
参考答案与解析
【活动方案】
例1　(1) 因为a3＝1，a5＝11，
所以d＝＝＝5，
所以a1＝a3－2d＝1－10＝－9，
所以an＝－9＋5(n－1)＝5n－14，
S8＝8×(－9)＋×5＝68.
(2) 因为{an}是等差数列，
所以a1＋a13＝a2＋a12＝2a7，
所以a2＋a7＋a12＝3a7＝24，即a7＝8，
所以a1＋a13＝16，
所以S13＝＝＝104.
(3) 由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝25，
an－3＋an－2＋an－1＋an＝63.
因为{an}是等差数列，
所以a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3，
所以4(a1＋an)＝25＋63＝88，
即a1＋an＝22.
因为Sn＝＝286，
所以n＝26.
(4) 设Sn＝An2＋Bn，由题意，得
①－②，得A(m2－n2)＋B(m－n)＝n－m.
因为m≠n，所以(m＋n)A＋B＝－1，
所以Sm＋n＝A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)．
例2　(1) 因为a1＝50，d＝－，
所以an＝50＋(n－1)×.
令an<0，得50＋(n－1)×<0，
解得n>＝84.
因为n∈N*，所以从第85项开始有an<0.
(2) 由(1)知从第85项开始有an<0，
所以Sn的最大值为S84.
因为a1＝50，d＝－，
所以S84＝84×50－×＝2 108.4.
跟踪训练　(1) 因为a1＝13，S3＝S11，
所以3a1＋d＝11a1＋d，
所以d＝－2，
所以Sn＝13n＋×(－2)
＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，
所以当n＝7时，Sn取得最大值49.
(2) 因为d>0，所以－a3＝a9，所以a1＝－5d.
因为Sn＝na1＋d
＝，
所以当n＝5或n＝6时，Sn取得最小值，
最小值为S5＝S6＝－15d.
例3　由题意知a1＋a2＋…＋a10＝310，①
a11＋a12＋…＋a20＝910，②
设S＝a21＋a22＋…＋a30，③
因为{an}是等差数列，
所以由②－①，得10d＋10d＋…＋10d＝600，
由③－②，得10d＋10d＋…＋10d＝S－910，
所以S－910＝600，所以S＝1 510，
即第21项到第30项的和为1 510.
例4　设此数列为{an}，其公差为d，前n项和为Sn，
由题意知
解得
因为a1＋a3＋a5＋a7＝4a1＋12d＝24，
所以a1＝，
所以此数列的首项为，公差为，项数为8.
思考：若项数为2n(n∈N*)，则S偶－S奇＝nd，＝.
探究：S奇－S偶＝an＋1(an＋1为中间项)，＝.
例5　＝＝＝＝＝.
跟踪训练　(1) ＝＝＝＝.
(2) ＝＝＝＝.
(3) 设Tn＝(7n＋2)k，Sn＝(n＋3)k，k≠0，
所以a5＝T5－T4＝37k－30k＝7k，
b6＝S6－S5＝9k－8k＝k，所以＝＝7.
小结　
【检测反馈】
1. A　解析：因为a1＋a3＋a5＝3a3＝3，所以a3＝1，所以S5＝(a1＋a5)＝×2a3＝5a3＝5.
2. B　解析：由等差数列的性质可知＝＝＝＝＝.
3. ABD　解析：由S50，即a6>0.由S6＝S7，得S7－S6＝a7＝0.由S7>S8，得S8－S7＝a8<0，所以数列{an}是递减数列，故d<0，故A，B正确；因为S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0，所以S90，a7＝0，a8<0，所以S6与S7均为Sn的最大值，故D正确．故选ABD.
4. 5　解析：由题意，得S偶＝192，S奇＝162，所以S偶－S奇＝6d＝30，即d＝5.
5. (1) 由题意，得
因为a3＝12，所以a1＝12－2d，
代入，得解得－即公差d的取值范围为.
(2) 因为S12>0，S13<0，d<0，
所以即
所以所以S6的值最大．

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