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第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（第一课时）
学案
一、学习目标
1. 能用向量语言描述点、直线和平面；
2. 理解直线的方向向量和平面的法向量.
二、基础梳理
1. 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的__________.
2. 取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使______________①，将代入①式，得______________②.
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.
3. 直线的方向向量：
（1）在空间中，一个向量成为直线的方向向量，必须具备两个条件：
①不能为__________；②表示方向向量的有向线段所在的直线与该直线__________.
（2）一条直线的方向向量有__________.
（3）直线的方向向量是空间中直线向量表示的关键量，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量__________确定，也就是说，给定空间直线上一点A和直线的方向向量a，就可以确定__________条过点A的直线.
4. 取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使______________.这称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知，空间中任意平面由空间一点及________个不共线向量唯一确定.
5. 若直线，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的__________.给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合__________.
三、巩固练习
1.若点在直线上，则直线一个方向向量为( )
A. B. C. D.
2.已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是( )
A. B. C. D.
3.已知直线过点，且平行于向量，平面过直线与点，则平面的法向量不可能是( )
A. B. C. D.
4.如图，在空间直角坐标系中，为正方体，给出下列结论：
①直线的一个方向向量为；②直线的一个方向向量为，③平面的一个法向量为；④平面的一个法向量为.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.已知平面内的两个向量，且，若为平面的法向量，则的值分别为( )
A.–1，2 B.1，-2 C.1，2 D.-1，-2
6.如图所示，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量能作为平面的一个法向量的是( )
A. B. C. D.
7.已知直线的方向向量，且过和，则________，________.
8.在中，，设是平面内任意一点.
（1）求平面的一个法向量；
（2）求满足的关系式.
参考答案
基础梳理
1. 位置向量
2. ；
3. （1）零向量；平行或重合；
（2）无数个；
（3）唯一；唯一一
4. ；两
5. 法向量；
巩固练习
1.答案：A
解析：由题意，可得直线的一个方向向量.又，所以向量是直线的一个方向向量.故选A.
2.答案：B
解析：对于选项A中的点，，排除A.同理可排除C，D.对于选项B中的点，所以，故选B.
3.答案：D
解析：因为，直线平行于向量a，所以若n是平面的法向量，则必须满足，把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.
4.答案：C
解析：；；直线平面，；点的坐标为，与平面不垂直，∴④错.故选C.
5.答案：A
解析：
由c为平面的法向量，得，即，解得.故选A.
6.答案：B
解析：设平面AEF的法向量为，正方体的棱长为1，则由题设得.由，得，取，则，所以.故选B.
7.答案：；
解析：因为直线的方向向量，且过和，，，解得.
8.答案：（1）设平面的一个法向量，
，
，，
令，则，
所以平面的一个法向量为.
（2）因为点是平面内任意一点，，
，
，
故满足的关系式为.
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