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第一章 空间向量与立体几何
1.4 空间向量的应用
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
学案
一、学习目标
1. 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的直线与平面、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题；
2. 能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
二、基础梳理
1. 若异面直线所成的角为，其方向向量分别是u，v，则 __________=__________.
2. 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则__________=__________.
3. 若平面α，β的法向量分别是和，则平面α与平面β的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为，则__________=__________.
4. 解决立体几何中的问题，可用三种方法：__________、__________和__________.
三、巩固练习
1.已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为( )
A.10 B.3 C. D.
2.正方体中，直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
3.如图，已知直三棱柱中，，为的中点，且异面直线与垂直，则直线到平面的距离为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
4.已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知正方体的棱长为，则平面与平面的距离为( )
A. B. C. D.
6.如图，在正方体中，是的中点，是底面四边形的中心，是棱上任意一点，则直线与的夹角是( )
A. B. C. D.与点的位置有关
7.如图所示，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，是等腰直角三角形，其中，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8.如图，在空间直角坐标系中，四棱柱为长方体，，点为的中点，则平面与平面夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
9.如图，在长方体中，，点分别是的中点，则点到直线的距离为_________.
10.在如图所示的长、宽、高分别为2，2，4的长方体中，O为与的交点，则异面直线与所成角的余弦值为__________.
11.如图，在底面是直角梯形的四棱锥中，侧棱底面，，，则到平面的距离为_________.
12.如图，已知正方形的边长为1，平面，且分别为，的中点.
（1）求点到平面的距离；
（2）求直线到平面的距离.
13.如图，在四棱锥中，底面为矩形，，.
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
参考答案
基础梳理
1. ；
2. ；
3. ；
4. 综合法；向量法；坐标法
巩固练习
1.答案：D
解析：由，得点到平面的距离.故选D.
2.答案：C
解析：连接，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，
，
，
，
又，平面，是平面的一个法向量，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
3.答案：C
解析：由直棱柱的性质，知直线到平面的距离为棱柱的高，不妨设为.以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，则.所以，
所以，所以，故选C.
4.答案：A
解析：，则点到直线的距离.故选A.
5.答案：D
解析：由正方体的性质，易得平面平面，则两平面间的距离可转化为点到平面的距离.以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，连接，则，所以平面，得平面一个法向量为，则两平面间的距离.
6.答案：C
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，正方体的棱长为2，则，设，其中，则，
由，得，所以直线与的夹角是.故选C.
7.答案：B
解析：取的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，从而.设平面的法向量为，
则，即，令，则.
所以为平面的一个法向量.
故点到平面的距离.故选B.
8.答案：C
解析：设，则，因为分别为，的中点，所以，所以，设是平面的法向量，则，所以，所以，取，则，所以平面的一个法向量为.又平面，所以是平面的一个法向量，因为，所以平面与平面夹角的余弦值为，故选C.
9.答案：
解析：以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，于是有，
所以，，所以点到直线的距离为.
10.答案：
解析：如图所示，建立空间直角坐标系，可知，则，所以.故异面直线与所成角的余弦值为.
11.答案：
解析：分析知两两垂直，所以可建立以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴的空间直角坐标系(如图所示)，
则，，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，则是平面的一个法向量，又平面，所以所求的距离为.
12.答案：（1）以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，所以，
令，则，所以为平面的一个法向量，
所以点到平面的距离为.
（2）由（1）知，所以，
点到平面的距离为，
因为平面，所以直线到平面的距离为.
13.答案：（1），底面，又底面为矩形，所以以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
设平面的法向量为，则，即，
令，得平面的一个法向量为，
所以与平面所成角的正弦值为，
（2）由（1）得，
设平面的法向量为，
则，即，
令，得平面的一个法向量为，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
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