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第一章 空间向量与立体几何
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
学案
一、学习目标
1.掌握空间向量坐标运算公式，并能解决相应问题.
2.掌握平行向量、垂直向量的坐标表示，并能解决相关的向量的平行、向量的垂直问题.
3.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式.
二、基础梳理
1. 设，，与平面向量运算的坐标表示一样，我们有：
，
，
，
.
2. 类似平面向量运算的坐标表示，我们还可以得到：
当时，，，；
；
；
.
3. 空间两点间的距离公式：.
三、巩固练习
1.与向量平行的一个向量的坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知，若三个向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为( )
A.0 B. C.9 D.
4.已知和向量，且，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
5.已知在长方体中，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为( )
A. B. C. D.
6.已知且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.定义，若向量，向量为单位向量，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若的三个顶点分别为，则角的大小为_________.
9.已知，则_______.
10.如图，两两垂直，，为的中点，点在线段上，.
(1)求的长；
(2)若点在线段上，设，当时，求实数的值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：对于B，，故选B.
2.答案：C
解析：
3.答案：D
解析：三个向量不能构成空间的一个基底，与不平行，且三个向量共面，所以存在实数，使得，即，得，故选D.
4.答案：D
解析：
设，则解得
即点的坐标为，故选D.
5.答案：B
解析：所以向量在基底下的坐标为，故选B.
6.答案：A
解析：与的夹角为锐角，且与的夹角不为0，当时，夹角为0时，存在，使，，此方程组无解，故选A.
7.答案：B
解析：由题意知，设，则，
又，，故选B.
8.答案：
解析：，则，故角的大小为.
9.答案：
解析：，，.
10.答案：(1)以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，(图略)则
由为的中点，得，
，即的长为.
(2)设，且点在线段上，
，
.
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