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第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
基础知识·细解读
知识点一 一元二次方程的概念
1 对一元、二次的理解
二次：方程中未知数的最高次数是2
一元：方程中只含有一个未知数
2 一个方程是一元二次方程必须同时满足三个条件
（1）整式方程；
（2）只含有一个未知数；
（3）未知数的最高次数是2.
【例1】下列方程中，哪些是一元二次方程？
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）.
解：（1）分母中含有未知数，不是整式方程，所以不是一元二次方程.
（2）整理，得，是一元二次方程.（3）是一元二次方程.（4）是一元二次方程.（5）整理，得2y+1=0，未知数的最高次数是1，所以不是一元二次方程，是一元一次方程.（6）方程中含有x，y两个未知数，不是一元二次方程.所以（2）（3）（4）是一元二次方程.
总结
判断一元二次方程，厘清“是”“否”是关键
观察方程是否为整式方程不是一元二次方程
↓是
使方程的右边为0，左边合并同类项
↓
观察是否满足“一元”和“二次”不是一元二次方程
↓是
是一元二次方程
知识点二 一元二次方程的一般形式
1 一元二次方程的一般形式及特点
（1）一般形式：任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成一般形式：.
（2）特点：方程左边为关于未知数的二次整式，右边为0.
2 一元二次方程的各项及其系数
3 一元二次方程的特殊形式
a，b，c的取值 一般形式
，
，
，
【例2】将下列方程化为一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
（1）；（2）；
（3）；（4）.
解：（1）移项，得一元二次方程的一般形式为.其中二次项系数为3，一次项系数为-4，常数项为0.
（2）移项，得一元二次方程的一般形式为.其中二次项系数为2，一次项系数为-3，常数项为4.
（3）去括号，得.移项、合并同类项、系数化为1，得一元二次方程的一般形式为.其中二次项系数为1，一次项系数为-4，常数项为-3.
（4）去分母，得.去括号、移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为.其中二次项系数为2，一次项系数为-3，常数项为-9.
总结
确定一元二次方程的各项及其系数，三点注意莫忽视
（1）先把方程化为一般形式，如果二次项系数小于0，一般把方程两边同乘一1，将其二次项系数转化为大于0的数.
（2）指出一元二次方程各项的系数时，注意带上前面的符号，不要漏掉.
（3）特例：若没有出现一次项bx，则；若没有出现常数项，则.
知识点三 一元二次方程的解（根）
一元二次方程的解（根）满足的两个条件
（1）未知数的值；
（2）使方程左右两边相等.
注意：只含一个未知数的方程的解，也叫方程的根.含有两个或两个以上未知数的方程的解，不能叫方程的根.
【例3】判断，是不是一元二次方程的根.
解：将分别代入方程的左右两边，得左边，右边，，所以不是方程的根；
将分别代入方程的左右两边，得左边，右边，，所以是方程的根.
总结
判断是否为一元二次方程的根的妙招
将已知数值分别代入一元二次方程的左右两边，若左右两边的值相等，则这个数值是方程的根，否则不是.
特别提醒
对一元二次方程概念的理解
（1）“整式方程”应理解为未化简（去分母、去括号、移项和合并同类项）时，方程两边均是整式.
（2）“只含有一个未知数，未知数的最高次数为2”是对方程整理合并后而言的.
巧记口诀
一元二次方程的概念可利用口诀记忆：
含有一个未知数，
最高指数是二次，
整式方程最常见，
一元二次方程式.
特别提醒
如果一个方程的二次项系数含有字母，必须注意只有当这个字母的取值使二次项系数不为0时，该方程才是一元二次方程.
特别提醒
化一元二次方程为一般形式的步骤
第1步：去分母；
第2步：去括号；
第3步：移项；
第4步：合并同类项.
拓展
关于一元二次方程根的三个重要结论
（1）元二次方程有一个根为.
（2）一元二次方程有一个根为.
（3）一元二次方程有一个根为.
应用能力·巧提升
题型一 运用一元二次方程的概念确定字母的值（或取值范围）
【例1】a为何值时，是关于x的一元二次方程？
审题关键：因为所给方程是关于x的一元二次方程，所以既要保证未知数的最高次数是2，又要保证二次项系数不等于0.
破题思路：根据一元二次方程的概念，得，且，从而求得a的值.
解：因为是一元二次方程，
所以，所以.
又因为，
所以，所以.
所以当时，是一元二次方程.
解后反思
一元二次方程概念掌握好，待定字母可确定
要确定一元二次方程中待定字母的值（或取值范围），需根据一元二次方程的概念，令方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数等于2，二次项系数不为零，列出关于某个字母的方程（组）或不等式（组），解方程（组）或不等式（组），即可确定字母的值（或取值范围）.
题型二 一元二次方程根的应用
【例2】（山东菏泽中考）已知m是关于x的方程的一个根，则________.
审题关键：将根代入方程，可以使方程左右两边相等.
解析：因为m是关于x的方程的一个根，所以，所以，所以.
答案：6
一题多变
若把“”改为“”，应如何解答？
解后反思
已知方程的一根，求代数式或待定系数的值时，可根据一元二次方程的根的定义，把根代入原方程，得到一个关于某个字母的方程，通过方程巧求代数式的值或解方程求字母的值.
题型三 根据实际问题列一元二次方程
【例3】某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出50件，每件盈利40元.为了加快资金回笼，超市采用降价措施，每件童装每降价2元，平均每天就多售出8件.如果要使平均每天销售童装利润为1000元，那么每件童装应降价多少元？（只需列出方程，并化为一般形式，不必求解）
审题关键：抓住利润、销量与降价的关系，分析得出降价后销售件数及每件的利润.
破题思路：设每件童装应降价x元，则降价后平均每天销售件，每件利润为元，根据题意列出方程，整理化成一般形式.
解：设每件童装应降价x元.
根据题意，得.
整理，得.
方法技巧
找出等量关系，列出方程并不难
认真审题，弄清已知和未知之间的数量关系，找出等量关系是列方程的关键.例如，在解决有关利润问题时，有下列几个关系式：单件利润=单件售价一单件进价；；.
变式训练
1.已知关于x的方程.
（1）当k为何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的解.
（2）当k为何值时，此方程为一元二次方程？
变式训练
2.（黑龙江龙东中考）已知是关于x的一元二次方程的一个实数根，则实数m的值是（）
A.0 B.1 C.-3 D.-1
3.已知是关于x的一元二次方程的一个根，则代数式（）
A.2013 B.2009 C.2010 D.2012
变式训练
4.在一幅长为80cm、宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图21.1-1所示.如果要使整个挂图的面积是5400，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程是（）
A.
B.
C.
D.
易误易混·精辨析
易错点一 忽略一元二次方程概念中的条件而致错
【例1】当m为何值时，方程是关于x的一元二次方程？
解：根据题意，得，且.
解，得，解，得，所以.所以当时，原方程是关于x的一元二次方程.
防错警示
①确定一元二次方程的待定系数时，易忽视一元二次方程的一般形式中这个隐含条件.
易错点二 不能准确确定一元二次方程的各项系数而致错
【例2】写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.
解：把原方程化为一般形式为，
所以二次项系数是1，一次项系数是-3，常数项是-4.
防错警示
在写出一元二次方程各项的系数时，应先把方程化成一般形式.
在写一元二次方程各项的系数时，易漏掉一次项系数和常数项前面的符号.
真题解密·探源头
中考真题 教材原型
（宁夏中考）若是方程的一个根，则c的值是（） A.1 B. C. D. 解析：把代入方程，得， 解得. 答案：A 教材第4页习题21.1第7题 如果2是方程的一个根，那么常数c是多少？求出这个方程的其他根. 解：把代入方程，得，解得，所以这个方程是，即，由平方根的意义，得.所以这个方程的另一个根是-2.
命题人解密：教材习题很典型地考查了已知一元二次方程的一个根，先求出待定系数的值，进而求出一元二次方程的另一个根.中考题就是针对这一考点进行设置的，不同的是不要求求出另一个根. 阅卷人解密：在解答此类题时的两处失分点：（1）把x的值代入原方程时出现错误；（2）解新方程时出现错误.
高效训练·速提能
【基础达标】
1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）
A. B.
C. D.
2.若一元二次方程的一个根为2，则p的值为（）
A.1 B.2 C.-1 D.-2
3.若方程是一元二次方程，则a的取值范围是（）
A. B.
C. ，且 D.a为任意实数
4.（辽宁辽阳中考）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆.设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（）
A. B.
C. D.
5.若是一元二次方程的一个根，则m的值为________.
6.某住宅小区准备在每两幢楼房之间，开辟一块面积为300的长方形绿地，并且长比宽多12m，设长方形绿地的宽为x m，则可列方程为________，________；把所列方程化成一般形式为________，其二次项系数为________，一次项系数为________，常数项为________.
7.已知关于x的方程.
（1）当m为何值时，是一元二次方程？
（2）当m为何值时，是一元一次方程？
【能力提升】
8.关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（）
A.1 B.-1 C.1或-1 D.
9.已知关于x的一元二次方程有一个非零根-b，则的值为（）
A.1 B.-1 C.0 D.-2
10.某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张照片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程应为________________.
11.如图21.1-2（示意图），在长为50m，宽为30m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分为草坪.要使草坪的面积为1421，求道路的宽度.（只需列出方程，并化为一般形式，不必求解）
【拓展创新】
12.已知a是一元二次方程的一个根，试求的值.
本书习题参考答案
21.1 一元二次方程
应用能力·巧提升
1.解：（1）若方程为一元一次方程，则必须同时满足
解得所以.
所以当时，此方程为一元一次方程，方程为，方程的解为.
（2）若方程为一元二次方程，则必须满足，解得.所以当时，此方程为一元二次方程.
【例2】一题多变
4 解析：由已知，得，所以，所以.
2.B 解析：根据题意，得，解得.故选B.
3.A 解析：把代入已知方程中，得.即，所以，所以.
4.B 解析：根据题意列方程，得.整理，得.
高效训练·速提能
1.D 解析：A项分母中含有未知数，不是一元二次方程：B项中未说明，不一定是一元二次方程；C项中含有两个未知数，不是一元二次方程.故选D.
2.C 解析：把代入一元二次方程，得，解得.
3.C 解析：根据题意，得，解得，且.
4.A
5.-3 解析：将代入，得，解得.
6. 1 12 -300 解析：根据长方形的面积长×宽，得，整理成一般形式为，其二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，12，-300.
7.解：（1）当，即时，方程是一元二次方程.
（2）当，且时，方程是一元一次方程，解得，即当时，方程是一元一次方程.
8.B 解析：根据题意，得，即.又因为当时，方程不是一元二次方程，所以.
故选B.
9.A 解析：将代入方程，得，所以.因为-b是方程的非零根，所以，即.故选A.
10. 解析：每个学生要送给其余
名学生每人一张照片，这样共需送张.根据题意，得.
11.解：如答图21.1-1（示意图），将阴影部分平移，设小路的宽为x m，则长方形草坪的长为，宽为.根据题意，得.整理，得.
12.解：由方程的根的意义，得，故，，所以.
教材参考答案
21.1 一元二次方程
练习（第4页）
1.解：（1），二次项系数为5，一次项系数为-4，常数项为-1.
（2），二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-81.
（3），二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为-25.
（4），二次项系数为3，一次项系数为-7，常数项为1.
2.解：（1），即.
（2），即.
（3），即.
习题21.1（第4页）
1.解：（1），二次项系数为3，一次项系数为-6，常数项为1.
（2），二次项系数为4，一次项系数为5，常数项为-81.
（3），二次项系数为1，一次项系数为5，常数项为0.
（4），二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为1.
（5），二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为10.
（6），二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-2.
2.解：（1）设这个圆的半径为Rm.由圆的面积公式，得，所以，即.
（2）设这个直角三角形较长的直角边的长为x cm，则较短的直角边的长为cm.由直角三角形的面积公式，得，即.
3.解：-4，3是方程的根.
4.解：设矩形的宽为x cm，则矩形的长为cm.
由矩形的面积公式，得
，即.
5.解：设矩形的长为x m，则矩形的宽为m.
由矩形的面积公式，得，
即.
6.解：设有n人参加聚会.根据题意，知，即.
7.解：把代入方程，得，解得，所以这个方程是，即，由平方根的意义，得.所以这个方程的另一个根为-2.

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