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专题03 一元一次不等式 高频考点（11个）（精讲）
高频考点1 不等式基本性质
【解题技巧】不等式的性质，需要和等式的性质一起理解。，基本类似。有2个地方需要着重注意：①若不等式两边同时乘或除负数，则不等号需要变号；②不等号两边同乘0，不等式不再成立；同除0，无意义。
例1.（2022·浙江杭州市·八年级期中）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用不等式的性质求解即可．
【详解】∵，，∴，，
∴，即：，故选：D．
【点睛】本题考查不等式的性质，注意两个不等式相加时要把不等式变为同向是解题关键．
变式1．（2022·浙江绍兴市·八年级模拟）若，，则以下不等式成立的是（　　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用不等式的性质分别判断得出答案．
【详解】解：∵，A、不一定成立，故不符合；
B、当x＜0时，，故不符合；C、成立，故符合；
D、，但，即不一定成立，故不符合；故选C．
【点睛】此题主要考查了不等式的性质，正确把握不等式的基本性质是解题关键．
变式2．（2022·浙江绍兴市·八年级模拟）甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱．赔钱的原因是（ ）
A． B． C． D．与a、b大小无关
【答案】A
【分析】已知甲共花了3a+2b元买了5只羊．但他以每只的价格把羊卖给乙发现赔钱了．由此可列出不等式求解，就知道赔钱的原因．
【详解】解：根据题意得到5×＜3a+2b，解得a＞b故选：A．
【点睛】此题主要考查了不等式的性质，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，联系实际，进而找到所求的量的等量关系．
变式3．（2022·浙江余杭·八年级阶段练习）比较大小，用“”或“”填空：
（1）若，且，则_____．
（2）若，为实数，则____．
【答案】 ＜ ＞
【分析】（1）由不等式的性质可得，即可求解．
（2）将两个代数式进行作差，求出差的正负，从而判断出代数式的大小．
【详解】解：（1），且，，，故答案为：．
（2），
．故答案为：．
【点睛】本题主要是考察了比较代数式的大小以及不等式的基本性质，常见的比较大小的方法有：作差法、作商法、两边同时平方等，熟练运用合适的方法进行比较，是解决此类题的关键．
高频考点2. 利用不等式（组）的概念求参数
【解题技巧】
1）一元一次不等式需同时满足3个条件：①1个未知数（一元），且未知数前面的系数不为0；②未知数的次数为1（一次），且是整数（未知数不能出现在字母中）；③含有不等符号
2）一元一次不等式组的判定需要抓住几点： ①每个不等式都是一元一次不等式； ②由多个不等式组成；③多个不等式中的未知数是同一个未知数
例1．（2022·辽宁北镇·八年级期中）若是关于的一元一次不等式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元一次不等式的定义即可求解．
【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式，∴2m－5＝1，∴m＝3，故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练运用不等式的定义解决问题是本题的关键．
变式1．（2022·湖南·八年级期末）已知（m＋2）x|m|﹣1＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．1 B．±1 C．2 D．±2
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式的定义列出方程和不等式即可确定m的值．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
【详解】解：∵（m＋2）x|m|﹣1＋1＞0是关于x的一元一次不等式，
∴|m|﹣1＝1且m＋2≠0，解得m＝2.故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的定义列出方程和不等式，注意：未知数的系数不能为0．
变式2．（2022·江苏·镇江市八年级阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为_____．
【答案】x＞2
【分析】先根据一元一次不等式的概念得出k的值，代入不等式，解之可得答案．
【详解】解：∵（k-2）x|k|-1+2＜k-4是关于x的一元一次不等式，
∴k-2≠0且|k|-1=1，解得k=-2，则不等式为-4x+2＜-6，解得x＞2．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握一元一次不等式的定义和解一元一次不等式的步骤．
高频考点3. 不等式（组）的解（集）
【解题技巧】注意区分，不等式（组）的解和解集是两个不同的概念。
解：只要x的值满足不等式，这个值就是不等式（组）的解；
解集：必须是所有满足不等式（组）的值的集合。即解集通常是一个取值范围，解可以是单个的值，且不唯一。
求解集方法：按照不等式的性质，解不等式（组）获得；
求解的方法：方法1：将结果代入不等式（组），若不等式（组）成立，则这个值时不等式（组）的解；方法2：求解出不等式（组）的解集，若这个数再解集的范围内，则这个值是不等式（组）的解。
例1．（2022·浙江·八年级课时练习）下列说法中，错误的是（　　）
A．不等式x＜5的整数解有无数多个 B．不等式﹣2x＜8的解集是x＜﹣4
C．不等式x＞﹣5的负整数解是有限个 D．﹣40是不等式2x＜﹣8的一个解
【答案】B
【分析】先求解不等式，然后根据不等式解集的定义进行判断．
【详解】A、小于5的整数有无数个，正确；B、不等式﹣2x＜8的解集是x＞﹣4，错误；
C、不等式x＞﹣5的负整数解集有﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，正确；
D、不等式2x＜﹣8的解集是x＜﹣4，因而﹣40是不等式2x＜﹣8的一个解，正确．故选B．
【点睛】本题考查不等式的解集，求出不等式的解集是解题的关键．
变式1．（2022·江苏·八年级专题练习）已知x＝1是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝4不是这个不等式的解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣2 B．a≤1 C．﹣2＜a≤1 D．﹣2≤a≤1
【答案】A
【分析】根据不等式解的定义列出不等式，求出解集即可确定出a的范围．
【详解】解：∵x＝1是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝4不是这个不等式的解，
∴ 且 ，
即﹣4（﹣2a+2）≤0且﹣（a+2）＞0，解得：a＜﹣2．故选：A．
【点睛】此题考查了不等式的解集，熟练掌握一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集是解题的关键．
变式2．（2022·湖北·八年级专题练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解
C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集
【答案】A
【分析】对A、B、C、D选项进行一一验证，把已知解代入不等式看不等式两边是否成立．
【详解】解：A、当x＝3时，2×3＞1，成立，故A符合题意；
B、当x＝3时，2×3＞1成立，但不是唯一解，例如x＝4也是不等式的解，故B不符合题意；
C、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，故C不符合题意；
D、当x＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，但不是不等式的解集，其解集为：x＞，故D不符合题意；故选：A．
【点睛】此题考查不等式中不等式的解、唯一解、解集概念之间的区别和联系，是一道非常好的基础题．
变式3．（2022·浙江义乌·八年级期末）是不等式的一个解，则的值不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据题意解不等式，根据不等式的解确定解集的范围即可．
【详解】解：∵ 是不等式的一个解，∴故选A
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，不等式的解的定义，掌握不等式的解的定义是解题的关键．
高频考点4 不等式（组）的解集在数轴上的表示
例1．（2022·浙江柯桥·八年级期末）不等式的解在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先算出不等式的解集，由解集可知解集内不包括1对应的点，故在1对应的点处应为空心，线的方向向左，根据选项作出判断即可．
【详解】解：不等式的解集为：，
根据解集知，解集内不包括1对应的点，故在1对应的点处应为空心，线的方向向左，故选：D．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示一元一次不等式的解集，在数轴上表示解集时搞清线的延伸方向是关键．
变式1．（2022·浙江西湖·八年级期末）如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“大小小大中间取”和不等式的解集在数轴上表示方法即可求出不等式的解集．
【详解】解：该数轴表示的不等式的解集为1＜x＜2．故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线，解题关键是掌握不等式的解集在数轴上表示出来的方法．
变式2．（2022·吉林长春市·九年级月考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【详解】，解①得：，解②得：，
在数轴上表示如图所示：
不等式组的解集为．故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
变式3．（2022·浙江嘉兴市·八年级期中）如果一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，那么该不等式组的解集是_________．
【答案】x>1
【分析】根据数轴表分别表示两个不等式组的解集，确定公共部分即可求解．
【详解】解：由图示可看出，从-2出发向右画出的线且1处是空心圆，表示x＞-2；
从1出发向右画出的线且3处是空心圆，表示x>1，所以这个不等式组的解为：x>1，故答案为： x>1．
【点睛】不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），再确定公共部分即为不等式组的解集．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
高频考点5 一元一次不等式（组）的解法
【解题技巧】1）一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，主要步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。这些步骤中，不等式乘除负数时需要变号，这是唯一一点与解一元一次方程不同地方，其余地方完全相同。
还需要注意的点：①移项要变号；②去分母需要所有项都乘最小公倍数；③去括号，若括号前有系数，括号中每一项都要乘系数；若括号前时负号，括号中每一项都要变号。
2）首先分别求多个不等式的解集；然后将各个不等式的解集表示在数轴上；最后读取数轴上重叠部分，作为不等式组的最终解集。
口诀：①同大取大；②同小取小；③大小小大中间夹；④大大小小无解答
在确定不等式组的解集时，建议根据数轴来确定，即在数轴上标出各个不等式的解集，不等式组的解集即各个不等式解集的公共部分。
注：可取得等号时，用实心点表示；不能取等号时，用空心点表示。
例1．（2022·浙江·八年级期末）解不等式（组）：(1)(2)
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先移项，再合并，系数化成1即可得出不等式的解集；（2）先解两个不等式，再求公共部分即可．
【详解】(1)解：，
移项得，，
合并同类项得，；
(2)解：,
解①得，，解②得，
不等式组的解集．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组），解题的关键是掌握解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
变式1．（2022·浙江下城·八年级期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（1）7x﹣2≤9x+2；（2）．
【答案】（1）x≥-2，在数轴上表示见解析；（2）x＜1，在数轴上表示见解析
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】解：（1）7x-2≤9x+2，
移项，得：7x-9x≤2+2，
合并同类项，得：-2x≤4，
系数化为1，得：x≥-2．
将不等式的解集表示在数轴上如下：
；
（2），
去分母，得：8-（7x-1）＞2（3x-2），
去括号，得：8-7x+1＞6x-4，
移项，得：-7x-6x＞-4-8-1，
合并同类项，得：-13x＞-13，
系数化为1，得：x＜1．
将不等式的解集表示在数轴上如下：
．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
变式2．（2022·湖南汉寿·八年级期末）解不等式组，并在数轴上表示它的解集．
【答案】，作图见解析
【分析】分别计算两个不等式，公共部分即为不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：
解①得：
解②得：
∴不等式组的解集为： 在数轴上表示如图：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．解题的关键在于正确的计算．数轴上空心实心的表示是易错点．
变式3．（2022·重庆南开中学八年级开学考试）解不等式（组）：
(1)；(2)
【答案】(1)x＜1 (2)-2＜x＜
【分析】（1）先去括号，注意符号的变化，后按照解不等式的步骤求解即可．
（2）先准确求得每个不等式的解集，后确定不等式组的解集．
【详解】(1)，∴4x-8+7＜3，∴4x＜4，∴x＜1．
(2)解不等式①，得x＞-2；解不等式②，得x＜；
故不等式组的解集是-2＜x＜．
【点睛】本题考查一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，正确求得每个不等式的解集是解题的关键．
高频考点6 一元一次不等式（组）与框图程序
例1．（2022·浙江·八年级）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组：，解之即可得出x的取值范围．
【详解】解：依题意，得：，
由①得： ，
由②得：＞，＞ ＞，
所以不等式组的解集为：．故选：．
【点睛】本题考查了程序框图中的一元一次不等式组的应用，找准不等关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
变式1．（2022·湖北黄陂·八年级期末）如图是一个数据转换器，按该程序进行运算，若输入，则该程序需要运行________次才停止；若该程序只运行了次就停止了，则的取值范围是________．
【答案】 3
【分析】①分别求出程序运行1次、2次、3次得出的结果，将其与16比较后即可得出结论；②根据该程序只运行了2次就停止了，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【详解】解：①输入3，得：，输入4，得：，
输入7，得：，∴若x=3，该程序需要运行3次才停止，
②依题意得：，解得：．
x的取值范围为，故答案为：3；．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，列出不等式组是解题的关键．
变式2．（2022·福建泉州八年级期中）如图是一个运算程序：
例如：根据所给的运算程序可知，当时，，再把代入，得，则输出的结果为．（1）当时，输出的结果为_________；当时，输出结果为_________；
（2）若需要经过两次运算才能输出结果，的取值范围．
【答案】（1）；；（2）．
【分析】（1）根据运算流程分别代入x=10、x=2，求出输出的值即可得出结论；（2）由题意可知第一次运算的结果满足5x+2＜37，第二次运算的结果满足5(5x+2)+2≥37，组成方程组求解即可．
【详解】（1）当x=10时，5×10+2=52＞37，所以输出52；
当x=2时，5×2+2=12＜37，把x=12代入，
得5×12+2=62＞37，所以输出62．故答案为：52；62；
（2）由题意得，解得．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据运算流程代入数据求值；（2）根据运算流程得出关于x的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握一元一次不等式组的解法是关键．
高频考点7 一元一次不等式（组）的整数解问题
【解题技巧】先求出不等式的解集，再根据解集确定整数解
例1．（2022·浙江余杭·八年级期末）不等式的最小负整数解______．
【答案】-3
【分析】移项，合并同类项，系数化成1，再求出不等式的最小负整数解即可．
【详解】解：，移项，得，
合并同类项，得3x＞-11，系数化成1，得x＞，
所以不等式的最小负整数解是-3，故答案为：-3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．
变式1．（2022·陕西富县·八年级期末）对于任意实数a、b，定义一种运算：．例如，．已知不等式，则这个不等式的非负整数解共有________个．
【答案】3
【分析】根据题目中新定义运算法则列出不等式，再解不等式求出x的取值范围即可求解.
【详解】解：根据新定义运算法则可得，
因为，所以，，解得，
所以不等式的非负整数解是2，1，0共3个.故答案为：3.
【点睛】本题主要考查新定义运算和解一元一次不等式，解决本题的关键是要根据新定义运算法则列出不等式并正确解不等式.
变式2．（2022·浙江嘉兴市·八年级期中）不等式组的整数解为____________．
【答案】3、4．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出所有的整数解．
【详解】解不等式①，得：，解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，所以不等式组的整数解为3、4，故答案为：3、4．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断还可以观察不等式的解，若较小的数、x较大的数，那么解集为x介于两数之间．
变式3．（2022·成都市·八年级期中）不等式组的最大整数解为（ ）．
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【分析】首先分别求出每一个不等式的解集，得出不等式组的解集，进一步得出最大整数解即可．
【详解】，解不等式①得： ，解不等式②得：x＜,
所以不等式组的解集为； x＜,最大整数解为﹣2．故选A．
【点睛】本题考查求不等式组的整数解，求出不等式组的解集是解决问题的关键．
高频考点8 含绝对值的不等式的解法
解题技巧：去绝对值：若a>0，则-a≤x≤a， x≤-a或a≤x；
方法一：采用“零点分段法”，去绝对值；方法二：“数形结合”， 表示x与a点的距离.
例1．（2022·浙江·八年级课时练习）解下列不等式：（1）（2）
【答案】（1）或；（2）
【分析】根据绝对值的意义，分类讨论，再解一元一次不等式不等式即可．
【详解】（1）
当时，则，解得，，
当时，则，解得，，
综上，或；
（2）
当，即时，，解得，，
当时，则，解得，，
综上，．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据绝对值的意义，分类讨论是解题的关键．
变式1．（2022·浙江·八年级专题练习）阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：
解：（1）当，即时： 解这个不等式，得：
由条件，有：
（2）当，即时， 解这个不等式，得：
由条件，有：
∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为
根据以上思想，请探究完成下列2个小题：（1）； （2）．
【答案】（1）-3≤x≤1；（2）x≥3或x≤1．
【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1＜0，即x＜-1，两种情况分别求解可得；
（2）分①x-2≥0，即x≥2，②x-2＜0，即x＜2，两种情况分别求解可得．
【详解】解：（1）|x+1|≤2，
①当x+1≥0，即x≥-1时：x+1≤2，解这个不等式，得：x≤1
由条件x≥-1，有：-1≤x≤1；
②当x+1＜0，即 x＜-1时：-（x+1）≤2解这个不等式，得：x≥-3
由条件x＜-1，有：-3≤x＜-1
∴综合①、②，原不等式的解为：-3≤x≤1．
（2）|x-2|≥1
①当x-2≥0，即x≥2时：x-2≥1解这个不等式，得：x≥3
由条件x≥2，有：x≥3；
②当x-2＜0，即 x＜2时：-（x-2）≥1，解这个不等式，得：x≤1，
由条件x＜2，有：x≤1，
∴综合①、②，原不等式的解为：x≥3或x≤1．
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键．
变式2．（2022·河南·八年级期中）（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则：
①“”可理解为 ；②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ．
我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或，
绝对值不等式的解集是．则：
①不等式的解集是 ．②不等式的解集是 ．
（3）【拓展应用】解不等式，并画图说明．
【答案】（1）①数在数轴上对应的点到原点的距离小于；②-3；3；（2）①或；②；（3）或，见解析
【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）；
（2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答；
（3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集，就是数轴上表示数的点到表示与的点的距离之大于的所有的值，由此即可确定不等式的解集．
【详解】①由题意可得，“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于．
故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于．
②使不等式“”成立的整数为，（答案不唯一，合理即可）．故答案为：，．
①不等式的解集是或．故答案为：或．
②不等式的解集是．故答案为：．
根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集就是数轴上表示数的点，到表示与的点的距离之和大于的所有的值，如下图所示，
可知不等式的解集是或．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
高频考点9 高次不等式的解法
例1．（2022·辽宁八年级期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解不等式（x+3）（x﹣3）＞0
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”
有①或②
解不等式组①得x＞3，解不等式组②得x＜﹣3
故原不等式的解集为：x＞3或x＜﹣3
问题：求不等式的解集．
【答案】
【分析】根据有理数的除法法则得出两个不等式组,求出每个不等式组的解集,集求出答案
【解析】解：由有理数的除法法则“两数相除，异号得负“，
有① 或② ，解不等式组①，得 ，
解不等式组②，得不等式组②无解，故原不等式组的解集为：，
【点睛】此题考查解一元一次不等式组，解题关键在于利用有理数的除法法则
变式1．（2022·宁夏·石嘴山八年级阶段练习）阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①得，
解不等式组②得．
所以原不等式的解集为或．
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式．
【答案】
【分析】根据题意，由材料中的解不等式的方法进行解不等式，即可求出答案.
【详解】解：根据题意，∵，则；
∵，分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①，得：，
解不等式组②，得：无解，
∴原不等式的解集为：.
【点睛】本题考查了解不等式组，以及解分式不等式，解题的关键是熟练掌握材料，利用材料的方法进行解题.
变式2．（2022·福建梅列·八年级期中）阅读理解题：
（1）原理：对于任意两个实数、，
若，则和同号，即：或
若，则和异号，即：或
（2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）．
（3）应用：解不等式：①；②
【答案】（3）①或；②
【分析】（3）①根据题中所给方法进行分类求解不等式即可；
②先提取公因式，然后再根据题中所给方法进行求解即可．
【详解】解：（3）①，∴当时，解得：；
当时，解得：；∴原不等式的解集为或；
②
∴当时，解得：；
当时，不等式组无解；
∴原不等式的解集为．
【点睛】本题主要考查不等式组的求解，解题的关键是根据题中所给方法进行求解．
高频考点10 不等式的含参问题
【解题技巧】
1）将字母视为常数，按照不等式组的方法解不等式，得到的结果中必然含有字母；题型中，会告知方程组解的一些关系，根据这些关系，再来探究字母的取值。
2）整体求解，往往会使得求解过程比较简洁，但不具有一般性。读者在学有余力的情况下，平时可多积累此类题型的经验。
例1．（2022·浙江金华市·八年级期中）若不等式组有解，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解出不等式组的解集，与已知解集比较，可求出n的取值范围．
【详解】∵不等式组有解，∴n＜x＜8，∴n＜8，n的取值范围为：n＜8．故选：C．
【点睛】考查了不等式的解集，本题是已知不等式组的解集，求不等式中参数范围的问题．可以先将参数当作常数处理，求出解集与已知解集比较，进而即可求解．
变式1．（2022·安岳八年级期中）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　　）
A．a＜3 B．a≥3 C．a＞3 D．a≤3
【答案】B
【分析】首先解不等式，然后根据不等式组无解确定a的范围．
【详解】解：解不等式①，得；解不等式②，得；
∵不等式组无解，∴；故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
变式2．（2022·浙江杭州市·九年级模拟）已知方程组的解为正数，求a的取值范围是_______．
【答案】－＜＜4
【分析】先解方程组用含a的式子表示方程组的解，根据方程组的解是正数，列出关于a的不等式组，再求解．
【详解】解：，①＋②得：，，
①－②得：，，所以，原方程组的解为：，
∵ 方程组的解为正，∴＞0且＞0，解得：－＜＜4，故填：－＜＜4．
【点睛】本题考查了方程组的解法，以及一元一次不等式组的解法，解此类问题要先用字母a表示方程组的解，再根据题意，列不等式组，最后求解．
变式3．（2022·浙江绍兴市·八年级模拟）关于x的不等式组的解是，那么a的取值范围是_____．
【答案】a≥3
【分析】先解第一个不等式得到x＜3，由于不等式组的解集为x＜3，则利用同大取大可得到a的范围．
【详解】解：，解①得x＜3，而不等式组的解集为x＜3，
所以a≥3．故答案为：a≥3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
高频考点11 用不等式（组）解决实际问题
例1．（2022·浙江绍兴市·八年级模拟）某家庭投资3.5万元资金建造屋顶光伏发电结，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电600度．
信息链接：根据国家相关规定，凡是屋顶光伏发电站生产的电，家庭用电后剩余部分可以0.45元/度卖给电力公可，同时可获得政府补贴0.52元/度．（1）求这个月晴天的天数；（2）已知该家庭每月平均用电150度，若按每月发电600度计算，问至少需要几年才能收回成本？（不计其他费用，结果取整数）
【答案】（1）18天；（2）7年
【分析】（1）设这个月晴天的天数为x，根据“某月（按30天计）共发电600度”列出关于x的方程，解之可得；（2）设需要y年才能收回成本，根据家庭共投资3.5万元列出关于y的不等式，解之可得．
【详解】解：（1）设这个月晴天的天数为x，由题意得：30x+5（30-x）=600，
解得x=18，∴这个月晴天的天数为18．
（2）设需要y年才能收回成本，由题意得
（600-150）×（0.52+0.45）×12y≥35000，5238y≥35 000，y≥6.7，
∵y取整数，∴至少需要7年才能收回成本．
【点睛】本题考查一元一次不等式、一元一次方程等知识，熟练应用方程或不等式解决实际问题是解题的关键，属于中考常考题型．
变式1．（2022·山东济宁市·八年级期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在不超过18分钟的时间内到达，已知他每分钟走90米．若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑(　　)
A．3分钟 B．4分钟 C．4.5分钟 D．5分钟
【答案】B
【分析】设这人跑了x分钟，则走了（18-x）分钟，根据速度×时间=路程结合要在18分钟内到达，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：设这人跑了x分钟，则走了（18-x）分钟，
根据题意得：210x+90（18-x）≥2100，解得：x≥4，
答：这人完成这段路程，至少要跑4分钟．故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
变式2．（2022·广东佛山市·八年级期末）某电信公司推出两种手机收费方案．方案A：月租费30元，本地通话话费0.15元/分；方案B：不收月租费，本地通话话费为0.3元/分．设婷婷的爸爸一个月通话时间为x分钟，婷婷的爸爸一个月通话时间为多少时，选择方案A比方案B优惠？（ ）
A．100分钟 B．150分钟 C．200分钟 D．250分钟
【答案】D
【分析】由题意易得，然后进行求解排除选项即可．
【详解】解：设婷婷的爸爸一个月通话时间为x分钟，由题意得：，
解得：，∴只有D选项符合题意；故选D．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，熟练掌握一元一次不等式的应用是解题的关键．
变式3．（2022·湖南邵阳市·）一群女生住间宿舍，每间住4人，剩下18人无房住，每间住6人，有一间宿舍住不满，但有学生住．（1）用含的代数式表示女生人数．（2）根据题意，列出关于的不等式组，并求不等式组的解集．（3）根据（2）的结论，问一共可能有多少间宿舍，多少名女生？
【答案】（1）人；（2）；（3）可能10间宿舍，女生58人，或者11间宿舍女生62人
【分析】（1）根据题意直接列代数式，用含的代数式表示女生人数即可；
（2）根据题意列出关于的不等式组，并根据解一元一次不等式组的方法求解即可；
（3）根据（2）的结论可以得出或，并代入女生人数即可求出答案.
【详解】解：（1）由题意可得女生人数为：（）人.
（2）依题意可得，解得：.
（3）由（2）知，∵为正整数，∴或，
时，女生人数为（人），时，女生人数为（人），
∴可能有10间宿舍，女生58人，或者11间宿舍，女生62人.
【点睛】本题考查列代数式以及解一元一次不等式组，根据题意列出代数式以及一元一次不等式组是解题的关键.
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专题03 一元一次不等式 高频考点（11个）（精讲）
高频考点1 不等式基本性质
【解题技巧】不等式的性质，需要和等式的性质一起理解。，基本类似。有2个地方需要着重注意：①若不等式两边同时乘或除负数，则不等号需要变号；②不等号两边同乘0，不等式不再成立；同除0，无意义。
例1.（2022·浙江杭州市·八年级期中）若，，则（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·浙江绍兴市·八年级模拟）若，，则以下不等式成立的是（　　　）
A． B． C． D．
变式2．（2022·浙江绍兴市·八年级模拟）甲在集市上先买了3只羊，平均每只a元，稍后又买了2只，平均每只羊b元，后来他以每只元的价格把羊全卖给了乙，结果发现赔了钱．赔钱的原因是（ ）
A． B． C． D．与a、b大小无关
变式3．（2022·浙江余杭·八年级阶段练习）比较大小，用“”或“”填空：
（1）若，且，则_____．
（2）若，为实数，则____．
高频考点2. 利用不等式（组）的概念求参数
【解题技巧】
1）一元一次不等式需同时满足3个条件：①1个未知数（一元），且未知数前面的系数不为0；②未知数的次数为1（一次），且是整数（未知数不能出现在字母中）；③含有不等符号
2）一元一次不等式组的判定需要抓住几点： ①每个不等式都是一元一次不等式； ②由多个不等式组成；③多个不等式中的未知数是同一个未知数
例1．（2022·辽宁北镇·八年级期中）若是关于的一元一次不等式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·湖南·八年级期末）已知（m＋2）x|m|﹣1＋1＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．1 B．±1 C．2 D．±2
变式2．（2022·江苏·镇江市八年级阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为_____．
高频考点3. 不等式（组）的解（集）
【解题技巧】注意区分，不等式（组）的解和解集是两个不同的概念。
解：只要x的值满足不等式，这个值就是不等式（组）的解；
解集：必须是所有满足不等式（组）的值的集合。即解集通常是一个取值范围，解可以是单个的值，且不唯一。
求解集方法：按照不等式的性质，解不等式（组）获得；
求解的方法：方法1：将结果代入不等式（组），若不等式（组）成立，则这个值时不等式（组）的解；方法2：求解出不等式（组）的解集，若这个数再解集的范围内，则这个值是不等式（组）的解。
例1．（2022·浙江·八年级课时练习）下列说法中，错误的是（　　）
A．不等式x＜5的整数解有无数多个 B．不等式﹣2x＜8的解集是x＜﹣4
C．不等式x＞﹣5的负整数解是有限个 D．﹣40是不等式2x＜﹣8的一个解
变式1．（2022·江苏·八年级专题练习）已知x＝1是不等式（x﹣5）（ax﹣3a+2）≤0的解，且x＝4不是这个不等式的解，则a的取值范围是（ ）
A．a＜﹣2 B．a≤1 C．﹣2＜a≤1 D．﹣2≤a≤1
变式2．（2022·湖北·八年级专题练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解
C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集
变式3．（2022·浙江义乌·八年级期末）是不等式的一个解，则的值不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
高频考点4 不等式（组）的解集在数轴上的表示
例1．（2022·浙江柯桥·八年级期末）不等式的解在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2022·浙江西湖·八年级期末）如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·吉林长春市·九年级月考）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022·浙江嘉兴市·八年级期中）如果一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，那么该不等式组的解集是_________．
高频考点5 一元一次不等式（组）的解法
【解题技巧】1）一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，主要步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。这些步骤中，不等式乘除负数时需要变号，这是唯一一点与解一元一次方程不同地方，其余地方完全相同。
还需要注意的点：①移项要变号；②去分母需要所有项都乘最小公倍数；③去括号，若括号前有系数，括号中每一项都要乘系数；若括号前时负号，括号中每一项都要变号。
2）首先分别求多个不等式的解集；然后将各个不等式的解集表示在数轴上；最后读取数轴上重叠部分，作为不等式组的最终解集。
口诀：①同大取大；②同小取小；③大小小大中间夹；④大大小小无解答
在确定不等式组的解集时，建议根据数轴来确定，即在数轴上标出各个不等式的解集，不等式组的解集即各个不等式解集的公共部分。
注：可取得等号时，用实心点表示；不能取等号时，用空心点表示。
例1．（2022·浙江·八年级期末）解不等式（组）：(1)(2)
变式1．（2022·浙江下城·八年级期中）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
（1）7x﹣2≤9x+2；（2）．
变式2．（2022·湖南汉寿·八年级期末）解不等式组，并在数轴上表示它的解集．
变式3．（2022·重庆南开中学八年级开学考试）解不等式（组）：
(1)；(2)
高频考点6 一元一次不等式（组）与框图程序
例1．（2022·浙江·八年级）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·湖北黄陂·八年级期末）如图是一个数据转换器，按该程序进行运算，若输入，则该程序需要运行________次才停止；若该程序只运行了次就停止了，则的取值范围是________．
变式2．（2022·福建泉州八年级期中）如图是一个运算程序：
例如：根据所给的运算程序可知，当时，，再把代入，得，则输出的结果为．（1）当时，输出的结果为_________；当时，输出结果为_________；
（2）若需要经过两次运算才能输出结果，的取值范围．
高频考点7 一元一次不等式（组）的整数解问题
【解题技巧】先求出不等式的解集，再根据解集确定整数解
例1．（2022·浙江余杭·八年级期末）不等式的最小负整数解______．
变式1．（2022·陕西富县·八年级期末）对于任意实数a、b，定义一种运算：．例如，．已知不等式，则这个不等式的非负整数解共有________个．
变式2．（2022·浙江嘉兴市·八年级期中）不等式组的整数解为____________．
变式3．（2022·成都市·八年级期中）不等式组的最大整数解为（ ）．
A． B． C．1 D．0
高频考点8 含绝对值的不等式的解法
解题技巧：去绝对值：若a>0，则-a≤x≤a， x≤-a或a≤x；
方法一：采用“零点分段法”，去绝对值；方法二：“数形结合”， 表示x与a点的距离.
例1．（2022·浙江·八年级课时练习）解下列不等式：（1）（2）
变式1．（2022·浙江·八年级专题练习）阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法：
解：（1）当，即时： 解这个不等式，得：
由条件，有：
（2）当，即时， 解这个不等式，得：
由条件，有：
∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为
根据以上思想，请探究完成下列2个小题：（1）； （2）．
变式2．（2022·河南·八年级期中）（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则：
①“”可理解为 ；②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ．
我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或，
绝对值不等式的解集是．则：
①不等式的解集是 ．②不等式的解集是 ．
（3）【拓展应用】解不等式，并画图说明．
高频考点9 高次不等式的解法
例1．（2022·辽宁八年级期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解不等式（x+3）（x﹣3）＞0
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”
有①或②
解不等式组①得x＞3，解不等式组②得x＜﹣3
故原不等式的解集为：x＞3或x＜﹣3
问题：求不等式的解集．
变式1．（2022·宁夏·石嘴山八年级阶段练习）阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式．
小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组：
①或②
解不等式组①得，
解不等式组②得．
所以原不等式的解集为或．
请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式．
变式2．（2022·福建梅列·八年级期中）阅读理解题：
（1）原理：对于任意两个实数、，
若，则和同号，即：或
若，则和异号，即：或
（2）分析：对不等式来说，把和看成两个数和，所以按照上述原理可知：（Ⅰ）或（Ⅱ），所以不等式的求解就转化求解不等式组（Ⅰ）和（Ⅱ）．
（3）应用：解不等式：①；②
高频考点10 不等式的含参问题
【解题技巧】
1）将字母视为常数，按照不等式组的方法解不等式，得到的结果中必然含有字母；题型中，会告知方程组解的一些关系，根据这些关系，再来探究字母的取值。
2）整体求解，往往会使得求解过程比较简洁，但不具有一般性。读者在学有余力的情况下，平时可多积累此类题型的经验。
例1．（2022·浙江金华市·八年级期中）若不等式组有解，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2022·安岳八年级期中）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　　）
A．a＜3 B．a≥3 C．a＞3 D．a≤3
变式2．（2022·浙江杭州市·九年级模拟）已知方程组的解为正数，求a的取值范围是_______．
变式3．（2022·浙江绍兴市·八年级模拟）关于x的不等式组的解是，那么a的取值范围是_____．
高频考点11 用不等式（组）解决实际问题
例1．（2022·浙江绍兴市·八年级模拟）某家庭投资3.5万元资金建造屋顶光伏发电结，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度，已知某月（按30天计）共发电600度．
信息链接：根据国家相关规定，凡是屋顶光伏发电站生产的电，家庭用电后剩余部分可以0.45元/度卖给电力公可，同时可获得政府补贴0.52元/度．（1）求这个月晴天的天数；（2）已知该家庭每月平均用电150度，若按每月发电600度计算，问至少需要几年才能收回成本？（不计其他费用，结果取整数）
变式1．（2022·山东济宁市·八年级期末）某人要完成2.1千米的路程，并要在不超过18分钟的时间内到达，已知他每分钟走90米．若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路程，至少要跑(　　)
A．3分钟 B．4分钟 C．4.5分钟 D．5分钟
变式2．（2022·广东佛山市·八年级期末）某电信公司推出两种手机收费方案．方案A：月租费30元，本地通话话费0.15元/分；方案B：不收月租费，本地通话话费为0.3元/分．设婷婷的爸爸一个月通话时间为x分钟，婷婷的爸爸一个月通话时间为多少时，选择方案A比方案B优惠？（ ）
A．100分钟 B．150分钟 C．200分钟 D．250分钟
变式3．（2022·湖南邵阳市·）一群女生住间宿舍，每间住4人，剩下18人无房住，每间住6人，有一间宿舍住不满，但有学生住．（1）用含的代数式表示女生人数．（2）根据题意，列出关于的不等式组，并求不等式组的解集．（3）根据（2）的结论，问一共可能有多少间宿舍，多少名女生？
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