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3.1.1　椭圆及其标准方程
【考点梳理】
考点一　椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：两个定点F1，F2.
3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.
考点二　椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形 INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-10.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-10.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-11.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\莫成程\\2020\\同步\\数学\\人教A版 选择性必修第一册(新教材)\\2-11.TIF" \* MERGEFORMATINET
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 b2＝a2－c2
思考　能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？
答案　能．椭圆的焦点在x轴上 标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上 标准方程中含y2项的分母较大．
【题型归纳】
题型一：求椭圆的标准方程
1．已知直线经过椭圆的顶点和焦点，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：椭圆的定义及其应用
4．动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．不能确定
5．若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆C的方程为，，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
题型三：与椭圆有关的轨迹问题
7．若方程表示椭圆，则k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．椭圆＋＝1(m>0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m等于（ ）
A．1 B． C． D．2
9．已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的内切圆的半径（ ）
A．1 B． C． D．2
【双基达标】
10．已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
11．椭圆的焦点为，，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．阿基米德是古希腊著名的数学家 物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
13．已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（ ）
A． B． C． D．
14．若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为（ ）
A． B．2 C． D．
15．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若△的周长为6，且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
16．已知分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上，，分别是的中点，且的周长为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
17．已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A．1 B．－1 C． D．
18．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，且短轴长为，则的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
19．已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（ ）
A． B．
C． D．
20．已知分别为椭圆的左，右焦点，为上顶点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
21．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点B在椭圆，则（ ）
A． B． C． D．
22．已知椭圆C：的左右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1，作直线交椭圆C于A、B两点，则三角形ABF2的周长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
23．设是椭圆的左，右焦点，过的直接l交椭圆于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
24．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．6
25．已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．椭圆的焦点为，，与轴的一个交点为，若，则（ ）
A．1 B． C． D．2
27．若直线过椭圆短轴端点和左顶点，则椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
28．已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
29．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．＋y2＝1 B．＋y2＝1
C．＋y2＝1或 D．以上答案都不正确
30．若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．当点P不在x轴上时，的周长是6
B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为
C．存在点P，使
D．的取值范围是
31．焦点坐标为，（0，4），且长半轴的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
32．已知，“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
33．椭圆与(0A．长轴的长相等
B．短轴的长相等
C．离心率相等
D．焦距相等
二、多选题
34．已知椭圆上有一点， 分别为其左右焦点，，的面积为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则； B．若，则满足题意的点有个；
C．若是钝角三角形，则； D．椭圆的内接矩形的周长的最小值为.
35．平面上，动点M满足以下条件，其中M的轨迹为椭圆的是（ ）
A．M到两定点，的距离之和为4
B．M到两定点，的距离之和为6
C．M到两定点，的距离之和为6
D．M到两定点，的距离之和为8
36．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（ ）
A．为定值
B．的周长的取值范围是
C．当时，为直角三角形
D．当时，的面积为
三、填空题
37．中，A为动点，，且满足，则A点的轨迹方程为______．
38．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．
39．已知是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则的最大值为______．
40．已知椭圆的焦距是8，椭圆上的某点到两个焦点的距离之和等于16，则椭圆的标准方程是______．
41．过椭圆上一动点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为________．
42．设为椭圆的左焦点，M是椭圆上任意一点，P是线段的中点，则动点P的轨迹的方程为______．
四、解答题
43．已知是椭圆两个焦点，且椭圆的长轴长为.
（1）求此椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且，求的面积.
44．已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值．
参考答案
1．B
【分析】根据椭圆的标准方程以及焦点与顶点的定义，利用直线的方程求出点的坐标，进而求出，可得答案.
【详解】由，令，解得；令，，
由，则该椭圆的一个焦点为，一个顶点为，故，，则，即椭圆的标准方程为.
故选：B.
2．B
【分析】利用椭圆的对称性、勾股定理、椭圆的定义求得，再求得后可得标准方程．
【详解】由对称性，又，则，
所以，，又，则，
椭圆标准方程为．
故选：B．
3．A
【分析】根据椭圆的焦点可求，根据经过点，可得，进而可求解，即可得椭圆方程.
【详解】因为焦点坐标为和，所以.椭圆经过点，且焦点在x轴上，所以，所以，则椭圆的标准方程为.
故选:A.
4．A
【分析】根据椭圆的定义，即可得答案.
【详解】由题意可得，根据椭圆定义可得，P点的轨迹为椭圆，
故选：A
5．A
【分析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程.
【详解】由题意得：到与的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，所以，，所以椭圆方程为.
故选：A
6．C
【分析】由椭圆定义确定点轨迹是椭圆，然后求出，可得其方程．
【详解】因为点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，所以，
所以，而，
所以点轨迹是以为焦点，长轴长是4的椭圆．设其方程为，
，，，则，
所以点轨迹方程是．
故选：C．
7．D
【分析】由题意可得，解方程即可得出答案.
【详解】因为方程表示椭圆，
所以，
解得：且.
故k的取值范围为：.
故选：D.
8．C
【分析】由椭圆方程及焦点三角形的大小，应用余弦定理列方程求参数m即可.
【详解】由题设，，，故，，
在△中，则，又，
所以.
故选：C
9．C
【分析】根据椭圆方程求出、、的值，即可得到、、的值，从而求出的面积，再利用等面积法求出内切圆的半径.
【详解】解：椭圆中，，，则，、∴，，
∴．∵，，∴，
∵，∴，
解得．
故选：C．
10．B
【分析】若表示焦点在轴上的椭圆，可得即可得的范围，再选取该范围的一个真子集即可求解.
【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得：．
所以成立的充要条件是：．
结合四个选项可知：成立的充分不必要条件是，
故选：B.
11．C
【分析】利用椭圆的定义以及余弦定理，可以解得，一方面，另一方面设点到轴的距离为，则，所以，即可求解
【详解】易得．设，，则．
在中，由余弦定理得，
即，则，
所以．
设点到轴的距离为，则，故，解得．
故选：C．
12．A
【分析】由椭圆的面积为和两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，得到求解.
【详解】由题意得，解得，
所以椭圆的标准方程是.
故选：A
13．D
【分析】运用椭圆的定义进行求解即可.
【详解】由.
因为，是椭圆的上的点，、是椭圆的焦点，
所以，
因此的周长为，
故选：D
14．D
【解析】首先根据题意得到，，，从而得到，再求长轴长即可.
【详解】因为椭圆：，焦点，
所以，，，即，解得或（舍去）.
所以，长轴为.
故选：D
【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，属于简单题.
15．A
【分析】利用椭圆定义及焦点三角形的性质、椭圆参数关系求参数，写出椭圆方程即可.
【详解】由椭圆的定义可得，
∴①，
当点为上顶点或下顶点时，△的面积取得最大值为，
∴②．又③，
由①②③，得，，，
∴椭圆的标准方程为．
故选：A
16．B
【分析】因为，所以三点共线，且，根据椭圆的定义求得，
设，根据，求得，代入椭圆的方程，求得的值，即可求解.
【详解】因为，所以三点共线，且，
因为分别为和的中点，
所以，所以，
设，，，
由，可得，
求得，，所以，
因为点在椭圆上，所以，求得，，
所以椭圆的方程为.
故选：B.
17．A
【分析】设椭圆的左焦点为，得到，得出，结合图象，得到当且仅当，，三点共线时，取得最小值，即可求解.
【详解】设椭圆的左焦点为，则，可得，
所以，
如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，
此时取得最小值，
又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．
故选：A．
18．B
【分析】根据“逼近法”求椭圆的面积公式，及短轴长为，即可求得的值，进而由焦点在轴上可得的标准方程.
【详解】由题意可得
解得，，
因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.
故选：B.
【点睛】本题考查了数学文化，椭圆的几何性质及标准方程求法，属于基础题.
19．B
【分析】根据定义可判断点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求出轨迹方程.
【详解】由题可得圆心，半径为6，
是垂直平分线上的点，，
，
点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，
，故点的轨迹方程为.
故选：B.
20．D
【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标和点A的坐标，进而求出三角形的面积.
【详解】由椭圆方程得..
故选：D.
21．A
【分析】利用椭圆的定义结合正弦定理可求得结果.
【详解】在椭圆中，，，则，故点、为椭圆的焦点，
因此，.
故选：A.
22．C
【分析】根据椭圆的定义求解即可
【详解】由题意椭圆的长轴为，由椭圆定义知
∴
故选：C
23．A
【分析】根据椭圆的定义可得的周长为；然后分析出当最小时，最大，从而求出的最小值即可.
【详解】由椭圆的定义，知，，
所以的周长为，
所以当最小时，最大.
又当时，最小，此时，
所以的最大值为.
故选：A.
24．B
【分析】根据圆的性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可.
【详解】解：设圆的圆心为，则，
设，则，
所以
，当且仅当时取得最大值，
所以．
故选：B．
25．D
【解析】设以及中点坐标，利用“点差法”得到之间的关系，从而得到之间的关系，结合即可求解出椭圆的方程.
【详解】设，的中点，所以，
又，所以，即，
而，，所以，又，
∴，即椭圆方程为：.
故选：D.
【点睛】本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.
26．C
【分析】由椭圆的定义结合已知得，进而求出m即可.
【详解】
在椭圆中，，，.易知.
又，所以为等边三角形，即，所以，即.
故选：C.
27．B
【分析】根据给定条件，求出直线与x轴，y轴的交点，即可求解作答.
【详解】直线交x轴于，交y轴于，依题意，，
所以椭圆方程为.
故选：B
28．A
【分析】待定系数法去求椭圆C的方程
【详解】由椭圆方程可知，由四边形OMAN是正方形可知，
又点M在椭圆C上，则有，解得，
又椭圆C的右焦点为，则，
结合椭圆中，解得，，则椭圆C的方程为.
故选：A
29．C
【分析】由直线方程得直线与坐标轴的交点，分焦点在x轴上、焦点在y轴上讨论可得答案.
【详解】由直线方程x－2y＋2＝0 得直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，
由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为；当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为.
故选：C.
30．C
【分析】根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点位于上下顶点时，面积的最大即可判断选项B；当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大与比较即可判断选项C；当点为椭圆的左右顶点时取得最值，即可判断选项D.
【详解】由椭圆方程可知，，从而．
对于选项A；根据椭圆定义，，又，所以的周长是 ，故选项A正确；
对于选项B：设点，因为，则．
因为，则面积的最大值为，故选项B正确；
对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大．
此时，，又，
则为正三角形，，
所以不存在点，使，故选项C错误；
对于选项D：由椭圆的性质可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时；
当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确．
故选：C.
【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论
以椭圆上一点和焦点为顶点的中，若，则
（1）焦点三角形的周长为；
（2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大；
（3），当时，即点为椭圆短轴的一个端点时取最大值，为；
（4）.
31．B
【分析】根据题意可知，即可由求出，再根据焦点位置得出椭圆方程．
【详解】因为，所以，而焦点在轴上，所以椭圆方程为．
故选：B．
32．B
【分析】先求出方程表示椭圆的充要条件，再利用充分条件和必要条件的定义判断即可
【详解】解：若方程表示椭圆，则，解得且，
所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，
故选：B
33．D
【分析】根据椭圆方程求得两个椭圆的，由此确定正确选项.
【详解】椭圆与 (0前者a2＝25，b2＝9，则c2＝16，后者a2＝25－k，b2＝9－k，则．
显然只有D正确．
故选：D
34．ABC
【分析】对于A，利用焦点三角形的面积公式可求解，对于B，利用三角形的面积公式求出三角形的高与比较即可判断，对于C，三角形是钝角三角形，求出三角形是直角三角形的面积，进而可求出范围，对于D，利用椭圆的参数方程以及三角函数的性质求出即可
【详解】由椭圆可得，则，
对于A，设，，则，由此可得，所以的面积为
所以，所以A正确，
对于B，因为，则，所以由椭圆的对称性可知满足题意的点有个，所以B正确，
对于C，因为是钝角三角形，所以中有一个角大于，当时，设，则，因为，所以解得，所以，所以是钝角三角形时，有，所以C正确，
对于D，令，，则椭圆内接矩形的周长为
（其中且满足），由得，所以椭圆内接矩形的周长的范围为，即，所以D错误，
故选：ABC
35．BD
【分析】根据椭圆的定义进行逐一判断即可.
【详解】因为两定点，的距离为，所以选项A不符合椭圆定义，选项B符合椭圆定义；
因为两定点，的距离为，所以选项C不符合椭圆定义，选项D符合，
故选：BD
36．ACD
【分析】对选项进行逐一判断.由椭圆的定义判断A；由为定值以及的范围判断B；求出坐标，由数量积公式得出，得出为直角三角形判断C；求出坐标，由面积公式得出的面积判断D.
【详解】设椭圆的左焦点为，则
所以为定值，A正确；
的周长为，因为为定值6，
所以的范围是，所以的周长的范围是，B错误；
将与椭圆方程联立，可解得，
又因为，∴
所以为直角三角形，C正确；
将与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确.
故选：ACD
37．.
【分析】根据正弦定理和椭圆的定义进行求解即可.
【详解】根据正弦定理，由，
所以点A点的轨迹是以，为焦点的椭圆，不包括两点，
由，
所以A点的轨迹方程为，
故答案为：.
38．
【分析】根据方程表示焦点在y轴上的椭圆列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】由于方程表示焦点在y轴上的椭圆，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
39．##
【分析】首先根据椭圆定义可得，当三点不共线时，必要，如图，当点运动到的延长线和椭圆交点时，
取得最大，即可得解.
【详解】根据题意椭圆方程为，
所以，，
所以，，
故，
如图，根据椭圆定义可得：
，
当点运动到的延长线和椭圆交点时，
取得最大，
此时，
所以的最大值为.
故答案为：
40．或
【分析】由焦距、椭圆定义可知，进而写出椭圆标准方程，注意焦点分别在x、y轴两种情况.
【详解】由题设，，则，而，
所以椭圆的标准方程是或.
故答案为：或
41．
【分析】易知两圆的圆心为椭圆的两焦点，由勾股定理可得，，由椭圆的定义可得，设，利用二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】，，，易知、为椭圆的两个焦点，
，
根据椭圆定义，
设，则，即，
则，
当时，取到最小值．
故答案为：
42．
【分析】设出点的坐标，根据点坐标与点坐标之间的关系，结合点坐标满足椭圆方程，即可求得点的轨迹方程.
【详解】对椭圆，其左焦点的坐标为，设点的坐标分别为，
因为点是线段的中点，故可得，即，
又点在椭圆上，故，即，整理得：.
故答案为：.
43．（1）；（2）.
【分析】（1）由题可得，从而可得方程；
（2）设，在中利用余弦定理可得，进一步可求得的面积．
【详解】（1）由题意知,
∴，又，
∴，
椭圆方程为.
(2)设，
由椭圆的定义得，又，
在中由余弦定理得，
得，
.
44．最大值为，最小值为11
【分析】设点P的坐标为，则，由，利用二次函数的性质求解.
【详解】因为P是椭圆上一点，
所以，且椭圆焦点在y轴上，
点P是椭圆上任意一点，设点P的坐标为，
则，
所以，
，
，
因为，
当时，，
所以
当时， .
试卷第1页，共3页

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