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第一集: 复合、抽象和对勾函数
1、复合函数函数值计算的步骤：求函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。
2、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出的值。要想求出的根，则需要先将视为整体，先求出的值，再求对应的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义：
3、复合函数零点问题的特点：考虑关于的方程根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个的值使得等式成立；第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数 .
4、求解复合函数零点问题的技巧：
（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像
（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点，分配每个函数值被几个所对应，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围
5、抽象函数
若，则具有周期性；
若，则具有对称性；
“内同表示周期性，内反表示对称性”。
结论1、 图象关于直线对称
推论1、 的图象关于直线对称
推论2、 的图象关于直线对称
推论3、 的图象关于直线对称
结论2、 的图象关于点对称
推论1、 的图象关于点对称
推论2、 的图象关于点对称
推论3、 的图象关于点对称
6、对勾函数：对勾函数的定义域、值域等性质
对勾函数的单调性
对勾函数的渐近线
轴和
对勾函数的奇偶性
对勾函数在定义域内是奇函数
典型例题
例1： 已知函数 ，，则函数 的所有零点之和是
A. B. C. D.
解：当 时，即 ，
解得 或 ，
当 时，即 ，
解得 ，
所以当 或 时，，
即 ，
解得 或 ，
当 时，，此时方程无解，
所以函数 的所有零点之和是 ．
例2：当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
解：解法一：
因为 ，
所以不等式 恒成立转化为 恒成立．
由 ，得 ，
而函数 为减函数，
所以当 时，，
所以 ，即 ．
解法二：
因为 ，令 ，由 ，得
所以不等式 恒成立转化为 在 上恒成立．
①当 时， 在 上恒成立；
②当 时，令 ，则 即
解得 ．
综上可得实数 的取值范围为 ．
例3： 形如 的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数 有最小值，则当 ， 的值分别为方程 中的 ， 时的“囧函数”与函数 的图象交点个数为
A. B. C. D.
解：令 ，则 是 与 复合函数，
因为 ，当 是增函数， 时有最小值，
所以 ；，
所以 ，这时“囧函数”为 ，它与函数 在同一坐标系内的图象如图所示，图象交点个数为 ．
例4： 在 中，，，，且对任意 ，，都有 ，，．给出下列三个结论：
① ；
② ；
③ ．
其中正确结论的个数是
A. B. C. D.
解：因为 ，
所以 组成首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ．
又 ，
所以 ，
因为 ，
所以 组成首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以①②③都正确，故选A．
例5： 已知定义在 上的函数 满足 ，则方程 的实根个数为
A. B. C. D.
解：因为 ，所以设函数的零点为 ，则 ，
所以 ，，
把 代入 可得 ，，
代入 可得：，
即 ，与 ，矛盾．
所以函数 无零点，方程 的实根个数为 ．
例6：已知奇函数 的导函数 在 恒成立，且 ， 满足不等式 ，则 的取值范围是
A. B. C. D.
解：因为函数 为奇函数，所以 ，
由函数 的导函数 在 恒成立，
知函数 为减函数，所以 ，
即 ，
故 的最小值为 ，最大值为直径 ．
例7：如果函数 在区间 上是增函数，那么实数 的取值范围是
A. B. C. D.
解：令 ，则 ，对称轴为 ．
①当 时，则 ，欲使 上函数递增，只需 ，
即 ，即 ，
所以 或 （舍去）．
②当 时，则 ．欲使 上函数递增，
只需 ，解得 ，与已知 矛盾，此种情况不成立．
综上 的取值范围是 ．
例8：已知 ， 满足 ，，则 的最大值为
A. B. C. D.
解：不等式组 表示的平面区域是以点 ，， 为顶点的三角形区域（包含边界）．
，
令 ，则 表示区域内的点与点 连线的斜率，
故 ，则 ．
因为 ，
所以函数 在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值，为 ．
例9：若函数 （其中 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是 ．
解：若 的值域为 ，则 必须取遍所有的正数，即存在 ，使得
因为当 时，
即 时， 的最小值为 ，只需
结合 ，解得
例10：若对满足条件 的正实数 ， 都有 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
解：由 ，和 ，
可得 ，可得 ，
令 ，，由 恒成立，
可得 恒成立，即 ，
令 在区间 上为增函数，
所以 ，故 ．
例11：对于函数 与 ，若存在 ，，使得 ，则称函数 与 互为“零点密切函数”，现已知函数 与 互为“零点密切函数”，则实数 的取值范是 ．
解：易知函数 为增函数，且 ，
所以函数 只有一个零点 ，
则取 ，由 ，知 ．
由 与 互为“零点密切函数”知函数 在区间 内有零点，
即方程 在 内有解，
所以 ，而函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 取最小值 ，且当 时，，当 时，，
所以 ，
所以实数 的取值范围是 ．
例12：已知函数 ， 有四个不同的零点 ，，，，则 的值为 ．
解：因为令 ，则 ，
因为 有四个不同的零点 ，，，，
故 有两个根 ，，且 ，，且 ，，， 恰两组相等，为 的两根，
不妨令 ，，则
例13：设函数 的定义域为 ，若存在非零实数 ，使得对于任意 ，有 ，且 ，则称 为 上的 高调函数．如果定义域为 的函数 为 上的 高调函数，那么实数 的取值范围是 ．
解： 的图象如图所示，
要使得 ，有 ， 时，
恒有 ，故 即可，即 的取值范围是 ．
例14．已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为（ ）
A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9
解：分析
把f（x）的零点转化为的零点，令，，可得方程有两实根，，由判别式大于0解得a的范围，再由根与系数的关系可得，，进一步得到，，结合，可得，，，则可知，，则.
解析：
∴
∴
令，，则，
∴
令，解得
∴时，，单调递减；时，，单调递增；
∴，，
∴a﹣3
∴.
设关于t的一元二次方程有两实根，，
∴，可得或.
∵，故
∴舍去
∴6，.
又∵，当且仅当时等号成立，
由于，∴，（不妨设）.
∵，可得，，.
则可知，.
∴.
故选：A.
小结:
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，考查一元二次方程根的分布，属难题.
例15．已知函数，若关于的方程有四个不等实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
解：分析
画出函数的图象，使用换元法，令，并构造函数，通过的范围，可得结果.
解析：
当时，，则
令，则
令，则
所以函数在递增，在递减，
则，且当时，
函数图象如图，
关于的方程有四个不等实根
令，
则①，
所以
②，
由
则函数一个根在，另外一个根在中
所以
综上所述：
故选：A
小结：
本题考查方程根的个数求参数，学会使用等价转化的思想以及换元法，考验分析能力以及逻辑推理能力，采用数型结合的方法，形象直观，化繁为简，属难题.
例16：若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为___________
解：分析
通过换元法将方程变为，其中；利用导数可求得的大致图象，从而确定其与的交点个数，将所求式子化为，利用韦达定理可求得结果.
解析：
由得：，
设，则，，
令，则，
在上单调递增，在上单调递减，
且，，当时，，可得大致图像如下.
要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且.
结合图象可得关于的方程一定有两个不等的实数根，
且，，，则，.
.
故答案为：.
小结：
已知函数零点(方程根)个数求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
例17：已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______．
解：分析
设，，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性与最值，根据已知条件列出关于实数的不等式（组），综合可求得实数的取值范围.
解析:
设，其中，则，设.
①当时，对任意的恒成立，此时，函数在上单调递减，
当时，，
对于函数，该函数的对称轴为直线，
函数在上单调递增，当时，，
所以，当时，，不合乎题意；
②当时，令，可得，列表如下：
极小值
所以，.
（i）当时，即当时，，则，不合乎题意；
（ii）当时，即当时，则，此时，即.
对于函数，，
所以，当时，，，则对任意的恒成立.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
小结：
结论小结：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
例18：设函数在定义域上是单调函数，对，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是______．
解：分析
利用函数的单调性可得（为常数），再利用求出，而对恒成立即为对任意的恒成立，构建新函数，利用导数可求实数的取值范围.
解析：
因为在定义域上是单调函数，故且为常数.
所以，又，故即，
所以，
又等价于，
故对任意的恒成立，
令，则，
若即时，恒成立，故在上为增函数，
故，故符合.
若即，令得，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，
由题设可得，故，
所以
综上.
故答案为：.
小结：
含参数的函数不等式的恒成立问题，可构建新函数，再以导数为工具讨论新函数的单调性从而得到新函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立.也可以考虑参变分离的方法，把问题归结为不含参数的函数的值域问题.

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