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第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第三课时）
学案
一、学习目标
1. 能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系；
2. 能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理.
二、基础梳理
1. 设直线的方向向量分别为，则.
2. 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则，使得__________.
3. 设平面的法向量分别为，则.
三、巩固练习
1.若直线的一个方向向量，平面的一个法向量为，则( )
A.
B.
C.
D. A，C都有可能
2.已知平面的法向量为，则直线与平面的位置关系为( )
A. B.
C.与相交但不垂直 D.
3.如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.异面垂直 D.异面不垂直
4.已知点，若平面，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
5.在正方形中，若为的中点，则直线垂直于( )
A. B. C. D.
6.已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则__________.
7.已知空间三点，若直线上一点，满足，则点的坐标为_________.
8.已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，.对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的是__________.
9.如图，四棱柱中，侧棱底面，，，，，为棱的中点，证明.
参考答案
基础梳理
1. ；0
2. ；
3. ；0
巩固练习
1.答案：A
解析：∵直线的一个方向向量，平面的一个法向量为，
又，∴.故选A.
2.答案：A
解析：∵，∴，∴，∴.故选A.
3.答案：C
解析：建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的棱长为2，则，，，，，则直线的位置关系是异面垂直.故选C.
4.答案：C
解析：由题意知，又平面，所以，得①，，得②，联立①②，解得，故点的坐标为.故选C.
5.答案：B
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则，，.
∴，.
∵，
∴，∴.故选B.
6.答案：3
解析：∵平面的法向量为.又与平面平行，
∴，解得.
7.答案：
解析：设，又，由题意得，∴，∴点的坐标为.
8.答案：①②③
解析：∵，∴，则①②正确；
又与不平行，∴是平面的法向量，则③正确；
由于，，∴与不平行，故④错误.
9.答案：证明：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，依题意得，，，，，.
易得，，
于是，所以.
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