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一、单选题
1．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为　　
A．2 B． C． D．
2．设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为.若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的的标准方程为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
4．双曲线，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆上的一点，则的面积的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
5．已知椭圆上存在点，使得，其中，分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知是椭圆上一点，椭圆的左 右焦点分别为，且，则（ ）
A．的周长为 B．
C．点到轴的距离为 D．
8．已知抛物线，定点，，点是抛物线上不同于顶点的动点，则的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．如图，，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为_______．
10．已知、分别是双曲线的左、右焦点，也是抛物线的焦点，点是双曲线与抛物线的一个公共点，若，则双曲线的离心率为___________.
11．已知是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，若，则______．
12．已知曲线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F与曲线C2：（a＞b＞0）的右焦点重合，曲线C1与曲线C2交于A，B两点，曲线C3：y2＝﹣2px（p＞0）与曲线C2交于C，D两点，若四边形ABCD的面积为2p2，则曲线C2的离心率为____．
四、解答题
13．已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，分别为左右顶点，直线：与椭圆交于两点，当时，是椭圆的上顶点，且的周长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线交于点，证明：点在定直线上.
14．已知椭圆与椭圆有相同的离心率，且椭圆过点
（1）求椭圆的方程.
（2）若直线与椭圆交于、两点，求线段的垂直平分线的方程.
15．已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．
16．已知点在椭圆上，椭圆C的左右焦点分别为，，的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点A，B在椭圆C上，直线PA，PB均与圆相切，记直线PA，PB的斜率分别为，.
（i）证明：；
（ii）证明：直线AB过定点.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】先求出抛物线的焦点、准线，再根据椭圆的通径公式求出a、c，算出离心率.
【详解】易知抛物线的焦点（2，0），准线x=-2，
即椭圆的c=2，
因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径；
即通径为 ，又因为c=2
解得a=4
所以离心率
故选D.
【点睛】本题目考察了抛物线的方程和性质，以及椭圆的性质，本题关键点在通径上，如果记不得通径公式就直接带入计算，一样可得答案，属于一般题型.
2．A
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
3．A
【分析】根据离心率，面积公式结合求出得椭圆方程．
【详解】由题意，解得，
∴椭圆方程为或
故选：A．
【点睛】本题考查求椭圆的标准方程中，求解题方法是根据已知条件列出方程组求出，只是要注意由于焦点的位置不确定，因此方程有两种．
4．A
【分析】根据是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线的交点得到点A的坐标，再根据D是线段OF的中点，得到D点的坐标，继而可以得到直线AD的方程，又由于点B是圆上的点，点B到直线AD距离的最小值也就是圆心O到直线AD的距离d减去半径，即得解.
【详解】根据题意，双曲线斜率为正的渐近线方程为，
因此点A的坐标是，点D是线段OF的中点，
则
直线AD的方程为，
点B是圆上的一点，
点B到直线AD距离的最小值也就是圆心O到直线AD的距离d减去半径，即，
则
故选：A
5．D
【分析】先由椭圆的定义结合已知求得，再由求得的不等关系，即可求得离心率的取值范围.
【详解】由椭圆的定义得，又∵，∴，，
而，当且仅当点在椭圆右顶点时等号成立，
即，即，则，即.
故选：D．
6．D
【分析】根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．
【详解】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．
故选：D.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
7．BCD
【分析】A．根据椭圆定义分析的周长并判断；
B．根据椭圆定义以及已知条件先求解出的值，结合三角形的面积公式求解出并判断；
C．根据三角形等面积法求解出点到轴的距离并判断；
D．根据向量数量积运算以及的值求解出结果并判断.
【详解】A．因为，
所以，故错误；
B．因为，，
所以，
所以，所以，故正确；
C．设点到轴的距离为，
所以，所以，故正确；
D．因为，故正确；
故选：BCD.
8．AC
【分析】求出直线与抛物线相切时，的大小即可数形结合求解.
【详解】如图所示．
由图可知，当直线与抛物线相切时，最大．
设直线的方程为，则
化简得．
令，解得，
此时，所以．
故选：AC
9．
【分析】连接，设（），则.利用椭圆的定义表示出，由勾股定理求出，即可得到，进而求出直线的斜率.
【详解】如图，连接.
设（），则.
因为，，所以，.
在中，，所以，即，整理得，所以，所以直线的斜率为．
故答案为：-2.
10．##
【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，求出，求出、的余弦值，由题意可知，可得出关于、的齐次等式，结合可解得的值.
【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，则，
因为，则，则，
因为，则，
由余弦定理可得，
因为，所以，，所以，，
整理可得，即，因为，解得.
故答案为：.
11．2023
【分析】设，由求出，再利用抛物线的定义求解.
【详解】解:设，
因为是抛物线上的点，F是抛物线C的焦点，所以，
因此，因为，
所以，即．
又由抛物线的定义，可得，
所以
．
故答案为：2023
12．1+
【分析】由题意可得c＝，由对称性设A（m，n），m，n＞0，B（m，﹣n），C（﹣m，﹣n），D（﹣m，n），则由四边形ABCD的面积为2p2，可得2mn＝p2，又因为2mn＝p2，从而可解得m＝c，n＝2c，再代入双曲线方程化简可得e4﹣6e2+1＝0，从而可求出离心率
【详解】曲线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），F与曲线C2：（a＞b＞0）的右焦点重合，可设c＝，①，
由对称性设A（m，n），m，n＞0，B（m，﹣n），C（﹣m，﹣n），D（﹣m，n），
四边形ABCD的面积为2p2，可得4mn＝2p2，即2mn＝p2，②
且n2＝2pm，③，
由①②③可得m＝c，n＝2c，代入双曲线的方程可得﹣＝1，
由e＝及b2＝c2﹣a2，可得e2﹣＝1，化为e4﹣6e2+1＝0，解得e2＝3+2，可得e＝1+．
故答案为：1+．
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线离心率的求法，解题的关键是由对称性设A（m，n），m，n＞0，B（m，﹣n），C（﹣m，﹣n），D（﹣m，n），从而结题意可得c＝，2mn＝p2，n2＝2pm，解出m＝c，n＝2c，代入双曲线方程中化简可求得离心率，考查计算能力，属于中档题
13．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知确定基本量即可.
（2）代入消元，运用韦达定理整体思想，求出的横坐标为定值得证.
（1）
当时，直线为，
令，得.即椭圆的上顶点为，所以，
又的周长为，即，又，解得，
所以椭圆的方程为 .
（2）
设，由，消去得，所以
，
又，所以直线的方程为，
直线的方程为，
联立直线、的方程得
.
由得代入上式，得
，
解得
所以点在定直线上.
14．（1）；（2）.
【解析】（1）已知得，由离心率得，从而得，再计算出后可得椭圆方程；
（2）由韦达定理得中点坐标，由垂直得斜率，然后可得垂直平分线方程．
【详解】（1）由题意，
椭圆的离心率为，∴，∴，∴，
∴椭圆方程为；
（2）设，
由，得，∴，
设中点为，则，∴．
又，∴的垂直平分线方程为，即．
【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交弦中点问题，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点为，由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理求得，，利用中点坐标公式求得中点的横坐标得中点坐标，再结合斜率可和垂直平分线方程．
15．（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由离心率公式可得，进而可得，即可得解；
（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证；
充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得，进而可得，即可得解.
【详解】（1）由题意，椭圆半焦距且，所以，
又，所以椭圆方程为；
（2）由（1）得，曲线为，
当直线的斜率不存在时，直线，不合题意；
当直线的斜率存在时，设，
必要性：
若M，N，F三点共线，可设直线即，
由直线与曲线相切可得，解得，
联立可得，所以，
所以,
所以必要性成立；
充分性：设直线即，
由直线与曲线相切可得，所以，
联立可得，
所以，
所以
，
化简得，所以，
所以或，所以直线或，
所以直线过点，M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是．
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.
16．(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用，结合三角形的面积公式，求出，即可求椭圆的方程.
(2) （i）设直线的方程为，直线的方程为，由题意可知，可得是方程的两根，利用韦达定理即可证明.
（ii）设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合，可得与的关系式，即可证明直线过定点.
（1）
解：由题知，，的面积等于，
所以，解得，，所以，椭圆C的方程为.
（2）
（i）设直线PA的方程为，
直线PB的方程为，由题知，
所以，所以，
同理，，
所以，是方程的两根，所以.
（ii）设，，设直线AB的方程为，
将代入得，
所以，①
，②
所以，③
，④
又因为，⑤
将①②③④代入⑤，化简得，
所以，所以，
若，则直线，此时AB过点P，舍去.
若，则直线，此时AB恒过点，
所以直线AB过定点.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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