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第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
学案
一、学习目标
1. 在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程；
2. 能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题；
3. 初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法.
二、基础梳理
1. 圆的一般方程：___________________. 其中.
2. 求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；
（2）根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
（3）解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程.
三、巩固练习
1.圆的圆心和半径分别为( )
A. B. C. D.
2.已知方程表示圆心为，半径为2的圆，则的值依次为( )
A.2，4，4 B. C. D.
3.已知圆，则原点在( )
A.圆内 B.圆外 C.圆上 D.圆上或圆外
4.方程表示圆，则的取值范围是( )
A.或 B. C. D.
5.点在圆上，且点关于直线对称，则该圆的半径为( )
A. B. C.1 D.
6.若直线过圆的圆心，则a的值为( )
A.5 B.3 C.1 D.
7.当a为任意实数时，直线恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
8.方程表示的图形是圆，则该圆圆心位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
9.若圆过坐标原点，则实数的值为( )
A.2或1 B.或 C.2 D.
10.等腰三角形，若一腰的两个端点分别是为顶点，则另一腰的一个端点的轨迹方程是( )
A.
B.
C.
D.
11.已知，方程表示圆，则圆心坐标是________，半径是________.
12.在平面直角坐标系中，经过三点的圆的方程为__________.
13.若圆与轴有公共点，则实数的取值范围是________.
14.已知圆关于直线对称，则的取值范围是________.
15.当实数的值为多少时，关于的方程表示的图形是一个圆？
16.圆心在直线上的圆与轴交于两点，求圆的方程.
参考答案
基础梳理
1. ；
巩固练习
1.答案：B
解析：将变形，得，
所以圆心为，半径为2.故选B.
2.答案：B
解析：由，得圆心坐标是，半径.
因为圆心为，半径为2，所以.故选B.
3.答案：B
解析：将圆的方程化成标准方程，
因为，所以，即原点在圆外.故选B.
4.答案：D
解析：方程表示圆，
∴，
∴，
∴，
∴.故选D.
5.答案：B
解析：因为点在圆上，且点关于直线对称，所以直线经过圆心.
又圆心坐标为，所以，解得，
所以圆的方程为，化成标准方程为，
所以圆的半径为.故选B.
6.答案：A
解析：圆的标准方程为，圆心坐标为，
若直线经过圆心，则，解得，故选A.
7.答案：C
解析：由得，
所以直线恒过定点，所以圆的方程为，
即，故选C.
8.答案：D
解析：因为方程表示的图形是半径为的圆，
所以，即，所以.
又该圆圆心坐标为，所以圆心位于第四象限.故选D.
9.答案：C
解析：表示圆，，.
又圆过原点，，或(舍去)，.故选C.
10.答案：B
解析：设点，由， ，
即得.
又点与点不重合且不共线，所以.故选B.
11.答案：
解析：由题意，或，
时方程为，即，圆心为，半径为5，
时方程为，不表示圆.
12.答案：
解析：设圆的方程为，
圆经过三点，则，解得，
则圆的方程为.
13.答案：
解析：圆的标准方程为，
依题意有，解得.
14.答案：
解析：由题意，知直线过圆心，而圆心坐标为，代入直线方程，得.将圆的方程化为标准方程为，所以，所以.
15.答案：要使方程表示的图形是一个圆，需满足，得，
所以或.
①当时，方程为不合题意，舍去；
②当时，方程为，即，表示以原点为圆心，以为半径的圆.
综上，满足题意.
16.答案：设圆的方程为.
圆心在直线上，
，
即.①
又点在圆上，
，②
由①②，解得，
圆的方程为.
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