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章末整合提升
专题整合·深拓展
专题一 旋转的概念和性质
应用旋转的性质找相等的角或线段
（1）在旋转变换中存在两类相等的角：①旋转前、后的对应角相等；②对应点与旋转中心连线的夹角（旋转角）相等
（2）在旋转中存在两类相等的线段：①旋转前、后的对应线段相等；②对应点与旋转中心所连的线段相等.
【例1】（山东菏泽中考）如图23-1，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到，连接，若∠1=25°，则的度数是（ ）
A.55° B.60° C.65° D.70°
解析：因为Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到，
所以，，
所以是等腰直角三角形，
所以.
又因为∠1=25°，所以，
所以,
所以.故选C.
答案：C
反思
本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟记这些性质并准确识图是解题的关键.
【例2】（湖北荆门中考）如图23-2，两个全等的三角尺重叠摆放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转到△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则CF=________cm.
解析：因为∠ACB=90°，∠B=30°，所以∠CAB=60°.由旋转的性质，得AC=DC，∠D=∠CAB=60°，所以△ADC是等边三角形，所以∠DCA=60°，所以∠ACF=30°，所以∠AFC=90°，又因为AB=8cm，所以AC=4cm，所以AF=2cm，所以由勾股定理，得.
答案：
方法
本题的解题方法是先利用旋转的性质，即旋转前、后的对应线段相等，对应角相等，得出特殊的三角形，然后利用含30°角的直角三角形的性质及勾股定理求解.
专题二 轴对称图形与中心对称图形的识别
中心对称图形与轴对称图形的异同：
（1）相同点：
①都是指具有特殊对称性的一个图形；
②变换前后都能够与自身重合.
（2）不同点：
中心对称图形是绕一个点进行旋转，而轴对称图形是沿一条直线折叠.
【例3】（湖北恩施中考）下列交通标识，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
解析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念，知
A项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
B项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
C项是轴对称图形，但不是中心对称图形；
D项既是轴对称图形，又是中心对称图形.
答案：D
反思
对于考查轴对称图形和中心对称图形的题目，理解轴对称图形和中心对称图形的定义，结合具体图形正确识别是解题的关键.
专题三 旋转与坐标
图形的旋转与坐标包含两方面的应用：一种是由图形变换确定坐标，另一种是由坐标变化确定图形变换，关键是掌握旋转作图及旋转的性质.其中关于原点中心对称的两个图形的对称点的横、纵坐标分别互为相反数.
【例4】（广东佛山中考）如图23-3，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是.现将△ABC绕点A顺时针旋转90°，则旋转后点C的坐标是________.
解析：如图23-4所示，即为△ABC绕点A顺时针旋转90°后的图形，则的坐标为，即旋转后点C的坐标是.
答案：
反思
此题是由图形旋转变换确定坐标的题目，解题的关键是掌握旋转作图及旋转的性质，找准所求点的对应点.
【例5】（山东枣庄中考）已知点关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
解析：因为点关于原点的对称点的坐标为，该点在第四象限，所以解得a<-1.故选C.
答案：C
方法
解关于原点对称后的点的坐标满足特定条件的题目时，应先根据变换前、后两点坐标间的关系——横、纵坐标分别互为相反数，表示出变换后的坐标，再利用变换后点的位置列出不等式（组），最后求解即可.
专题四 旋转作图
作一个图形的旋转图形可分以下几个步骤：
第1步：确定旋转中心、旋转角、旋转方向；
第2步：确定原图形的关键点；
第3步：将原图形中的关键点与旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角，得到关键点的对应点；
第4步：按照原图形的顺序连接这些对应点，所得图形就是旋转后的图形.
【例6】（湖南衡阳中考）如图23-5，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为，，.
（1）在平面直角坐标系中画出与△ABC关于x轴对称的；
（2）把△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度，得图中的，点在AB上.
①旋转角为多少度？
②写出点的坐标.
分析：（1）直接根据关于x轴对称的点的坐标特征确定图形；
（2）根据旋转图形的特征确定旋转中心和旋转角，再根据点所在的象限确定点的坐标.
解：（1）与△ABC关于x轴对称的如图23-6所示.
（2）①由图23-5可知，旋转角为90°.
②点的坐标为.
技巧
平面直角坐标系内的旋转作图问题与一般的旋转作图类似，其不同点在于若是作关于坐标轴的对称图形或关于原点的中心对称图形，可以根据点的坐标规律，直接在坐标系内找到对应点的坐标，描点后连线.
思想方法·巧解读
专题一 数形结合思想
数形结合是由数思形，由形想数，把数与形结合起来分析问题的数学思想.在本章中将平面直角坐标系中的图形旋转，求旋转后点的坐标，常运用数形结合思想解决.
【例1】（广西贺州中考）如图23-7，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段，那么的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
解析：因为线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段，所以，，所以.
如图23-8，作AC⊥y轴于点C，轴于点，
所以.
因为，
所以，
即.
在△ACO和中，
所以（AAS），
所以，.
因为，所以AC=2，CO=5，
所以，，所以，故选B.
答案：B
技巧
平面直角坐标系内一点绕原点按顺时针方向旋转90°，180°，270°后得到的点的坐标分别为，，.
专题二 分类讨论思想
在分析图案的形成过程和探讨坐标系中的点时经常会遇到多解问题，若在没有指明对应关系的情况下求解，必须考虑各种不同的情况并加以讨论，以防丢解造成错误，分类讨论思想是防止出现此类错误的最有效的方法.运用此方法可以把问题分析得有条理且全面.
【例2】在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，将△ABC绕点A旋转30°后与重合，求的度数.
分析：因未指明方向，应按顺时针方向旋转和逆时针方向旋转两种情况分类讨论.
解：（1）如图23-9所示，将△ABC绕点A逆时针旋转30°，则.
因为在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，
所以∠BAC=75°.
所以.
（2）如图23-10所示，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，则.
因为在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，
所以∠BAC=75°.
所以.
故的度数为105°或45°.
反思
分类讨论是一种重要的数学思想，在研究数学问题时，常常需要通过分类讨论解决问题.分类要依据一个标准，且要做到不重复不遗漏.
专题三 转化思想
运用转化思想可以使复杂问题简单化，降低问题的难度.在本章中，主要体现在利用旋转把分散的图形集中到一起组成规则图形，从而使问题简单化，便于问题的解决.
【例3】如图23-11所示，四边形ECFD为正方形，观察图形并回答下列问题.
（1）请简述由图23-11①变换到图23-11②的过程；
（2）若AD=4，BD=6，求.
解：（1）将图23-11①中的△AED绕点D逆时针旋转90°得到图23-11②.
（2）由题意，知，
所以，AD=AD=4.
因为是由△ADE绕点D逆时针旋转90°得到的，
所以，所以，
所以，
所以.
方法
本题考查了旋转的性质，并先利用旋转的性质将转化为，把分散的关系集中并转化为与结论有关的条件，达到化难为易、化未知为已知的目的，再利用直角三角形的面积公式解决问题.

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