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第三集: 部分奇偶性问题或对称性
1.已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0．特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0．
推论1：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c．
推论2：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(x)max＋g(x)min＝2c．
2.函数的对称性
1、函数自身的对称性
(1)函数的图像关于点对称的充要条件是：
，即。
证明：(必要性)设点是图像上任一点，
∵点关于点的对称点也在图像上，
∴，即，故，必要性得证。
(充分性)设点是图像上任一点，则，
∵，∴，即。
∴点也在图像上，
而点与点关于点对称，充分性得证。
推论：函数的图像关于原点对称的充要条件是。
(2)函数的图像关于直线对称的充要条件是：
，即。
推论：函数的图像关于轴对称的充要条件是。
典型例题
例1．若对，．有，则函数在上的最大值和最小值的和为　　
A．4 B．8 C．6 D．12
解：，．有，
取，则，故，
取，则，故，
令，则，
故为奇函数，
，设，
则，
，故为奇函数，
故为奇函数，
故函数在上的最大值和最小值的和是8，
故选：．
例2．已知函数，，，函数的最大值、最小值分别为，，则　　
A．0 B．2 C．3 D．4
解：，
令，则，
可知在，上为奇函数，又在，上为偶函数，
在，上为奇函数，
设在，上的最大值为，
则最小值为，可得，，
则．
故选：．
例3．已知，设函数的最大值是，最小值是，则　　
A． B． C． D．
解：，由复合函数单调性的判断方法，知此函数在上为增函数
又为上的奇函数，其最大值加最小值为0
（1）
故选：．
例4．已知函数在，上的最大值和最小值分别为、，则　　
A．8 B．6 C．4 D．2
解：设，因为奇函数，
所以，所以，所以．
故选：．
例5．已知函数是不为0的常数），当，时，函数的最大值与最小值的和为　　
A． B．6 C．2 D．
解：函数，
设，
则在，上是奇函数，且为单调函数，
所以（2）；
当，时，函数的最大值与最小值的和为
（2）（2）．
故选：．
例6．已知，函数，设函数的最大值是，最小值是，则　　
A． B． C． D．
解：，
令，则是奇函数，
的值域为对称区间，设，则，
，，
，
故选：．
例7．已知，（a），则　　
A． B．0 C．1 D．2
解：根据题意，，则，
相加可得，则有（a），
若（a），则，
故选：．
例8．已知函数，若，则（2）　　
A．4 B．3 C．2 D．8
解：根据题意，函数，则，
则有，
若，则（2）；
故选：．
例9．已知函数和均为奇函数，在区间上有最大值5，那么在上的最小值为　　
A． B． C． D．5
解：令，
则为奇函数．
时，，
时，．
又时，，
．
，
故选：．
例10．设函数的最大值为，最小值为，则　　
A．1 B．2 C．3 D．4
解：函数
，
设，定义域为，
，
则为奇函数，
即有的最值为，．
则．
故选：．
例11．已知，设函数的最大值为，最小值为，那么　　
A．2020 B．2019 C．4040 D．4039
解：函数．
令，
．
由于在，时单调递减函数；
（a）
函数的最大值为；
最小值为（a）；
那么；
故选：．
例12．函数在，上的最大值与最小值的和为　　
A． B．2 C．4 D．6
解：函数
，
，
的图象关于点对称，
数在，上的最大值与最小值的和为：
．
故选：．
例13．已知函数，，，若的最大值为，最小值为，则　8　．
解：由题意可得
，
令函数，
定义域为，关于原点对称，且
，
即函数为奇函数，其最大值和最小值的和为0，
所以函数的最大值和最小值的和，
故答案为：8．
例14．已知函数在区间，的最大值为，最小值为，若，则　2　．
解：，
令，定义域，关于原点对称，
，
所以为奇函数，则在，和，上的单调性相同，
当，上时，恒成立，
所以在，单调递增，
所以在，单调递增，且（a）
所以在，上单调递增，
所以，上（a）（a），
由题意可得，解得，
故答案为：2．
例15．已知函数，则　6　．
解：函数，
设，
，
则，
，
，
，
，
．
故答案为：6．
例16．已知函数，若（a），则　　．
解：根据题意，设，
则，
则为奇函数，
则有（a），
由于（a）（a），
则，
解可得；
故答案为：
例17．已知函数在，上的最大值为，最小值为，则　4　．
解：
令，
而，
，
则关于中心对称，则在，上关于中心对称．
．
故答案为：4．

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