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第二集：函数—利用奇偶性、单调性解函数不等式
一、奇偶性的定义
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称
奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称
二、函数奇偶性常用结论
结论1：如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有意义，那么f(0)＝0．
结论2：如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
结论3：若函数y＝f(x＋b)是定义在R上的奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称．
结论4：若函数y＝f(x＋a)是定义在R上的偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．
结论5：已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0．特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0．
推论1：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c．
推论2：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(x)max＋g(x)min＝2c．
结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇奇＝偶，偶偶＝偶，奇偶＝奇．
结论7：若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记g(x)＝[f(x)＋f(－x)]，h(x)＝[f(x)－f(－x)]，则f(x)＝g(x)＋h(x)．
结论8：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．
结论9：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．
结论10：复合函数y＝f[g(x)]的奇偶性：内偶则偶，两奇为奇．
结论11：函数f(x)＝ax＋a－x(a>0且a≠1)是偶函数；函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)是奇函数；
函数f(x)＝ (a>0且a≠1)是奇函数；
结论12：函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)是奇函数；函数f(x)＝loga(±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．
三、单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
(3)函数单调性常用结论
结论1：y＝f(x)在区间D上是增函数 对 x10 >0；
结论2：y＝f(x)在区间D上是减函数 对 x1f(x2) (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0．
结论3：函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋C(C为常数)具有相同的单调性．
结论4：若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反．
结论5：在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)＞0)与和具有相同的单调性．
结论6：在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝单调性相反．
结论7：若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数．
结论8：若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，且f(x)＞0，g(x)＞0，则f(x) g(x)也是区间A上的增(减)函数．
结论9：奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．
结论10：若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．
四、对勾函数与双刀函数
（1）对勾函数：f(x)＝ax＋(ab＞0)
Ⅰ．当a＞0，b＞0时，f(x)在(－∞，－]，[，＋∞)上是增函数，在[－，0)，(0，]上是减函数；
Ⅱ．当a＜0，b＜0时，f(x)在(－∞，－]，[，＋∞)上是减函数，在[－，0)，(0，]上是增函数；
（2）双刀函数：f(x)＝ax＋(ab＜0)
Ⅰ．当a＞0，b＜0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数；
Ⅱ．当a＜0，b＞0时，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数；
典型例题
命题视角1 函数奇偶性的直接应用
例1：(1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则g(－8)＝(　　)
A．－2 B．－3
C．2 D．3
(2)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，则a＝________.
解：(1)当x<0时，－x>0，且f(x)为奇函数，则f(－x)＝log3(1－x)，所以f(x)＝－log3(1－x)．因此g(x)＝－log3(1－x)，x<0，故g(－8)＝－log39＝－2.
当x>0时，－x<0，f(－x)＝－e－ax.因为函数f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以＝8，所以a＝－3.
命题视角2 函数奇偶性与单调性的应用
例2：已知函数，其中是自然数对数的底数，若，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
解：由于，
则，
故函数为奇函数．故原不等式，
可转化为，
即；又，
由于，故恒成立，
故函数单调递增，则由可得，
，即，
解得，
故选：．
通法提炼：
利用函数的奇偶性可以解决以下问题
1求函数值：将待求函数值利用奇偶性转化为求函数已知解析式的区间上的函数值.
2求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式区间上，再利用奇偶性的定义求出.
3求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据fx±f－x＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程组，进而得出参数的值.
4画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象.
5求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值的和为零可求一些特殊结构的函数值.
命题视角3 函数奇偶性、单调性与构造函数的综合
例3：已知函数满足，且对任意的，，，都有，，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
分析：
由可化为，构造函数，利用单调性获得解决。
解：
可化为，所以在上为增函数，
又，所以为奇函数，所以为奇函数，
所以在上为增函数．因为，
所以，
所以，即
故选：B．
小结：
关键点小结：本题的关键是把条件可化为，这是解决问题的突破口,这种结构往往是判定单调性，所以把右边变成0就顺理成章.
命题视角4 部分奇偶性问题
例4：已知函数，则关于的不等式的解集为　　
A． B． C． D．
解：根据题意，函数，其定义域为；
设，
有，即函数为奇函数，
又由函数和都是上的增函数，故为上的增函数；
则有，
解可得；
即的取值范围为，；
故选：．
命题视角5 单调性、奇偶性和周期性结合
例5已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋2)＝f(x)；②f(x－2)为奇函数；③当x∈[0，1)时，＞0(x1≠x2)恒成立，则，f(4)，的大小关系正确的是(　　)
A．＞f(4)＞ B．f(4)＞＞
C．＞f(4)＞ D．＞＞f(4)
解：　由f(x＋2)＝f(x)可知函数f(x)的周期为2，所以f(x)＝f(x－2)，
又f(x－2)为奇函数，所以f(x)为奇函数，
所以＝，
f(4)＝f(4－2×2)＝f(0)＝0.
＝，
又x∈[0,1)时，f(x)单调递增．
故奇函数f(x)在(－1,1)上单调递增．
所以＞f(0)＞，
即f(4)＞.
命题视角6 奇偶性与对称中心联姻
例6 已知定义域为的函数在，上单调递增，若是奇函数，则满足 的范围为　　
A． B．， C． D．，
解：是奇函数；
关于点对称；
又在，上单调递增；
在上单调递增；
由得，；
；
；
；
解得；
的范围为．
故选：．
命题视角7 奇偶性、对称轴及恒成立联姻
例7已知是方程的根，是方程的根，函数是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意，，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，，
解：由程得，
由得，
记，则其反函数，
它们的图象关于直线轴对称，
根据题意，，为，的图象与直线交点，的横坐标，
由于两交，点关于直线对称，
所以，点的横坐标就是点的纵坐标，即，
将代入直线得，，
则当时，，
函数是定义在上的奇函数，
若，则，
则，
即，，
则，
则函数在上为增函数，
若对任意，，不等式恒成立，
即若对任意，，不等式恒成立，
则恒成立，
则，
则，
，，
，
即
则，
故选：．
命题视角8 奇偶性与平移坐标系联合
例8已知定义在上的函数，则不等式的解集为　　
A．， B．， C．， D．，
解：令，则，
则是奇函数，
则当时，，为减函数，
当时，为减函数，
即是奇函数，
则等价为，
即，
则，
则，得，，即原不等式的解集为，，
故选：．
命题视角9 奇偶性与分类讨论对抗
例9 是定义在上函数，满足且时，，若对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
解：由，，
可得为上偶函数，在上为单调增函数，
则，
即为，
即，
化简可得，①
（1）当时，①的解为：，
对任意，，①式恒成立，则需，
解得；
（2）当时，①的解为，
对任意，，①式恒成立，则需，
解得；
（3）当时，①式恒成立；
综上所述，．
故答案为：，．
命题视角10 奇偶性与其它知识融合
例10已知函数，，若使关于的不等式成立，则实数的范围为___________.
分析：
证明函数图象关于点对称，再判断函数的单调性，从而把不等式变形后应用单调性化简，然后分离参数，转化为三角函数的最值，利用换元法可得结果．
解：显然函数定义域是，
，
∴的图象关于点对称，
原不等式可化为，
即，(*)
设，则，
∵，∴，∴，
∴，即，
，由得，
∴，
∴是增函数，
不等式(*)化为，(**)
令，
∵，∴，
不等式(**)化为，，
问题转化为存在，使不等式成立，
当时，的最小值为2．
∴．
故答案为：．
小结：
本题考查能成立问题，解题方法是确定函数的对称性与单调性，把不等式化简变形，然后再利用换元法把问题转化为一元二次不等式能成立问题．分离参数后变成求函数的最大值．
例11．已知函数，若在上恒成立，则正实数的取值范围为______．
分析：
先分析的单调性，然后将问题转化为在上恒成立，再利用导数采用分类讨论的方法求解出的取值范围.
解：
因为，
令，所以，
所以在上单调递增，
又因为在上单调递减，
所以在上单调递增，
又因为，
所以在上恒成立在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
设，所以，且，
当时，，所以在上递增，
所以，满足；
当时，令，所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，这与矛盾，所以不满足，
综上可知：，
小结
利用导数求解参数范围的两种常用方法：
（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；
（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集.
命题视角11 奇偶与零点融合与交汇
例12．定义在上的函数满足且.当时，.则函数在区间上所有的零点之和为__________.
分析：
由是周期函数，奇函数，得对称中心，又也有对称性，利用对称性及单调性得的图象与图象的交点的性质，也即零点的性质，从而可得和．可画出图象说明．
解：
得，是偶函数，，
是周期为4的周期函数，因此可得的图象也关于直线对称．
是奇函数，它关于直线对称，也关于对称，
函数在区间上所有的零点，即为方程的解，
在同一坐标系中作出和的大致图象，如图，
它们在上有6个交点，横坐标从小到大依次为，
其中，，由对称性知，
∴，
∴题中零点和为．
故答案为：．
小结
本题考查函数零点之和，解题时把函数零点转化为函数图象交点的横坐标，作出函数图象，利用函数的性质特别是对称性，观察出交点的对称性，得出交点横坐标的和．

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