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专题04 一元一次方程 高频考点（11个）（精讲）
高频考点1 方程与一元一次方程的辨别
【解题技巧】1）方程：含有未知数的等式。 如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．
2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1.
例1．（2022·浙江七年级期中）下列方程①②③④⑤：其中是一元一次方程的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：①，含有一个未知数，但是分式，故①不是一元一次方程；
②，是一元一次方程；③，是一元一次方程；
④，是一元二次方程，故④不是一元一次方程；
⑤，含有两个未知数，故⑤不是一元一次方程．所以是一元一次方程的有2个．故选：D．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的定义，解题的关键是掌握只含有一个未知数（元，且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．
变式1．（2022·河南开封·七年级期中）下列四个式子中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据方程的定义（含有未知数的等式叫方程）进行判断即可．
【详解】A.不是方程，因为不含有未知数，故A错误；
B.是方程，x是未知数，式子又是等式，故B正确；
C.不是方程，因为它不是等式，故C错误；
D.不是方程，因为它不是等式，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．
变式2．（2022·广东湛江·七年级期末）下列各式中，不是方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据方程的定义（含有未知数的等式称为方程）依次进行判断即可．
【详解】解：根据方程的定义可得：A、C、D选项均为方程，
选项B不是等式，所以不是方程，
故选：B．
【点睛】题目主要考查方程的定义，深刻理解方程的定义是解题关键．
变式3．（2022·湖北武汉市·七年级期末）下列方程为一元一次方程的是（ ）
A．＋y＝2 B．x＋2y＝4 C．x2＝2x D．y－3＝0
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的定义，形如（），含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次的方程即为一元一次方程，逐项判断作答即可．
【详解】解：A、 不是整式方程，不是一元一次方程，故选项A与题意不符
B、x＋2y＝4含有两个未知数，不是一元一次方程，故选项B与题意不符；
C、x2=2x最高次数是二次，不是一元一次方程，故选项C与题意不符；
D、含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次，是一元一次方程，故选项D符合题意；故选D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，（）的方程即为一元一次方程；含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次，是判断是否是一元一次方程的依据．
高频考点2 利用一元一次方程的定义和方程的解求参数
【解题技巧】依据一元一次方程的定义，x的次数为1，系数不为0
方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．
例1．（2022·浙江七年级课时练习）如果方程是关于x的一元一次方程，则n的值为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．1
【答案】B
【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b=0（a，b是常数且a≠0）．根据未知数的指数为1可求出n的值．
【详解】解：由方程是关于x的一元一次方程可知x的次数是1，
故，所以．故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，未知数的指数是1，一次项系数不是0，特别容易忽视的一点就是系数不是0的条件．这是这类题目考查的重点．
变式1．（2022·浙江丽水·七年级期末）已知关于的方程的解为，则_____．
【答案】5
【分析】把x=2代入原方程得到关于a的方程，解得即可．
【详解】把x=2代入方程得：
2（a-1）+3=3a-4，解得a=5，故答案为：5．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，能得到关于a的一元一次方程是解题的关键．
变式2．（2022·山西临汾·七年级期末）已如关于x的方程的解，则a的值为________．
【答案】2
【分析】使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．将方程的解代入方程可得关于a的一元一次方程，从而可求出a的值．
【详解】解：∵关于x的方程的解，
∴，
即，
解得．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，正确的计算是解题的关键．
变式3．（2022·南阳市油田教育教学研究室）已知是关于的一元一次方程，则的值为____．
【答案】4
【分析】根据一元一次方程的定义判断即可．
【详解】解：∵是关于的一元一次方程，
∴且，解得：，故答案为：4．
【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，根据题意列出方程和不等式是解题的关键．
高频考点3 等式的性质及应用
【解题技巧】等式的性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
例1．（2022·浙江杭州·七年级期末）根据等式的性质，若等式m＝n可以变为m+a＝n﹣b，则( )
A．a，b互为相反数 B．a，b互为倒数 C．a＝b D．a＝0，b＝0
【答案】A
【分析】根据等式的基本性质得到a=-b，再根据相反数的定义解决此题．
【详解】解：由题意得：a=-b．
∴a+b=0．∴a与b互为相反数．故选：A．
【点睛】本题主要考查等式的基本性质、相反数、倒数，熟练掌握等式的基本性质、相反数的定义是解决本题的关键．
变式1．（2022·江苏南京·七年级期末）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果mx＝my，那么x＝y B．如果│x│＝│y│，那么x＝y
C．如果x＝2，那么x＝1 D．如果x－2＝y－2，那么x＝y
【答案】D
【分析】直接运用等式的性质进行判断即可．
【详解】A．根据等式的性质2，等式两边要除以一个不为0的数，结果才相等，m有可能为0，所以错误，不符合题意；
B．如果︱x︱＝︱y︱，那么x＝±y，所以错误，不符合题意；
C．如果x＝2，，根据等式的性质2，等式两边同时乘以2，得到：x=4，所以错误，不符合题意；
D．如果x－2＝y－2，根据等式的性质1，两边同时加上2，得到x=y，所以正确，符合题意．故选D．
【点睛】本题考查了等式的基本性质，熟记等式的基本性质是解题的关键．等式性质1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式性质2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
变式2．（2022·河北张家口·七年级期末）下列变形中，正确的是( )
A．若5x﹣6=7，则5x=7﹣6 B．若﹣3x=5，则x=
C．若5x﹣3=4x+2，则5x﹣4x=2+3 D．若，则2（x﹣1）+3（x+1）=1
【答案】C
【分析】直接利用等式的基本性质分别进行判断．
【详解】解：A、若，则，故此选项错误，不符合题意；
B、若，则，故此选项错误，不符合题意；
C、若，则，正确，符合题意；
D、若，则，故此选项错误，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，解题的关键是正确掌握等式的基本性质．
变式3．（2022·浙江初一期中）宁宁同学拿了一架天平，测量饼干与糖果的质量（每块饼干的质量都相同，每颗糖果的质量都相同）．第一次：左盘放两块饼干，右盘放三颗糖果，结果天平平衡；第二次：左盘放一块饼干和一颗糖果，右盘放10克砝码，结果天平平衡；第三次：左盘放一颗糖果，右盘放一块饼干，下列哪一种方法可使天平再次平衡（ ）
A．左盘上加2克砝码 B．右盘上加2克砝码
C．左盘上加5克砝码 D．右盘上加5克砝码
【答案】A
【分析】由试验可得饼干与糖果之间的数量关系，求出一颗糖果和一块饼干各自的重量，再代入求解即可．
【解析】由试验可得饼干与糖果之间的数量关系，
第一次：2饼干=3糖果，即1饼干=1．5糖果；
第二次：1饼干+1糖果=10克砝码，把1饼干=1.5糖果代入，得1.5糖果+1糖果=10克砝码，即1糖果=4克砝码，1饼干=1.5糖果=6克砝码；
所以第三次：1饼干-1糖果=6克砝码-4克砝码=2克砝；故选A．
【点睛】本题考查了等式的问题，掌握等式的性质是解题的关键．
高频考点4 一元一次方程中的同解问题
【解题技巧】通过前一个方程求得x的值并代入后一个方程，转化为含另一未知数的方程。
例1.（2022·浙江七年级期末）若方程与关于的方程有相同的解，求的值．
【答案】11
【分析】先解方程2x-3=11求出x的值，把解得的值代入方程4x+5=3k，就可以得到一个关于k的方程，解方程就可以求出k的值．
【详解】解：解方程2x-3=11得：x=7，
把x=7代入4x+5=3k，得：28+5=3k，解得：k=11．故答案为：11．
【点睛】本题考查同解方程的知识，已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数a的方程进行求解．
变式1．（2022·沙坪坝·重庆一中）关于的方程的解比关于的方程的解大2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解方程，用m表示出两个方程的解，再根据题意列出关于m的方程，解之即可求得m的值．
【详解】解：解方程得：x=，解方程得：x=m，
根据题意得：﹣m=2，解得：m=，故选：A．
【点睛】本题考查方程的解的定义、解一元一次方程，理解方程的解的定义，会解一元一次方程是解答的关键．
变式2．（2022·贵州·七年级期中）关于x的方程2x－4=3m和2x+3=13有相同的解，则m的值（ ）
A．10 B．－2 C．2 D．8
【答案】C
【分析】根据解一元一次方程的一般步骤求出方程2x+3=13的解，代入方程2x-4=3m，解关于m的一元一次方程即可．
【详解】解：2x+3=13 x=5
把x=5代入2x-4=3m，则10-4=3m，
解得，m=2，故选：C．
【点睛】本题考查的是同解方程的概念，掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
变式3．（2022·西安市第七十中学七年级月考）若关于的方程的解是关于的方程的解的2倍，求的值．
【答案】
【分析】先分别求得两方程的解，然后根据解得关系列出关于m的方程求解即可．
【详解】解：解方程得x=2m-1 解方程得x=3m
则2m-1=2×3m，即2m-1=6m，解得m= ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解法、一元一次方程的解的定义等知识点，正确求解一元一次方程成为解答本题的关键．
高频考点5 方程的特殊解问题（求参数的值）
【解题技巧】求含参数一元一次方程的逆过程。
例1．（2022·河北邢台三中）已知关于x的一元一次方程ax+4=7+2x
（1）若方程的解为x=1，则a的值为____． （2）若方程的解为负整数时，则a的整数值为____．
【答案】5 1或-1
【分析】（1）将x=1代入方程，解出a值即可；（2）解方程，得到x=，再根据解为负整数，可得a值．
【详解】解：（1）∵方程的解为x=1，代入，∴a+4=7+2，解得：a=5；
（2）ax+4=7+2x，
移项合并得：（a-2）x=3，
当a=2时方程无解， ∴x=，
∵方程的解为负整数，∴x可取的值为-1或-3，
当x=-1时，a=-1，当x=3时，a=1，∴a的整数值为1或-1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，解题的关键是根据方程的解的定义得到关于参数的新方程．
变式1．（2022·重庆七年级期末）已知关于x的方程（5a+14b）x+6＝0无解，则ab是（　　）
A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数
【答案】D
【分析】先将原方程化为（5a+14b）x＝﹣6，再利用方程无解可得5a+14b＝0，用b表示出a，然后代入计算即可．
【详解】解：∵关于x的方程（5a+14b）x＝﹣6无解，
∴5a+14b＝0，∴a＝﹣b ∴ab＝﹣b2≤0．故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程无解的情况，理解一元一次方程无解的条件未知数的系数为0是解答本题的关键.
变式2．（2022·福建七年级期末）已知为非负整数，且关于的方程的解为正整数，则的所有可能取值为（ ）
A．2，0 B．4，6 C．4，6，12 D．2，0，6
【答案】A
【分析】方程整理后，根据方程的解为正整数确定出k的值即可．
【详解】解：方程去括号得：3x 9＝kx，移项合并得：（3 k）x＝9，解得：x＝，
由x为正整数，k 为非负整数，得到k＝2，0，故选：A．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
变式5．（2022·四川成都·七年级专题练习）已知关于x的方程x﹣5＝﹣mx有整数解，则正整数m的值为__．
【答案】
【分析】先解关于x的方程得到，然后根据整数的整除性求解．
【详解】解：整理得（1+m）x＝5，∴，
∵x为整数，m为正整数， ∴m＝4，故答案为：4．
【解答】此题考查了一元一次方程的解及解法，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．
高频考点6 解方程
【解题技巧】解含有括号的一元一次方程：一般方法是由内到外逐层去括号，但有时这样做不一定能简化运算。因此，应根据方程的结构特点，灵活运用恰当的去括号的方法，以达到计算简便准确的目的。对于多重括号，即可以按由内向外的顺序去括号，也可以按由外向内的顺序去括号。有时，依据题目的数字特点，采取由外向内的顺序依次去括号，会使方程的变形更为简洁。同时，当括号前面的系数较大时，且各项有相同的因式时，也可以整体上把握，逆用分配律，可使方程求解过程更为简单。
解分子分母中含有小数系数的方程：此类题型，需要运用分数的基本性质，先将分子和分母同时扩大，将小数化为整数，然后按照分数解方程的步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1来解方程。
例1．（2022·湖南天心·长郡中学期末）解方程
（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】根据一元一次方程求解步骤，（1）先去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1；（2）先去分母，再去括号，再次移项合并同类项，最后系数化为1．
【解析】（1）
去括号：
移项：
合并同类项：
系数化为1：
（2）
去分母：
去括号：
移项合并同类项：
系数化为1：
【点睛】本题考查一元一次方程求解，去括号后括号外是负号各项要变号以及去分母后分子是多项式要先添括号是易错点，按照解方程顺序计算是关键点．
变式1．（2022·辽宁抚顺县·七年级期末）解方程：
（1）5x﹣（3x﹣1）＝x﹣2；（2）＝．
【答案】（1）x＝﹣3；（2）．
【分析】（1）方程去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：（1）去括号得：5x﹣3x+1＝x﹣2，
移项得：5x﹣3x﹣x＝﹣2﹣1，
合并得：x＝﹣3；
（2）去分母得：6（x+2）＝4（2﹣x）+3（2x+1），
去括号得：6x+12＝8﹣4x+6x+3，
移项得：6x+4x﹣6x＝8+3﹣12，
合并得：4x＝﹣1，
解得：x＝﹣．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
变式2．（2022·河北七年级课时练习）解方程：
（1）； （2）； （3）； （4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，再把未知数的系数化为“”，从而可得答案；
（2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，再把未知数的系数化为“”，从而可得答案；
（3）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，再把未知数的系数化为“”，从而可得答案；
（4）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，再把未知数的系数化为“”，从而可得答案.
【详解】解：（1）
去分母得：
去括号及移项得：
（2）
去分母得：
去括号得：
移项及合并同类项得：
（3）
去分母得：
去括号得：
移项及合并同类项得：
（4）
去分母得：
去括号得：
移项及合并同类项得：
【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的解法的步骤是解题的关键.
变式3．（2022·重庆七年级课时练习）根据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内
填写变形依据．
解：原方程可变形为．（________）
去分母，得．（________）
去括号，得．（________）
（________），得．（________）
合并同类项，得．（________）
（________），得（________）
【答案】分数的基本性质 等式的基本性质2 去括号法则或乘法分配律 移项 等式的基本性质1 合并同类项法则 系数化为1 等式的基本性质2
【分析】根据解一元一次方程的一般步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可．
【详解】解：原方程可变形为．（分数的基本性质）
去分母，得．（等式的基本性质2）
去括号，得．（去括号法则或乘法分配律）
（移项），得．（等式的基本性质1）
合并同类项，得．（合并同类项法则）
（系数化为1），得（等式的基本性质2），
故答案为：分数的基本性质；等式的基本性质2；去括号法则或乘法分配律；移项；等式的基本性质1；合并同类项法则；系数化为1；等式的基本性质2．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的一般步骤以及等式的基本性质是解题的关键．
高频考点7 含参数的一元一次方程
【解题技巧】一元一次方程ax=b的解由a，b共同决定。
此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：（1）当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．
例1．（2022·上海金山·初二期中）解关于的方程：．
【答案】，；，无解
【分析】先去括号，然后移项、合并同类项，化未知数系数为1．注意未知数系数有可能为零，要分类讨论．
【解析】解：，，，
当时，，
当时，方程无解，
所以，当时，原方程的根是；
当时，原方程无解．
【点睛】本题考查了含字母系数的一元一次方程；解题的关键是注意对未知数的系数分类讨论．
变式1．（2022·上海市建平实验中学八年级期末）关于x的方程的解是______．
【答案】
【分析】根据解一元一次方程得步骤计算即可．
【详解】，
移项，得，
合并同类项，得．
∵，∴，∴．故答案是：．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法．一般地，解一元一次方程的步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．
变式2．（2022·上海市罗南中学八年级阶段练习）解关于x的方程：．
【答案】当时，原方程无解；当时，
【分析】据题意，分两种情况：①时，②时，根据解一元一次方程的方法，求出方程的解即可．
【详解】解：∵，
∴，
①当时，，故方程无解．
②当时， ∴系数化为1得：；
∴关于x的方程的解为：当时，原方程无解；当时，．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，掌握解一元一次方程是解题的关键．
高频考点8 一元一次方程中的错解和遮挡问题
例1．（2022·浙江湖州·七年级期末）小磊在解方程时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他推算确定被染了的数字“■”应该是________．
【答案】3
【分析】设“■”表示的数为a，将一元一次方程的解代入求解即可得出结果．
【详解】解：设“■”表示的数为a，将x=代入方程得：，解得a=3，
即“■”表示的数为3，故答案为：3．
【点睛】题目主要考查一元一次方程的解及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题关键．
变式1．（2022·重庆七年级期末）某同学解方程时，把“”处的系数看错了，解得，他把“”处的系数看成了（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】C
【分析】设为a，把代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：设为a，把代入方程得：，
，，，故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，设出未知数，把代入方程，得到关于a的一元一次方程是解题的关键．
变式2．（2022·河南七年级期中）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染得看不清楚，被污染的方程是小明翻看了书后的答案，此方程的解是y＝，则这个常数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】设所缺的部分为x，2y+＝y-x，把y=- 代入，即可求得x的值．
【详解】解：设所缺的部分为x， 则2y+＝y-x， 把y=- 代入， 求得x=2． 故选B．
【点睛】 考查了一元一次方程的解的定义，解决本题的关键是要熟练掌握一元一次方程的解的定义．
变式3．（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．
【详解】解：方程两边同乘6，得①
∴开始出错的一步是①，故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的关键．
高频考点9 一元一次方程中的新定义问题
例1．（2022·湖南）我们称使成立的一对数m，n为“好朋友数对”，记为（m，n）．如：当m=n=0时，等式成立，记为（0，0）．若（3，a）是“好朋友数对”，则a的值为_____．
【答案】
【分析】根据“好朋友数对”的定义即可求出a的值．
【详解】由题意可知：，解得：．故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次方程，解题的关键是正确理解“好朋友数对”的定义，本题属于基础题型．
变式1．（2022·浙江·七年级课时练习）对于两个不相等的有理数，，我们规定符号表示，两数中较大的数，例如，按照这个规定，那么方程的解为（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【分析】对和两种情况进行分类计算．
【详解】解：当时可得，
，解得，
，且，
是该方程的解；
当时，，解得，
，且，
是该方程的解，故选：
【点睛】此题考查了通过新定义问题解一元一次方程的能力，关键是能根据题目定义，分情况列出不同方程求解，并讨论结果是否符合题意．
变式2．（2022·江苏扬州·七年级期末）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定如下：
例如：．
(1)求的值；(2)化简：(3)若，求的值．
【答案】(1)32(2)(3)
【分析】（1）根据新定义进行求解即可；
（2）根据新定义和整式的加减计算法则求解即可；
（3）先根据新定义得到关于x的一元一次方程，然后解方程即可．
(1)解：∵，
∴；
(2)解：
；
(3)解：∵，
∴，
∴，
∴，解得．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，代数式求值，整式的加减计算，正确理解新定义是解题的关键．
变式3．（2022·山东·七年级课时练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是关于x的方程的解，则_____；
(2)若关于x的方程的解也是“立信方程”的解，则_______；
(3)若关于x的方程的解也是关于x的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．
【答案】(1)1(2)5(3)，
【分析】（1）根据“立信方程”的定义解答即可；
（2）根据x2+3x-4=0，可得2x2+6x =8，再代入，即可求解；
（3）先求出方程的解，可得，再由x的值为整数，可得为整数，从而得到a的值，进而得到x的值，同理求出方程的解，再利用“立信方程”以及a和k为正整数，即可求解．
（1）解：2x+1=1，解得x=0；
把x=0代入1-2（x-m）=3，得：
1-2（0-m）=3，即1+2m=3，
解得：m=1．故答案为：1．
（2）解： ∵x2+3x-4=0，∴x2+3x=4，
∴2（x2+3x）= 2x2+6x =8，
∵关于x的方程的解也是“立信方程”的解，
∴8-3-n=0，解得：n=5．故答案为：5．
（3）解：∵a为正整数，则a≠0，
∵，
∴，
∵该方程为“立信方程”，
∴x的值为整数，∴为整数，
∴a可取1，4，2，-1，-4，-2，
∴x=-2，16，-1，-4，38，7，
同理9x-3=kx+14，∴（9-k）x=17，
根据题意得：9-k≠0，∴，
∴9-k可取8，-8，10，26，
∴此时x=17，1，-17，-1，
∴两方程相同的解为x=-1，
此时对应的a=2，k=26，
∴符合要求的正整数a的值为2，k的值为26．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键．
高频考点10 一元一次方程中的整体换元
解题技巧：将含x的式子当作一个整体进行求解
例1．（2022·浙江）已知关于x的方程x＋2－x=m的解是x=21，那么关于y的一元一次方程y＋23－（y＋21）=m的解是y=______．
【答案】0
【分析】把方程y＋23－（y＋21）=m看作是关于（y+21）的一元一次方程，则根据题意得到y+21=x=21，从而得到y的值．
【详解】解：∵关于x的方程x＋2－x=m的解是x=21
y＋23－（y＋21）=m可以变形为（y＋21）+2－（y＋21）=m
∴关于y＋21的一元一次方程（y＋21）+2－（y＋21）=m的解为y＋21=x=21，
解得：y=0故答案为：0
【点睛】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．也考查了换元法．
变式1．（2022·福建·厦门市湖滨中学七年级期末）已知5是关于x的方程的解，则关于的方程的解是__________．
【答案】x=-3
【分析】把x=5代入方程，解得，得到，把代入方程即可解题．
【详解】解：把x=5代入方程，
解得，
，
代入方程得
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次方程的解和解一元一次方程，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
变式2．（2022·山西忻州市·七年级期末）阅读材料，完成任务．
七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程时，不是直接给方程去括号，而是假设，然后把方程变形为：
，
，
．
，
解，得．
上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法．
任务：参照材料中的解题方法解方程．
【答案】x=-4
【分析】根据题示的方法，设7-2x=a，将原方程转化为关于a的方程求解即可．
【详解】解：
设7-2x=a，则原方程变形为：
∴
解得，a=15
即7-2x=15，
解得，x=-4
【点睛】本题考查了换元法解方程．换元法的一般步骤为：设元，换元，解元，还原．
高频考点11 一元一次方程中的实际应用
解题技巧：与用字母表示式子的思路相同，寻找题干中的等量关系，利用未知数表示出来。
例1．（2022·河南南阳·七年级期末）【问题呈现】
某中学的学生以4千米/时的速度步行去某地参加社会公益活动，出发30分钟后，学校派一名通信员骑自行车以12千米/时的速度去追赶队伍，请问通信员用多少分钟可以追上队伍．
【自主思考】(1)根据题意，请画出示意图：
(2)相等关系为（请填空）：____________．
【建模解答】（请你完整解答本题）
【答案】(1)见解析
(2)学生步行30分钟所走的路程+通信员出发后队伍行走的路程=通信员追赶队伍所走的路程；通信员用15分钟可以追上队伍．
【分析】（1）根据题意，即可画出示意图；
（2）根据通讯员所走的路程=学生所走的总路程，列出一元一次方程，解方程即可求解．
（1）解：根据题意，画出示意图如图：
（2）解：相等关系为：学生步行30分钟所走的路程+通信员出发后队伍行走的路程=通信员追赶队伍所走的路程；故答案为：学生步行30分钟所走的路程+通信员出发后队伍行走的路程=通信员追赶队伍所走的路程；设通讯员用x小时可以追上学生队伍，根据题意可得：，解得：x=，×60=15(分钟) ，答：通信员用15分钟可以追上队伍．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，画出草图，找出题中的等量关系是解本题的关键．
变式1．（2022·山东七年级期末）某商场专柜卖出A，B两件衣服，每件售价都是600元，其中每件A衣服赚25%，每件B衣服赔25%．下列说法正确的有（ ）个
①每件A衣服的成本价是480元． ②每件B衣服的成本价是800元． ③专柜售出这两件衣服是赔了80元． ④专柜售出这两件衣服是不赚也不赔
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】设赚钱的衣服的进价为x元，赔钱的衣服的进价为y元，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设赚钱的衣服的进价为x元，
依题意，得：600﹣x＝25%x，解得：x＝480，故①正确；
设赔钱的衣服的进价为y元，600﹣y＝﹣25%y，解得：y＝800，故②正确；
∴600﹣480+600﹣800＝﹣80，∴这两件衣服售出后商店亏了80元，故③正确，④错误；故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
变式2．（2022·湖北襄阳·七年级期末）2021年是中国共产党成立100周年，在庆祝建党100周年活动中，某学校组织开展了一次“中国共产党党史”竞赛，其中笔答环节共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是其中三名参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 19 1 93
C 18 2 86
参赛者D得72分，他答错了______道题．
【答案】
【分析】根据表格可得答对1题得5分，答错1题扣2分，设参赛者D答对道题，根据得分72分列出方程，解方程求解即可．
【详解】解：∵参赛者A答对20道题，得100分，则答对1题得分，
参赛者B答对19道题，得93分，
则答错1题，扣分
设参赛者D答对道题，根据题意得，
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，求得答错1题扣2分是解题的关键．
变式3．（2022·广东七年级期中）春节临近，各商家纷纷开展促销活动，甲、乙两个服装店的促销方式如下：
甲：全场按标价的6折销售；
乙：满100元送80元的购物券，再购买时购物券可以冲抵现金，但不再送券．
（如，顾客在乙店购买服装花370元，赠券240元，再次购买时，这240元券可以冲抵现金，但不再送券，且再次购买金额不低于240元）
小明发现，这两家店同时出售：A型上衣，标价均为340元；B型裤子，标价均为250元．
（1）小明要买一件A型上衣和一条B型裤子，选择哪一家店比较省钱？
（2）小明又发现，这两家店还同时出售C型裤子，标价也相同，且在240元以上．若分别在两家店购买一件A型上衣和一条C型裤子，最后付款额恰好一样，请问C型裤子的标价是多少元？
【答案】（1）选择乙店更省钱；（2）260元
【分析】（1）分别求出在甲、乙两家店买衣服的价钱，再进行比较，即可得出答案．
（2）设C型裤子的标价为x元，根据“在两家店购买一件A型上衣和一条C型裤子，最后付款额恰好一样”列出方程，即可得出答案．
【详解】解：（1）选甲店需付款：（340+250）×0.6＝354（元）；
选乙店需付款：340+（250﹣240）＝350（元）；
∵354＞350，∴选择乙店更省钱．
（2）设C型裤子的标价为x元．根据题意，得（340+x）×0.6＝340+x﹣240，解得，x＝260．
答：C型裤子的标价为260元．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意，明确等量关系是解题的关键．
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专题04 一元一次方程 高频考点（11个）（精讲）
高频考点1 方程与一元一次方程的辨别
【解题技巧】1）方程：含有未知数的等式。 如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．
2）一元一次方程：只含有一个未知数（元，隐含未知数系数不为0），未知数的次数是1（次），等号两边都是整式（整式：未知数的积，而非商）的方程。如何判断一元一次方程：①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1.
例1．（2022·浙江七年级期中）下列方程①②③④⑤：其中是一元一次方程的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
变式1．（2022·河南开封·七年级期中）下列四个式子中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·广东湛江·七年级期末）下列各式中，不是方程的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·湖北武汉市·七年级期末）下列方程为一元一次方程的是（ ）
A．＋y＝2 B．x＋2y＝4 C．x2＝2x D．y－3＝0
高频考点2 利用一元一次方程的定义和方程的解求参数
【解题技巧】依据一元一次方程的定义，x的次数为1，系数不为0
方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解．
例1．（2022·浙江七年级课时练习）如果方程是关于x的一元一次方程，则n的值为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．1
变式1．（2022·浙江丽水·七年级期末）已知关于的方程的解为，则_____．
变式2．（2022·山西临汾·七年级期末）已如关于x的方程的解，则a的值为________．
变式3．（2022·南阳市油田教育教学研究室）已知是关于的一元一次方程，则的值为____．
高频考点3 等式的性质及应用
【解题技巧】等式的性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
例1．（2022·浙江杭州·七年级期末）根据等式的性质，若等式m＝n可以变为m+a＝n﹣b，则( )
A．a，b互为相反数 B．a，b互为倒数 C．a＝b D．a＝0，b＝0
变式1．（2022·江苏南京·七年级期末）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果mx＝my，那么x＝y B．如果│x│＝│y│，那么x＝y
C．如果x＝2，那么x＝1 D．如果x－2＝y－2，那么x＝y
变式2．（2022·河北张家口·七年级期末）下列变形中，正确的是( )
A．若5x﹣6=7，则5x=7﹣6 B．若﹣3x=5，则x=
C．若5x﹣3=4x+2，则5x﹣4x=2+3 D．若，则2（x﹣1）+3（x+1）=1
变式3．（2022·浙江初一期中）宁宁同学拿了一架天平，测量饼干与糖果的质量（每块饼干的质量都相同，每颗糖果的质量都相同）．第一次：左盘放两块饼干，右盘放三颗糖果，结果天平平衡；第二次：左盘放一块饼干和一颗糖果，右盘放10克砝码，结果天平平衡；第三次：左盘放一颗糖果，右盘放一块饼干，下列哪一种方法可使天平再次平衡（ ）
A．左盘上加2克砝码 B．右盘上加2克砝码
C．左盘上加5克砝码 D．右盘上加5克砝码
高频考点4 一元一次方程中的同解问题
【解题技巧】通过前一个方程求得x的值并代入后一个方程，转化为含另一未知数的方程。
例1.（2022·浙江七年级期末）若方程与关于的方程有相同的解，求的值．
变式1．（2022·沙坪坝·重庆一中）关于的方程的解比关于的方程的解大2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·贵州·七年级期中）关于x的方程2x－4=3m和2x+3=13有相同的解，则m的值（ ）
A．10 B．－2 C．2 D．8
变式3．（2022·西安市第七十中学七年级月考）若关于的方程的解是关于的方程的解的2倍，求的值．
高频考点5 方程的特殊解问题（求参数的值）
【解题技巧】求含参数一元一次方程的逆过程。
例1．（2022·河北邢台三中）已知关于x的一元一次方程ax+4=7+2x
（1）若方程的解为x=1，则a的值为____． （2）若方程的解为负整数时，则a的整数值为____．
变式1．（2022·重庆七年级期末）已知关于x的方程（5a+14b）x+6＝0无解，则ab是（　　）
A．正数 B．非负数 C．负数 D．非正数
变式2．（2022·福建七年级期末）已知为非负整数，且关于的方程的解为正整数，则的所有可能取值为（ ）
A．2，0 B．4，6 C．4，6，12 D．2，0，6
变式3．（2022·四川成都·七年级专题练习）已知关于x的方程x﹣5＝﹣mx有整数解，则正整数m的值为__．
高频考点6 解方程
【解题技巧】解含有括号的一元一次方程：一般方法是由内到外逐层去括号，但有时这样做不一定能简化运算。因此，应根据方程的结构特点，灵活运用恰当的去括号的方法，以达到计算简便准确的目的。对于多重括号，即可以按由内向外的顺序去括号，也可以按由外向内的顺序去括号。有时，依据题目的数字特点，采取由外向内的顺序依次去括号，会使方程的变形更为简洁。同时，当括号前面的系数较大时，且各项有相同的因式时，也可以整体上把握，逆用分配律，可使方程求解过程更为简单。
解分子分母中含有小数系数的方程：此类题型，需要运用分数的基本性质，先将分子和分母同时扩大，将小数化为整数，然后按照分数解方程的步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1来解方程。
例1．（2022·湖南天心·长郡中学期末）解方程
（1）； （2）．
变式1．（2022·辽宁抚顺县·七年级期末）解方程：
（1）5x﹣（3x﹣1）＝x﹣2；（2）＝．
变式2．（2022·河北七年级课时练习）解方程：
（1）； （2）； （3）； （4）．
变式3．（2022·重庆七年级课时练习）根据下列解方程的过程，请在前面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内
填写变形依据．
解：原方程可变形为．（________）
去分母，得．（________）
去括号，得．（________）
（________），得．（________）
合并同类项，得．（________）
（________），得（________）
高频考点7 含参数的一元一次方程
【解题技巧】一元一次方程ax=b的解由a，b共同决定。
此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：（1）当a≠0时，；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解．
例1．（2022·上海金山·初二期中）解关于的方程：．
变式1．（2022·上海市建平实验中学八年级期末）关于x的方程的解是______．
变式2．（2022·上海市罗南中学八年级阶段练习）解关于x的方程：．
高频考点8 一元一次方程中的错解和遮挡问题
例1．（2022·浙江湖州·七年级期末）小磊在解方程时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他推算确定被染了的数字“■”应该是________．
变式1．（2022·重庆七年级期末）某同学解方程时，把“”处的系数看错了，解得，他把“”处的系数看成了（ ）
A．4 B． C．6 D．
变式2．（2022·河南七年级期中）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染得看不清楚，被污染的方程是小明翻看了书后的答案，此方程的解是y＝，则这个常数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式3．（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
高频考点9 一元一次方程中的新定义问题
例1．（2022·湖南）我们称使成立的一对数m，n为“好朋友数对”，记为（m，n）．如：当m=n=0时，等式成立，记为（0，0）．若（3，a）是“好朋友数对”，则a的值为_____．
变式1．（2022·浙江·七年级课时练习）对于两个不相等的有理数，，我们规定符号表示，两数中较大的数，例如，按照这个规定，那么方程的解为（ ）
A． B．或 C．或 D．
变式2．（2022·江苏扬州·七年级期末）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定如下：
例如：．
(1)求的值；(2)化简：(3)若，求的值．
变式3．（2022·山东·七年级课时练习）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
(1)若“立信方程”的解也是关于x的方程的解，则_____；
(2)若关于x的方程的解也是“立信方程”的解，则_______；
(3)若关于x的方程的解也是关于x的方程的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．
高频考点10 一元一次方程中的整体换元
解题技巧：将含x的式子当作一个整体进行求解
例1．（2022·浙江）已知关于x的方程x＋2－x=m的解是x=21，那么关于y的一元一次方程y＋23－（y＋21）=m的解是y=______．
变式1．（2022·福建·厦门市湖滨中学七年级期末）已知5是关于x的方程的解，则关于的方程的解是__________．
变式2．（2022·山西忻州市·七年级期末）阅读材料，完成任务．
七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程时，不是直接给方程去括号，而是假设，然后把方程变形为：
，
，
．
，
解，得．
上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法．
任务：参照材料中的解题方法解方程．
高频考点11 一元一次方程中的实际应用
解题技巧：与用字母表示式子的思路相同，寻找题干中的等量关系，利用未知数表示出来。
例1．（2022·河南南阳·七年级期末）【问题呈现】
某中学的学生以4千米/时的速度步行去某地参加社会公益活动，出发30分钟后，学校派一名通信员骑自行车以12千米/时的速度去追赶队伍，请问通信员用多少分钟可以追上队伍．
【自主思考】(1)根据题意，请画出示意图：
(2)相等关系为（请填空）：____________．
【建模解答】（请你完整解答本题）
变式1．（2022·山东七年级期末）某商场专柜卖出A，B两件衣服，每件售价都是600元，其中每件A衣服赚25%，每件B衣服赔25%．下列说法正确的有（ ）个
①每件A衣服的成本价是480元． ②每件B衣服的成本价是800元． ③专柜售出这两件衣服是赔了80元． ④专柜售出这两件衣服是不赚也不赔
A．4 B．3 C．2 D．1
变式2．（2022·湖北襄阳·七年级期末）2021年是中国共产党成立100周年，在庆祝建党100周年活动中，某学校组织开展了一次“中国共产党党史”竞赛，其中笔答环节共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表是其中三名参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 19 1 93
C 18 2 86
参赛者D得72分，他答错了______道题．
变式3．（2022·广东七年级期中）春节临近，各商家纷纷开展促销活动，甲、乙两个服装店的促销方式如下：
甲：全场按标价的6折销售；
乙：满100元送80元的购物券，再购买时购物券可以冲抵现金，但不再送券．
（如，顾客在乙店购买服装花370元，赠券240元，再次购买时，这240元券可以冲抵现金，但不再送券，且再次购买金额不低于240元）
小明发现，这两家店同时出售：A型上衣，标价均为340元；B型裤子，标价均为250元．
（1）小明要买一件A型上衣和一条B型裤子，选择哪一家店比较省钱？
（2）小明又发现，这两家店还同时出售C型裤子，标价也相同，且在240元以上．若分别在两家店购买一件A型上衣和一条C型裤子，最后付款额恰好一样，请问C型裤子的标价是多少元？
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