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第四集：函数—周期性与对称性
一、周期
定义：若函数满足，则的周期为，也是函数的周期；
常用周期的表达式
1、 的周期为
2、 的周期为
3、 的周期为
4、 的周期为
5、 的周期为
6、 的周期为
7、 的周期为
8、 的周期为
9、若
10、若，或，或，或，或，或且，则的周期；
11、
，则的周期；
12、若，则的周期.
二、函数图象的对称轴和对称中心
函 数 满 足 的 条 件 对称轴(中心)
满足的函数的图象 [或]
满足的函数的图象 [或]
满足的函数的图象
满足的函数的图象
满足的函数的图象(偶函数)
满足的函数的图象(奇函数)
满足与的两个函数的图象
满足与的两个函数的图象
满足与的两个函数的图象
三、函数周期性、对称性与奇偶性的关系
1、定义在上的函数,若同时关于直线和对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是偶函数.
2、定义在上的函数,若同时关于直线和点对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函数.
3、定义在上的函数,若同时关于点和直线对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是偶函数.
4、定义在上的函数,若同时关于点和点对称,即对于任意的实数,函数同时满足，，则函数是以为周期的周期函数，且是奇函数.
5、若偶函数关于直线对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.
6、若偶函数关于点对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.
7、若奇函数关于直线对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.
8、若奇函数关于点对称，即对于任意的实数,函数满足，则是以为周期的周期函数.
拓展：
1、若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称.
2、若函数为奇函数，则函数的图象关于点对称.
3、定义在上的函数满足，且方程恰有个实根，则这个实根的和为.
4、定义在上的函数满足，则函数的图象关于点对称.
典型例题
例1：已知函数为R上的奇函数，且图象关于点(3，0)对称，且当(0，3)时，，则函数在区间上的（ ）
A．最小值为 B．最小值为
C．最大值为0 D．最大值为
解：函数的图像关于点对称，.
又函数为奇函数，，数是的周期函数，
，，
由周期性可知，函数在区间上的图像与在区间上的图像一样， 又当时，，由指数函数性质知在区间上单调递减，又函数为R上的奇函数，故当时，，故在上单调递减，且，
所以在区间上单调递减，即在区间上单调递减，函数取得最小值.
故函数在区间上的最小值为
故选：A.
例2已知是定义在R上的奇函数，满足，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A．方程=0最多有四个解B．函数的值域为[]
C．函数的图象关于直线对称D．f(2020)=0
解：由可得：，则，所以函数的周期为2，
所以，正确，排除D；再由以及，
所以，则函数的对称轴为，正确，排除C；当时，，，
又函数是奇函数，时，，，即时，
又因为函数的对称轴为，所以时，
所以时又因为函数的周期为2，
所以函数的值域为，正确，排除B；
故选：．
例3设函数为定义域为R的奇函数，且，当 时，，则函数在区间上的所有零点的和为（ ）
A．6 B．7 C．13 D．14
解：由题意，函数，，则，可得，
即函数的周期为4，且的图象关于直线对称．
在区间上的零点，
即方程的零点，分别画与的函数图象，
两个函数的图象都关于直线对称，方程的零点关于直线对称，
由图象可知交点个数为6个，可得所有零点的和为6，故选A．
例4 已知函数，则（ ）
A．1007 B．1008 C．2014 D．2015
解：函数，则
，所以
例5已知函数满足，若函数与图像的交点为 则 .
解：
所以的图象关于点对称，也关于点对称，
例6 定义在上的奇函数满足，当时，.若在区间上，存在个不同的整数，满足，则的最小值为（ )
A．15 B．16 C．17 D．18
解：定义在上的奇函数满足，得 即 则 的周期为8．
则函数的图形如下：
比如，当不同整数 分别为-1，1，2，5，7…时， 取最小值， ，
至少需要二又四分一个周期，则b-a的最小值为18，故选D
例7 已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点则实数的值为（ ）
A．或 B．1或 C．或2 D．或1
解：已知，①且，分别是上的偶函数和奇函数，
则，得：，②
①+②得：，
由于关于对称，则关于对称，
为偶函数，关于轴对称，则关于对称，
由于有唯一零点，则必有，，
即：，解得：或.故选：A.
例8已知定义在上的函数满足，且当时，，函数，实数，满足.若，，使得成立，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
解：当时，，令可得.
∵，∴的周期为2，所以在[－1，5]的图象所示：
结合题意，当，时，取得最大值.最大值为1.
故选：B.
例9 定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（ ）
A．30 B．14 C．12 D．6
解：由知函数的图象关于直线对称，
∵，是R上的奇函数，∴，∴，
∴的周期为4，考虑的一个周期，例如，
由在上是减函数知在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，对于奇函数有，，
故当时，，当时，，
当时，，当时，，
方程在上有实数根，则这实数根是唯一的，因为在上是单调函数，
则由于，故方程在上有唯一实数，
在和上，则方程在和上没有实数根，
从而方程在一个周期内有且仅有两个实数根，
当，方程的两实数根之和为，当，方程的所有6个实数根之和为.
故选：A.
例10已知定义域为的函数既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当时， ，则函数在区间上的零点个数是_____．
解：因为函数定义域为R，周期为3，所以
如图所示，画出函数的函数图像，由图像可知在 上的零点为
所以共有9个零点
例11已知定义域为的奇函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数最多时，所有零点之和为__________．
解：由于定义域为的奇函数满足，
∴函数 为周期函数，且周期为8，
当时，，函数在区间上的零点的个数，
即为函数 与 的交点的个数，作出函数 上的函数的图象，
显然，当 时，交点最多，符合题意，此时，零点的和为 .
例12已知函数，若关于的方程在定义域上有四个不同的解，则实数的取值范围是_______.
解：已知定义在上的函数
若在定义域上有四个不同的解
等价于关于原点对称的函数与函数f(x)=lnx-x(x>0)的图象有两个交点，联立可得有两个解，即
可设，则，
进而且不恒为零，可得在单调递增.
由可得时，单调递减；时，单调递增，
即在处取得极小值且为作出的图象，可得时，有两个解.
故答案为：
例13.已知数列满足，且(其中为数列前项和)，是定义在上的奇函数，且满足，则___________.
解：因为是定义在上的奇函数，且满足
所以，所以的最小正周期为
又因为数列满足，且①；当时，②；
①减②得，所以，
所以以为首项，为公比的等比数列，所以，即
所以又
所以被除余所以
故答案为：0
例14已知偶函数满足，且当时，，若关于x的不等式在上有且只有150个整数解，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：因为偶函数满足，所以，即，
所以函数是以6为周期的周期函数，当时，，
所以，
当时，，函数递增；当时，，函数递减；
当当时，函数取得极大值，
作出函数在上的图象，如图所示：
因为不等式在上有且只有150个整数解，
所以不等式在上有且只有3个整数解，
当时，不符合题意，
故不等式在上有且只有3个整数解，
因为，
所以，即，
故不等式在上的3个整数解分别为-2，2，3，
所以，，即，
故选：B
例15已知函数，，则关于的方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A． B． C． D．
解：当时，，而，
故，故，
当时，，而，
故，故，
故在上的图象关于对称，
当且时，，
而且，故，故此时与的图象无交点.
下面仅考虑上与的图象，如图所示；
因为，，，
故在上与的图象共有4个不同的交点，
故在区间上的所有实根之和为，
故选：B.
小结：
思路小结：不可解方程的解性质的讨论，取决于两个函数的图象性质，而后者由函数的解析式来确定，根据对解析式合理变形后可发现其对应的图象性质，另外注意利用来确定函数图象的对称中心.
例16设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：当时，，故，
因为，
故当时，，，
同理，当时，，
依次类推，可得当时，，其中.
所以当时，必有.
如图所示，因为当时，的取值范围为，
故若对任意，都有，
则，
令，或，
结合函数的图象可得，故选：D.
小结：
思路小结：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.
例17定义在上的函数满足：对，都有，当时，，给出如下结论，其中所有正确结论的序号是： ____.①对，有；
②函数的值域为；
③存在，使得；
解：因为,所以①对;
因为当时，，当时，，
当时，，
当时，，
因此当时， ，
从而函数的值域为；所以②对;
因为，所以由上可得,
即，无解.所以③错；
综上正确结论的序号是①②
例18已知、都是定义域为的连续函数.已知：满足：①当时，恒成立；②都有.满足：①都有；②当时，.若关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解：因为都有，所以是偶函数，
又当时，恒成立，所以在上单调递增，
所以等价于，
只需，.
因为都有，即，
所以是周期函数，周期为2，
当时，，所以，
故时，，
求导得，，令，
解得，，
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
所以时，，
所以，
又因为，
所以，
则，解得或.
所以实数的取值范围是.故选：D.
例19已知定义域为的函数满足：对任何，都有，且当时，，在下列结论中，正确命题的序号是________
① 对任何，都有；
② 函数的值域是；
③ 存在，使得；④ “函数在区间上单调递减”的充要条
件是“存在，使得”；
解：对于①，对任何，都有，
当时，，
所以，①正确；
对于②，取
从而函数的值域为[0，+∞），②正确；
对于③，时，，
对任意，恒有成立，，
所以
解得，∴③正确；
对于④，充分性：令 则
所以
必要性：令，
由函数在区间上单调递减，所以
即，又当时，，且 为减函数，
所以存在，使得，则，
所以
∴函数在区间 上单调递减，④正确；
综上所述，正确结论的序号是①②③④．

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