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第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
学案
一、学习目标
1. 掌握确定圆的几何要素；
2. 在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；
3. 能够应用圆的方程解决简单的数学问题.
二、基础梳理
1. 圆心为，半径为r的圆的标准方程为______________.
圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为______________.
2. 点在圆内，则；在圆外，则.
三、巩固练习
1.下列说法正确的是( )
A.圆的圆心为，半径为5
B.圆的圆心为，半径为
C.圆的圆心为，半径为
D.圆的圆心为，半径为
2.圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
3.点与圆的位置关系是( )
A.在圆上 B.在圆内 C.在圆外 D.不能确定
4.若直线经过第一、二、四象限，则圆的圆心位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.过三点的圆的方程为____________________.
6.过点且周长最小的圆的方程为________________.
7.已知圆的方程为，则点到圆上的点的距离的最大值为_____________.
8.若直线与两坐标轴分别交于两点，为坐标原点，则的内切圆的标准方程为___________________.
9.已知圆过点.
（1）若圆还过点，求圆的标准方程；
（2）若圆心的纵坐标为2，求圆的标准方程.
10.如图所示，为一弓形，且的坐标分别为，求弓形所在圆的标准方程.
11.已知圆的标准方程为.
（1）若点在圆上，求半径；
（2）若点与有一点在圆内，另点在圆外，求实数的取值范围.
参考答案
基础梳理
1. ；
2. <；>
巩固练习
1.答案：C
解析：圆的圆心为，半径为，A错误；圆的圆心为，半径为，B错误，C正确；圆的圆心为，半径为，D错误，故选C.
2.答案：B
解析：圆心在轴上，选项C圆心为不符合题意，排除选项C；又圆过点可排除选项A，D，因此只有B符合题意.故选B.
3.答案：C
解析：点在圆外.故选C.
4.答案：D
解析：由题意，知为圆的圆心.由直线经过第一、二、四象限，得，即，故圆心位于第四象限.故选D.
5.答案：
解析：方法一：设圆的方程为，所以，解得，所以圆的方程为.
方法二：线段的中点为，直线的斜率，所以线段的垂直平分线的方程为.线段的中点为，直线的斜率，所以线段的垂直平分线的斜率，所以线段的垂直平分线的方程为.两直线联立，得，所以圆心，圆的半径，所以圆的方程为.
6.答案：
解析：当线段为圆的直径时，过点的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段的中点，半径.则所求圆的方程为.
7.答案：
解析：由题意，知点在圆内，的延长线与圆的交点到点的距离最大，最大距离为.
8.答案：
解析：由题，可得，.设内切圆的半径为，则有，解得，因而圆心坐标为.故圆的方程为.
9.答案：（1）设圆的标准方程是，
则，解得，
故圆的标准方程为.
（2）由圆的对称性，可知圆心的横坐标为，故圆心，
故圆的半径，
故圆的标准方程为.
10.答案：由题意得圆心在弦的垂直平分线上，
圆心在轴上，设圆心为，连接，
，，解得，
圆心为，半径，
圆的标准方程为.
11.答案：（1）因为点在圆上，
所以，即，
又，所以.
（2）因为，
所以，故点在圆外，点在圆内，
所以，
故实数的取值范围是.
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