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专题02 实数 高频考点（12个）（精讲）
高频考点1 平方根和算术平方根的相关概念
【解题技巧】平方根与算术平方根的区别于联系：
算术平方根 平方根
区别 定义 如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫作a的算术平方根。 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根。
个数 正数的算术平方根只有一个 正数的平方根有两个
表示方法 正数a的算术平方根表示为 正数a的平方根表示为±
取值范围 正数的算术平方根一定是正数
联系 具体包含关系 平方根包含算术平方根，一个数的正的平方根就是它的算术平方根
存在的条件 只有非负数才有平方根和算术平方根
0 0的平方根和算术平方根都是0
例1．（2022·福建七年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．的平方根是±4 C．25的平方根是±5 D．﹣36的算术平方根是6
【答案】C
【分析】根据平方根和算术平方根的定义判断即可．
【详解】解：A．4的平方根是±2，故错误，不符合题意；B．的平方根是±2，故错误，不符合题意；
C．25的平方根是±5，故正确，符合题意；D．-36没有算术平方根，故错误，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的概念，解题关键是熟悉相关概念，准确进行判断．
变式1．（2022·成都市初二课时练习）下列说法正确的是( )
A．任何非负数都有两个平方根 B．一个正数的平方根仍然是正数
C．只有正数才有平方根 D．负数没有平方根
【答案】D
【解析】解：A. 非负数0的平方根是0，只有一个，故本选项错误；
B. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数，故本选项错误；
C. 因0的平方根是0，故本选项错误；D. 负数没有平方根，故本选项正确；故选：D
【点睛】本题考查正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．
变式2．（2022·广西）下列说法中，其中不正确的有（ ）
（1）任何数都有平方根，（2）一个数的算术平方根一定是正数，
（3）的算术平方根是a，（4）一个数的算术平方根不可能是负数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】运用算术平方根和平方根的定义判定即可．
【详解】解：（1）因为负数没有平方根，所以原说法不正确；
（2）一个数的算术平方根不一定是正数，0的算术平方根是0，所以原说法不正确；
（3）当a≥0时，的算术平方根是a，当a＜0时，的算术平方根是 a，所以原说法不正确；
（4）一个数的算术平方根不可能是负数．正确．不正确的有3个，故选：D．
【点睛】本题主要考查了算术平方根和平方根，解题的关键是熟记算术平方根和平方根的定义．
变式3．（2022·湖北七年级期末）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据实数的性质即可化简判断．
【详解】A.，故错误； B.，故错误；
C.，故错误； D.，正确故选D．
【点睛】此题主要考查实数的化简，解题的关键是熟知实数的性质．
高频考点2利用平方根和立方根解方程
解题技巧：（1）先将方程化简为的形式，移项将系数化为1；然后直接开方即可。
①当h≥0时，x+a=±，则x=－a±；②当h＜0时，方程无解
（2）求立方根的运算，一般先把式子化为的形式，当有的形式，先把x±m看成一个整体再进行开立方。解答这种题型应紧扣立方根的概念，明确开立方根与立方互为逆运算。
例1．（2022·山东八年级阶段练习）求下列各式中的x的值．
（1）； （2）； （3）； （4）．
【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）．
【分析】（1）利用平方根解方程即可得；（2）方程两边同除以3得，再利用平方根解方程即可得；
（3）利用立方根解方程即可得；（4）先将方程变形为，再利用立方根解方程即可得．
【详解】解：（1），
；
（2），
方程两边同除以3，得，
或，
或；
（3），
，
；
（4），
，
，
．
【点睛】本题考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题关键．
变式1．（2022·绵阳市初二期中）求下列各式中的.
（1） （2）； （3）
【答案与解析】
解：（1）∵
∴
∴
（2）∵
∴
∴＋1＝±17
＝16或＝－18.
（3）∵
∴
∴
∴
【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）（3）小题中运用了整体思想分散了难度.
变式2．（2022·新疆师范大学附属中学七年级阶段练习）求下列各式中的x：
(1)； (2) (3)； (4)
【答案】(1)(2)(3)(4)
【分析】（1）先移项，可得，两边开平方，即可求解；
（2）先两边同时除以8，可得，两边开立方，即可求解；
（3）先移项，可得，两边开平方，即可求解；
（4）先移项，可得，两边开立方，即可求解．
(1)解：，
∴，即，
∴；
(2)解：
∴，
∴，
解得：；
(3)解：
∴，即，
解得：
(4)解：
∴，即，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键．
变式3．（2022·浙江·七年级课时练习）求下列各式的值或x.
（1）； （2）； （3）； （4）
【答案】(1) ;(2) ;(3) ;(4)x=-6
【详解】试题分析：（1）根据题意，先把带分数化为假分数，然后再根据立方根的意义求解即可；
（2）先计算被开方数，然后根据立方根的意义求解；
（3）通过移项，系数化为1，再利用立方根求解即可；
（4）把x+3看做一个整体，然后移项后利用立方根求解.
试题解析：（1）
（2）
（3）
（4）
高频考点3立方根的相关概念与性质
【解题技巧】 ① ② ③
上述第三个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
例1．（2022·成都市·八年级课时练习）【发现】
①
②
③
④……；
(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________．
【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数a，b，若，则；
【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
(2)若与的值互为相反数，且，求a的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题目给出的规律解答；（2）根据题意列出方程，与已知方程联立解得a的值．
(1)，符合上述规律，
故答案为：；
(2)∵与的值互为相反数，
∴+=0，
∴，
解得，
代入中，
解得，，∴．
【点睛】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题．
变式1．（2022·浙江·七年级期中）下列语句正确的是（ ）
A．的立方根是2 B．－3是27的立方根
C．的立方根是 D．（－1）2的立方根是－1
【答案】A
【分析】根据算术平方根、立方根的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、的立方根是2，则此项正确，符合题意；
B、是的立方根，则此项错误，不符合题意；
C、的立方根是，则此项错误，不符合题意；
D、的立方根是1，则此项错误，不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握立方根的求法是解题关键．
变式2．（2022·浙江·七年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．负数没有立方根 B．的立方根是
C． D．立方根等于本身的数只有
【答案】C
【分析】根据立方根的定义分别判断即可．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．
【详解】解：A负数有一个立方根，故该选项错误，不符合题意；
B选项，的立方根是，故该选项错误，不符合题意；
C选项，，故该选项正确，符合题意；
D选项，立方根等于本身的数只有和，故该选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题的关键．
变式3．（2022·江苏·八年级）若，则与的关系是　　
A． B．与相等 C．与互为相反数 D．
【答案】C
【分析】根据立方根的意义和性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．则．所以与互为相反数，由此解决问题．
【详解】解：，，
与的关系是互为相反数（或，或．故选：C．
【点睛】此题考查了立方根．解题的关键是得到这一步．
高频考点4 算术平方根的双重非负性
【解题技巧】①解决此类问题关键是掌握算术平方根，绝对值，偶次乘方均具有非负性.
②多个非负数相加为0，则这多个非负数必定为0.
例1．（2022·浙江七年级专题练习）已知和互为相反数，且，求的值．
【答案】2
【分析】根据非负数的性质求出x、y的值，然后代入计算．
【详解】解：∵和互为相反数，∴+=0，
∵两个非负数互为相反数则只能均为0，∴－1＝0，1－2＝0，
∴＝1， ∴＝2．
【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方．
变式1．（2022·绵阳外国语学校八年级期中）已知a2+＝4a﹣4，则的平方根是_____．
【答案】
【分析】把原式整理为a2-4a+4+＝0，根据非负数的性质求出a，b的值，再根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：因为a2+＝4a﹣4，a2-4a+4+＝0，
，a﹣2＝0，b﹣2＝0，解得a＝2，b＝2，
∴，∴的平方根是 ．故答案为：．
【点睛】本题主要考查完全平方公式,非负数的非负性质和平方根的定义,解决本题的关键是要熟练掌握完全平方公式,非负数的非负性质和平方根的定义.
变式2．（2022·成都市树德实验中学八年级期末）已知（x+3）2+＝0，则x+y＝__．
【答案】-1
【分析】根据非负数的性质，求出x、y的值即可．
【详解】解：∵（x+3）2+＝0，∴x+3＝0，y﹣2＝0，
解得：x＝﹣3，y＝2，故x+y＝﹣3+2＝﹣1．故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了非负数的性质，解题关键是明确平方和算术平方根是非负数，求出未知数的值．
变式3．（2022·内蒙古巴彦淖尔·七年级期中）已知，则_____．
【答案】2
【分析】根据非负数的性质得出x，y的值，再根据立方根的定义解答即可．
【详解】解：∵，∴x＋2＝0，y 10＝0，
解得：x＝ 2，y＝10，∴，答案为：2．
【点睛】此题考查绝对值和算术平方根的非负性，求立方根，关键是据非负数的性质得出x，y的值．
高频考点5 平方根与立方根的移动规律
【解题技巧】1）被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
例如，，，，.
例1.（2022·浙江·七年级期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题；
b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000
0.16 1.6 16 160 1600
(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位．
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___，___．
(3)类比上述立方根运算：已知，则___，___．
【答案】(1)右；一；(2)0.235；23.5；(3)19.13；191.3
【分析】（1）根据表格中的数据，可以发现数字的变化规律；
（2）根据（1）的规律可得结论；
（3）根据立方根的移位规律可得算术平方根的移位规律，即可求得所求数字的值．
(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向右移动一位．故答案为：右，一；
(2)∵2.35，∴0.235，23.5，
故答案为：0.235，23.5；
(3)算术平方根运算中，被开方数的小数点每向右移动两位，相应的平方根的小数点就向右移动一位．
∵1.913，∴19.13，191.3．故答案为：19.13，191.3．
【点睛】本题考查数字的变化类、数的开方，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求得所求数字的值．
变式1．（2022·湖南岳阳·八年级期末）如果＝3.873，＝1.225，那么＝___________．
【答案】122.5
【分析】根据算术平方根与被开方数的关系：“被开方数每向左或向右移动4个位数，则它的算术平方根就向左向右移动2个位数”可知答案．
【详解】解：∵1.5×10000=15000，
∴＝100＝122.5，
故答案为：122.5．
【点睛】本题考查了算术平方根与被开方数的关系，关键在于知道它们之间有何关系．
变式2．（2022·福建·莆田砺志学校七年级期中）若 ＝0.716，＝1.542，＝6.058,则的值是( )
A．716 B．154.2 C．605.8 D．71.6
【答案】B
【分析】根据被开方数每扩大1000位，它的立方根就扩大10位来计算即可．
【详解】解：=154.2故选：B．
【点睛】本题考查立方根的规律，掌握“被开方数每扩大1000位，它的立方根就扩大10位”是解题的关键．
变式3.（2022·江苏·八年级）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
n 16 0.16 0.0016 1600 160000 …
4 x 0.04 y 400 …
(1)表格中x＝　 　；y＝　 　；
(2)从表格中探究n与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知≈1.435，则≈　 　；②已知＝1.83，若＝0.183，则x＝　 　．
【答案】(1)0.4；40
(2)①143.5；②0.03489
【分析】（1）把n=0.16代入x=求解即可；把n=1600代入y=求解即可；
（2）①根据被开方数小数点向右移动了4位，则算术平方根小数点向右移动两位求解；
②根据算术平方根小数点向左移动1位；则被开方数小数点向左移动了2位求解．
(1)解：当n=0.16时，x===0.4，
当n=1006时，x===40，故答案为：0.4，40；
(2)解：①已知≈1.435，则≈143.5；故答案为：143.5；
②已知＝1.83，若＝0.183，则x＝0.03489．故答案为：0.03489．
【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键在于从小数点的移动位数考虑．
高频考点6 平方根与立方根的综合应用
【解题技巧】解决此类问题关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．
例1．（2022·广东阳江·七年级期中）已知和是某数的两个平方根，的立方根是．(1)求a，b的值；(2)求的算术平方根．
【答案】(1)a＝2，b＝－6
(2)5a 3b+8的算术平方根为6
【分析】（1）根据某数的两个平方根互为相反数即可确定a的值，然后代入12 + 7b + 3＝－27求解即可；（2）先求出代数式的值，然后求算术平方根即可．
(1)解：根据题意可得：，解得a＝2．
又由，
把a＝2代入得12 + 7b + 3＝－27
∴b＝－6．
(2)当a＝2，b＝－6时，
∴5a－3b+8＝5×2－3×（－6）+8＝36，
∴．
【点睛】题目主要考查平方根及立方根的性质，算术平方根的计算方法，熟练掌握平方根及立方根的计算方法是解题关键．
变式1．（2022·河南·商丘市第十六中学七年级期中）已知：的算术平方根是3，的立方根是2，求的值．
【答案】4
【分析】根据算术平方根和立方根的定义求出a，b的值，代入求值即可．
【详解】解：∵2a+1的算术平方根是3，3a﹣b﹣1的立方根是2，
∴2a+1＝32＝9，3a﹣b﹣1＝23＝8，∴a＝4，b＝3，
∴原式4．
【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．
变式2．（2022·江西·新余四中七年级期中）已知：和是a的两个不同的平方根，是a的立方根．(1)求x，y，a的值；(2)求的平方根．
【答案】(1)x=-2，y=1，a=64；(2)1-4x的平方根为．
【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数列方程求出x的值，再求出a，然后根据立方根的定义求出y即可； （2）先求出1-4x，再根据平方根的定义解答．
(1)解：由题意得：（x-6）+（3x+14）=0， 解得，x=-2， 所以，a=（x-6）2=64；
又∵2y+2是a的立方根， ∴2y+2==4， ∴y=1， 即x=-2，y=1，a=64；
(2)由（1）知：x=-2， 所以，1-4x=1-4×（-2）=9，
所以，， 即：1-4x的平方根为．
【点睛】本题考查了立方根，平方根，算术平方根的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意准确计算．
变式3．（2022·新疆·七年级期末）已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是．求：(1)和这个正数的值；(2)的算术平方根．
【答案】(1)a=4，这个正数为49；(2)3a+b的算术平方根为2．
【分析】（1）先依据平方根的性质列出关于a的方程，从而可求得a的值和这个正数的值；
（2）依据立方根的定义求得b的值，再进行计算即可．
(1)解：∵某正数的两个平方根分别是a+3和2a 15，
∴a+3+2a 15=0，解得：a=4，这个正数为(a+3)2=49；
(2)解：∵b的立方根是 2，∴b=( 2)3= 8，∴3a+b=3×4 8=4，
∴3a+b的算术平方根为2．
【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
高频考点7 算术平方根和立方根的实际应用
【解题技巧】①与普通应用题列写方程的过程相似，再按照算术平方根的特性解方程。
②按照正常方程思路，首先设未知数，列等式方程；再求解未知数；最后回答题干问题。
例1.（2022.重庆市八年级期中）某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间t(h)可以用下面的公式来估计:t2=,其中d(km)是雷雨区域的直径.(1)如果雷雨区域的直径为9km,那么这场雷雨大约能持续多长时间 (2)如果一场雷雨持续了1h,那么这场雷雨区域的直径大约是多少(结果精确到0.1km)
【解答】解：(1)当d＝9时，则t2＝，因此t＝＝0.9.
答：如果雷雨区域的直径为9km，那么这场雷雨大约能持续0.9h.
(2)当t＝1时，则＝12，因此d＝≈9.65≈9.7.
答：如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是9.7km.
变式1．（2022·平泉市七年级期末）如图，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）
A．2 B．1.5 C． D．
【答案】D
【分析】观察图形，大正方形的面积等于小正方形的面积，小正方形的面积为1，根据面积相等求得大正方形的边长即可．
【详解】大正方的面积等于2个小正方形的面积，小正方形的面积为1大正方形的面积等于2，
设大正方形的边长为，则．故选D．
【点睛】本题考查了求一个数的平方根，正方形的面积，根据面积相等求解是解题的关键．
变式2.（2022 瑶海区校级期中）已知一个正方体的体积是729cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使得余下的体积是665cm3，则截去的每个小正方体的棱长是（　　）
A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm
【解题思路】首先确定截去的小正方体的体积，然后再设每个小正方体的棱长为xcm，根据正方体的体积公式可得方程，从而确定边长．
【解答过程】解：截去的8个小正方体的总体积为729﹣665＝64（cm3），则每个小正方体的体积为64÷8＝8（cm3）．设每个小正方体的棱长为x cm，则x3＝8，解得x＝2．
变式3．（2021·西宁市海湖中学七年级期中）如果一个正方形的面积为3，则这个正方形的边长是 _____________．
【答案】
【分析】设这个正方形的边长为x（x＞0），由题意得x2＝3，根据算术平方根的定义解决此题．
【详解】解：设这个正方形的边长为x（x＞0）．由题意得：x2＝3．∴x＝．故答案为：．
【点睛】本题主要考查正方形的面积以及算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解决本题的关键．
高频考点8 实数及其分类
【解题技巧】①无理数与有理数的和、差仍是无理数，无理数与非零有理数的积、商仍是无理数；
②无理数与无理数的和、差、商、积不一定是无理数；③带根号的不一定是无理数；
④通常含π和无法开方（开立方）的数是无理数，其他数为有理数。
例1．（2022·浙江·八年级课时练习）下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
，，（相邻两个之间有个），（小数部分由相继的正整数组成）．
【答案】，，（相邻两个之间有个）是有理数；（小数部分由相继的正整数组成）是无理数．
【分析】根据有理数的定义（整数和分数统称为有理数，无限循环小数属于有理数）和无理数的定义（无限不循环小数叫无理数）即可得．
【详解】解：，，（相邻两个之间有个）是有理数；
（小数部分由相继的正整数组成）是无理数．
【点睛】本题考查了有理数和无理数，熟记定义是解题关键．
变式1．（2022·宜宾八年级月考）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．
其中错误的是（　　）
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
【答案】D
【分析】根据运算规则即可求解．
【详解】解：①x的值不唯一．x=3或x=9或81等，故①说法错误；
②输入值x为16时，，故②说法正确；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；
④当x=1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．
其中错误的是①③．故选：D．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
变式2．（2022·湖北·嘉鱼县教学研究室七年级期末）关于实数，下列说法错误的是（ ）
A．有理数与无理数统称实数 B．实数与数轴上的点一一对应
C．无理数就是无限不循环小数 D．带根号的数都是无理数
【答案】D
【分析】根据实数的分类，无理数的意义，实数与数轴，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、有理数与无理数统称实数，选项正确，故不符合题意；
B、实数与数轴上的点一一对应，选项正确，故不符合题意；
C、无理数就是无限不循环小数，选项正确，故不符合题意；
D、带根号的数不一定都是无理数，例如：是有理数，选项错误，故符合题意；故选：D．
【点睛】本题考查了实数，实数与数轴，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
变式3．（2022·江苏·徐州市七年级阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内：2，0，，，，，25%，，
（1）分数集合：{ …}；
（2）非负整数集合：{ …}；
（3）有理数集合：{ …}；
（4）无理数集合：{ …}．
【答案】见解析
【分析】根据无限不循环小数是无理数，以及有理数的分类即可得出答案．
【详解】解：（1）分数集合：{ ，，25%，，…}；
（2）非负整数集合：{2，0，…}；
（3）有理数集合：{ 2，0，，，，25%，，…}；
（4）无理数集合：{，，…}．
【点睛】本题考查了实数，有理数和无理数统称实数，有限小数或无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数．
高频考点9 实数与数轴的对应关系-数形结合
【解题技巧】实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，数轴上的每一个点都表示一个实数。在解决此类问题时，要弄清楚实数在数轴上的位置，根据位置关系进行分析求解。
例1．（2022·吉林白山·七年级期中）如图，已知实数，－1，，4，其在数轴上所对应的点分别为点B，A，D，C．
(1)点C与点D之间的距离为______；
(2)记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a-b的值．
【答案】(1)(2)2-5
【分析】(1)根据两点之间的距离即可得出答案；
(2)先得到a，b的值，代入代数式求值即可得出答案．
（1）∵点C表示的数为4，点D表示的数为，
∴点C与点D之间的距离为：，
故答案为：．
（2）由题意得，点A表示的数为－1，点C表示的数为4，点D表示的数为
所以点A和点B之间距离为a =
点C和点D之间的距离为b=
则a-b=（-1+）-（4-）=2-5．
【点睛】本题考查实数与数轴，熟知数轴上的两个数a，b表示的点A，B之间的距离=是解答此题的关键．
变式1．（2022·广东八年级期末）实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则|﹣b|+|a+|+的值_____．
【答案】﹣2a﹣b
【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案．
【详解】解：由数轴可得：a＜﹣，0＜b＜，
故|﹣b|+|a+|+＝﹣b﹣（a+）﹣a＝﹣b﹣a﹣﹣a＝﹣2a﹣b．
故答案为：﹣2a﹣b．
【点睛】此题主要考查了实数的运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．
变式2．（2022·浙江七年级期中）如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是_______．
【答案】4+或6﹣或2﹣．
【分析】先求出第一次折叠与A重合的点表示的数，然后再求两点间的距离即可；同理再求出第二次折叠与C点重合的点表示的数即可．
【详解】解：第一次折叠后与A重合的点表示的数是：3+（3+1）＝7．
与C重合的点表示的数：3+（3﹣）＝6﹣．
第二次折叠，折叠点表示的数为：（3+7）＝5或（﹣1+3）＝1．
此时与数轴上的点C重合的点表示的数为：
5+（5﹣6+）＝4+或1﹣（﹣1）＝2﹣．
故答案为：4+或6﹣或2﹣．
【点睛】本题主要考查了数轴上的点和折叠问题，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
变式3．（2022·浙江七年级月考）如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点、．①线段_______；②点表示的数为______．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义以及数轴的定义解答即可．
【解析】解：∵正方形的面积为3，∴圆的半径为，∴点A表示的数为1 ．
∵AB是圆的直径，∴AB=2；故答案为：2；1-．
【点睛】本题考查了实数与数轴，熟记算术平方根的定义是解答本题的关键．
高频考点10 实数的估算与比较大小
解题技巧：要估算或的近似值，第一步先确定估算数的整数范围；第二步以较小整数为基础，开始逐步加0.1（或以较大整数为基础，开始逐步减0.1），并求其立方确定估算数的十分位；后续小数重复如上步骤。
例1．（2022·安徽芜湖·七年级期末）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题：
(1)已知，且x为整数．
∵，
∴x一定是一个两位数；
∵10648的个位数字是8，
∴x的个位数字一定是______；
划去10648后面的三位648得10，
∵，
∴x的十位数字一定是______；
∴______．
(2)，且y为整数，按照以上思考方法，请你求出y的值．
【答案】(1)2#，2#，22# (2)
【分析】（1）根据立方根的定义和题意即可得出答案；
（2）根据（1）中的方法计算书写即可得出结果．
（1）解：∵，且x为整数．∵，∴x一定是一个两位数；∵10648的个位数字是8，∴x的个位数字一定是2；划去10648后面的三位648得10，∵，∴x的十位数字一定是2；∴22．故答案为：2，2，22．
（2）∵，∴y一定是两位数；
∵614125的个位数字是5，∴y的个位数字一定是5；划去614125后面的三位125得614，
∵，∴y的十位数字一定是8；∴．
【点睛】本题考查立方根，灵活运用立方根的计算是解题的关键．
变式1.（2022·广西梧州·八年级期中）下列对的大小估计正确的是（ ）
A．在1~2之间 B．在2~3之间 C．在3~4之间 D．在5~6之间
【答案】C
【分析】根据无理数大小的估算进行判断即可．
【详解】解：∵9<10<16，∴3<<4，故选：C．
【点睛】本题考查无理数大小的估算，解题关键是利用平方法先估算被开方数的范围．
变式2．（2022·北京市通州区北关中学一模）估计与1.5的大小关系是：______1.5(填“＞”“＝”或“＜”)
【答案】＞
【详解】依据题意，首先依据 的近似值为2.236，代入可以得的近似值大于1.5，即可得解.
详解：由题意，的近似值为2.236，代入可得>1，故答案为>.
点睛：本题考查了无理数的估算，需要熟练掌握并理解.
变式3．（2022·广西·南宁市天桃实验学校七年级期末）阅读下列材料，并回答问题：
天桃学区七年级某班数学兴趣小组的同学在学习了实数的近似运算之后，探索利用数形结合的思想求实数近似值的方法．下面是小组同学一起探索的求解过程，请你仔细阅读求解过程并和数学小组的成员一起把过程补充完整：
(1)已知面积是2的正方形的边长是，且，则设，
画出如图所示的示意图．根据各部分面积之和等于总面积．
可列方程为：，
∵，∴认为是个较为接近于0的数，
令，因此省略后，得到方程：，
解得，________，即________．
(2)仿照上述方法，设，探究的近似值（精确到0.01）；（请在备用图中标明数据，并写出求解过程．）
【答案】(1)0.5，1.5 (2)的近似值是2.25，见解析
【分析】（1）设方程为x2+2x+1=2，再根据x2接近为0得出2x+1=2，再求出x即可；
（2）根据题意画出图形，方程为5=4+4y+y2，根据y2是个较为接近于0的数得出4y+4=5，再求出y即可．
（1）解：可列方程为：x2+2x+1=2，∵0＜x＜1，∴认为x2是个较为接近于0的数，令x2≈0，因此省略x2后，得到方程：2x+1=2，解得，x==0.5，即=1+x≈1.5，故答案为：0.5，1.5；
（2）解：如图1所示：
设=2+y（0＜y＜1），两边平方得：5=4+4y+y2，
∵0＜y＜1，∴认为y2是个较为接近于0的数，令y2≈0，因此省略y2后，得到方程：4y+4=5，
解得，y==0.25，即=2+y≈2.25，所以的近似值是2.25．
【点睛】本题考查了估算实数的近似值，解一元一次方程，估算无理数的大小等知识点，能得出关于x的方程是解此题的关键．
变式4．（2022·北京海淀清华附中初二期末）阅读下面求（m0）近似值的方法，回答问题：
①任取正数a1；
②令a2＝（a1+），则；
③a3＝（a2+），则；
…以此类推n次，得到．
其中an，称为的n阶过剩近似值，称为的n阶不足近似值．
仿照上述方法，求的近似值．
①取正数a1＝3．
②于是a2＝_____；则_____＜＜a2．
③的3阶不足近似值是_____．
【答案】
【分析】根据材料中的公式，将a1的值代入求出a2，a3即可解答．
【解析】解：
故答案为：② ③
【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，是阅读型问题，解决此类问题时，要认真阅读材料，根据材料中的步骤逐步计算．
高频考点11 实数性质与混合运算
【解题技巧】在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
例1.（2022·浙江·七年级期中）计算：(1) (2)
【答案】(1)-3；(2)6-．
【分析】（1）先计算算术平方根以及立方根，再算加减法，即可求解；
（2）先计算算术平方根，立方根和绝对值，再算加减法，即可求解．
（1）解：
=4-2-5
=-3；
（2）解：
=9-2-3+2-
=6-．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握算术平方根，立方根和绝对值是解题的关键．
变式1.（2022·辽宁八年级期中）的倒数是 ____，3﹣的绝对值是 ______．
【答案】﹣ ﹣3
【分析】（1）先化简再根据互为倒数的两个数积为1的概念进行求值即可.
（2）根据若一个数小于0，那么它的绝对值为它的相反数，求出- 2的相反数即可.
【详解】解：（1）化简，又，故答案为：.
（2）- 2＜0，则它的绝对值即为它的的相反数 = ，
故答案为：故答案为，
【点睛】本题考查立方根，互为倒数和绝对值的概念，务必清楚的是互为倒数的的两个数积1，负数的绝对值等于它的相反数，掌握倒数和求绝对值的相关概念是解题的关键.
变式2．（2022·福建漳州市·八年级期中）下面与互为相反数的是（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【分析】根据相反数的定义即可得出答案；
【详解】解：与互为相反数的是；故选：B
【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号．一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
变式3．（2022·山东济宁·七年级期末）计算：
(1)．(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先根据算术平方根、立方根的概念以及绝对值化简，再进行加减运算即可；
（2）先将根据算术平方根、立方根的概念化简并计算乘方，再进行加减运算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查算术平方根、立方根的概念，乘方运算，能够掌握运算顺序是解决本题的关键．
高频考点12 实数中的新定义与规律问题
解题技巧：根据题意具体分析即可
例1．（2022·浙江台州·七年级期中）设表示小于的最大整数，如，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．的最小值是0 C．的最大值是1 D．不存在实数，使
【答案】C
【分析】根据新定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、因为表示小于的最大整数，所以，故本选项错误，不符合题意；
C、因为表示小于的最大整数，所以的最大值是1，故本选项正确，符合题意；
D、存在实数，使，如，则，故本选项错误，不符合题意；
故选：C.
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较和新定义运算，正确理解表示小于的最大整数是解题的关键．
变式1．（2022·浙江·八年级课时练习）观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，，3…，那么第50个数据应该是___________．
【答案】
【分析】根据题意得到这一列数据为0，，，，，，…，则第n个数据为，由此即可得到答案．
【详解】解：由题意得这一列数据为0，，，，，，…，
∴第n个数据为，∴第50个数据为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了与实数相关的规律题，正确找到规律是解题的关键．
变式2.（2022·北京·人大附中七年级期中）一般地，如果（n为正整数，且n＞1），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（　　）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是±2
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为偶数时，2的n次方根有n个
【答案】C
【分析】根据新定义的意义计算判断即可．
【详解】解：∵16的4次方根是±2，∴A选项的结论不正确；
∵32的5次方根是2，∴B选项的结论不正确；
∵当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，∴C选项的结论正确；
∵当n为偶数时，2的n次方根有2个，∴D选项的结论不正确．故选：C．
【点睛】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义的意义是解题的关键．
变式3．（2022·四川师范大学附属中学）定义[ x] 为不大于 x 的最大整数，如[2] 2 ，[] 1 ，[4.1] 4 ，则满足[] 70 的 n 共有_____个（n 为正整数）
【答案】141
【分析】根据已知条件可得出，平方即可得出n的取值范围，再求n得个数即可．
【详解】解：由已知条件得出：
∴
∴则满足[] 70 的 n 共有个．
故答案为：141．
【点睛】本题考查的知识点是无理数大小的比较，根据题目得出是解此题的关键．
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专题02 实数 高频考点（12个）（精讲）
高频考点1 平方根和算术平方根的相关概念
【解题技巧】平方根与算术平方根的区别于联系：
算术平方根 平方根
区别 定义 如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫作a的算术平方根。 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根。
个数 正数的算术平方根只有一个 正数的平方根有两个
表示方法 正数a的算术平方根表示为 正数a的平方根表示为±
取值范围 正数的算术平方根一定是正数
联系 具体包含关系 平方根包含算术平方根，一个数的正的平方根就是它的算术平方根
存在的条件 只有非负数才有平方根和算术平方根
0 0的平方根和算术平方根都是0
例1．（2022·福建七年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．的平方根是±4 C．25的平方根是±5 D．﹣36的算术平方根是6
变式1．（2022·成都市初二课时练习）下列说法正确的是( )
A．任何非负数都有两个平方根 B．一个正数的平方根仍然是正数
C．只有正数才有平方根 D．负数没有平方根
变式2．（2022·广西）下列说法中，其中不正确的有（ ）
（1）任何数都有平方根，（2）一个数的算术平方根一定是正数，
（3）的算术平方根是a，（4）一个数的算术平方根不可能是负数．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
变式3．（2022·湖北七年级期末）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
高频考点2利用平方根和立方根解方程
解题技巧：（1）先将方程化简为的形式，移项将系数化为1；然后直接开方即可。
①当h≥0时，x+a=±，则x=－a±；②当h＜0时，方程无解
（2）求立方根的运算，一般先把式子化为的形式，当有的形式，先把x±m看成一个整体再进行开立方。解答这种题型应紧扣立方根的概念，明确开立方根与立方互为逆运算。
例1．（2022·山东八年级阶段练习）求下列各式中的x的值．
（1）； （2）； （3）； （4）．
变式1．（2022·绵阳市初二期中）求下列各式中的.
（1） （2）； （3）
变式2．（2022·新疆师范大学附属中学七年级阶段练习）求下列各式中的x：
(1)； (2) (3)； (4)
变式3．（2022·浙江·七年级课时练习）求下列各式的值或x.
（1）； （2）； （3）； （4）
高频考点3立方根的相关概念与性质
【解题技巧】 ① ② ③
上述第三个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.
例1．（2022·成都市·八年级课时练习）【发现】
①
②
③
④……；
(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________．
【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：
对于任意两个有理数a，b，若，则；
【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：
(2)若与的值互为相反数，且，求a的值．
变式1．（2022·浙江·七年级期中）下列语句正确的是（ ）
A．的立方根是2 B．－3是27的立方根
C．的立方根是 D．（－1）2的立方根是－1
变式2．（2022·浙江·七年级阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．负数没有立方根 B．的立方根是
C． D．立方根等于本身的数只有
变式3．（2022·江苏·八年级）若，则与的关系是　　
A． B．与相等 C．与互为相反数 D．
高频考点4 算术平方根的双重非负性
【解题技巧】①解决此类问题关键是掌握算术平方根，绝对值，偶次乘方均具有非负性.
②多个非负数相加为0，则这多个非负数必定为0.
例1．（2022·浙江七年级专题练习）已知和互为相反数，且，求的值．
变式1．（2022·绵阳外国语学校八年级期中）已知a2+＝4a﹣4，则的平方根是_____．
变式2．（2022·成都市树德实验中学八年级期末）已知（x+3）2+＝0，则x+y＝__．
变式3．（2022·内蒙古巴彦淖尔·七年级期中）已知，则_____．
高频考点5 平方根与立方根的移动规律
【解题技巧】1）被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.
例如，，，，.
例1.（2022·浙江·七年级期中）观察下列正数的立方根运算，并完成下列问题；
b 0.004096 4.096 4096 4096000 4096000000
0.16 1.6 16 160 1600
(1)用语言叙述上述表格中的规律：在立方根运算中，被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向___移动___位．
(2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，则___，___．
(3)类比上述立方根运算：已知，则___，___．
变式1．（2022·湖南岳阳·八年级期末）如果＝3.873，＝1.225，那么＝___________．
变式2．（2022·福建·莆田砺志学校七年级期中）若 ＝0.716，＝1.542，＝6.058,则的值是( )
A．716 B．154.2 C．605.8 D．71.6
变式3.（2022·江苏·八年级）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求．还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
n 16 0.16 0.0016 1600 160000 …
4 x 0.04 y 400 …
(1)表格中x＝　 　；y＝　 　；
(2)从表格中探究n与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知≈1.435，则≈　 　；②已知＝1.83，若＝0.183，则x＝　 　．
高频考点6 平方根与立方根的综合应用
【解题技巧】解决此类问题关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．
例1．（2022·广东阳江·七年级期中）已知和是某数的两个平方根，的立方根是．(1)求a，b的值；(2)求的算术平方根．
变式1．（2022·河南·商丘市第十六中学七年级期中）已知：的算术平方根是3，的立方根是2，求的值．
变式2．（2022·江西·新余四中七年级期中）已知：和是a的两个不同的平方根，是a的立方根．(1)求x，y，a的值；(2)求的平方根．
变式3．（2022·新疆·七年级期末）已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是．求：(1)和这个正数的值；(2)的算术平方根．
高频考点7 算术平方根和立方根的实际应用
【解题技巧】①与普通应用题列写方程的过程相似，再按照算术平方根的特性解方程。
②按照正常方程思路，首先设未知数，列等式方程；再求解未知数；最后回答题干问题。
例1.（2022.重庆市八年级期中）某地气象资料表明:当地雷雨持续的时间t(h)可以用下面的公式来估计:t2=,其中d(km)是雷雨区域的直径.(1)如果雷雨区域的直径为9km,那么这场雷雨大约能持续多长时间 (2)如果一场雷雨持续了1h,那么这场雷雨区域的直径大约是多少(结果精确到0.1km)
变式1．（2022·平泉市七年级期末）如图，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）
A．2 B．1.5 C． D．
变式2.（2022 瑶海区校级期中）已知一个正方体的体积是729cm3，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使得余下的体积是665cm3，则截去的每个小正方体的棱长是（　　）
A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm
变式3．（2021·西宁市七年级期中）如果一个正方形的面积为3，则这个正方形的边长是 _____．
高频考点8 实数及其分类
【解题技巧】①无理数与有理数的和、差仍是无理数，无理数与非零有理数的积、商仍是无理数；
②无理数与无理数的和、差、商、积不一定是无理数；③带根号的不一定是无理数；
④通常含π和无法开方（开立方）的数是无理数，其他数为有理数。
例1．（2022·浙江·八年级课时练习）下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
，，（相邻两个之间有个），（小数部分由相继的正整数组成）．
变式1．（2022·宜宾八年级月考）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：
①当输出值y为时，输入值x为3或9；
②当输入值x为16时，输出值y为；
③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；
④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．
其中错误的是（　　）
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
变式2．（2022·湖北·嘉鱼县教学研究室七年级期末）关于实数，下列说法错误的是（ ）
A．有理数与无理数统称实数 B．实数与数轴上的点一一对应
C．无理数就是无限不循环小数 D．带根号的数都是无理数
变式3．（2022·江苏·徐州市七年级阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内：2，0，，，，，25%，，
（1）分数集合：{ …}；
（2）非负整数集合：{ …}；
（3）有理数集合：{ …}；
（4）无理数集合：{ …}．
高频考点9 实数与数轴的对应关系-数形结合
【解题技巧】实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，数轴上的每一个点都表示一个实数。在解决此类问题时，要弄清楚实数在数轴上的位置，根据位置关系进行分析求解。
例1．（2022·吉林白山·七年级期中）如图，已知实数，－1，，4，其在数轴上所对应的点分别为点B，A，D，C．
(1)点C与点D之间的距离为______；
(2)记点A与点B之间距离为a，点C与点D之间距离为b，求a-b的值．
变式1．（2022·广东八年级期末）实数a、b在数轴上所对应的点如图所示，则|﹣b|+|a+|+的值_____．
变式2．（2022·浙江七年级期中）如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是_______．
变式3．（2022·浙江七年级月考）如图，将面积为3的正方形放在数轴上，以表示实数1的点为圆心，正方形的边长为半径，作圆交数轴于点、．①线段_______；②点表示的数为______．
高频考点10 实数的估算与比较大小
解题技巧：要估算或的近似值，第一步先确定估算数的整数范围；第二步以较小整数为基础，开始逐步加0.1（或以较大整数为基础，开始逐步减0.1），并求其立方确定估算数的十分位；后续小数重复如上步骤。
例1．（2022·安徽芜湖·七年级期末）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题：
(1)已知，且x为整数．
∵，
∴x一定是一个两位数；
∵10648的个位数字是8，
∴x的个位数字一定是______；
划去10648后面的三位648得10，
∵，
∴x的十位数字一定是______；
∴______．
(2)，且y为整数，按照以上思考方法，请你求出y的值．
变式1.（2022·广西梧州·八年级期中）下列对的大小估计正确的是（ ）
A．在1~2之间 B．在2~3之间 C．在3~4之间 D．在5~6之间
变式2．（2022·北京市通州区北关中学一模）估计与1.5的大小关系是：______1.5(填“＞”“＝”或“＜”)
变式3．（2022·广西·南宁市天桃实验学校七年级期末）阅读下列材料，并回答问题：
天桃学区七年级某班数学兴趣小组的同学在学习了实数的近似运算之后，探索利用数形结合的思想求实数近似值的方法．下面是小组同学一起探索的求解过程，请你仔细阅读求解过程并和数学小组的成员一起把过程补充完整：
(1)已知面积是2的正方形的边长是，且，则设，
画出如图所示的示意图．根据各部分面积之和等于总面积．
可列方程为：，
∵，∴认为是个较为接近于0的数，
令，因此省略后，得到方程：，
解得，________，即________．
(2)仿照上述方法，设，探究的近似值（精确到0.01）；（请在备用图中标明数据，并写出求解过程．）
变式4．（2022·北京海淀清华附中初二期末）阅读下面求（m0）近似值的方法，回答问题：
①任取正数a1；
②令a2＝（a1+），则；
③a3＝（a2+），则；
…以此类推n次，得到．
其中an，称为的n阶过剩近似值，称为的n阶不足近似值．
仿照上述方法，求的近似值．
①取正数a1＝3．
②于是a2＝_____；则_____＜＜a2．
③的3阶不足近似值是_____．
高频考点11 实数性质与混合运算
【解题技巧】在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．
例1.（2022·浙江·七年级期中）计算：(1) (2)
变式1.（2022·辽宁八年级期中）的倒数是 ____，3﹣的绝对值是 ______．
变式2．（2022·福建漳州市·八年级期中）下面与互为相反数的是（ ）
A． B． C．5 D．
变式3．（2022·山东济宁·七年级期末）计算：
(1)．(2)．
高频考点12 实数中的新定义与规律问题
解题技巧：根据题意具体分析即可
例1．（2022·浙江台州·七年级期中）设表示小于的最大整数，如，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．的最小值是0 C．的最大值是1 D．不存在实数，使
变式1．（2022·浙江·八年级课时练习）观察分析下列数据，寻找规律：0，，，3，2，，3…，那么第50个数据应该是___________．
变式2.（2022·北京·人大附中七年级期中）一般地，如果（n为正整数，且n＞1），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（　　）
A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是±2
C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为偶数时，2的n次方根有n个
变式3．（2022·四川师范大学附属中学）定义[ x] 为不大于 x 的最大整数，如[2] 2 ，[] 1 ，[4.1] 4 ，则满足[] 70 的 n 共有_____个（n 为正整数）
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