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第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
学案
一、学习目标
1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；
2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.
二、基础梳理
1. 直线与圆的位置关系：
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有公共点.
2. 判断直线与圆的位置关系的方法：
（1）在平面直角坐标系中，要判断直线与圆的位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系. 若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.
（2）根据圆的方程求得圆心坐标与半径r，从而求得圆心到直线的距离d，通过比较d与r的大小，判断直线与圆的位置关系.若相交，则可利用勾股定理求得弦长.
3. 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
三、巩固练习
1.下列方程是圆的切线方程的是( )
A. B. C. D.
2.圆截直线所得的弦长等于( )
A. B. C.1 D.5
3.已知圆与直线切于点，则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
4.若圆上有且只有一点到直线的距离为1，则实数的值为( )
A.4 B.16 C.4或16 D.2或4
5.若直线与圆相切，则的值为( )
A.16 B.4 C. D.16或
6.已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.与圆相切，且在轴上的截距相等的直线共有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
8.若直线与圆没有公共点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.已知直线和圆相交于两点.，则的值为_________.
11.点在圆上，则点到直线的最短距离为___________.
12.在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至多存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆相切，则实数的取值范围为___________.
13.已知圆和点.
（1）若过点有且只有一条直线与圆相切，求实数的值，并求出切线方程；
（2）若，过点的两条弦互相垂直，求的最大值.
参考答案
巩固练习
1.答案：C
解析：由题知，圆的圆心为，半径为1，圆心到选项C中直线的距离为1，到其他选项中直线的距离都不为1，即只有选项C中直线与圆相切.故选C.
2.答案：A
解析：圆的方程可化为，则圆的半径，圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长为.故选A.
3.答案：A
解析：圆可化为，所以点与圆心连线所在的直线斜率为，则所求直线的斜率为，由点斜式方程，可得，整理得.故选A.
4.答案：A
解析：由题意知直线与圆相离，则有，解得，故选A.
5.答案：D
解析：圆的方程可化为，则圆心坐标为，.因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，则有，解得或.故选D.
6.答案：C
解析：易知圆心坐标是，半径是1，直线的斜率存在.设直线的方程为，即，由点到直线的距离公式，得，即，解得.故选C.
7.答案：C
解析：圆的方程可化为.可分为两种情况讨论：（1）直线在轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为，则，解得；（2）直线在轴上的截距均不为0，则可设直线方程为，即，则，解得(舍去).因此满足条件的直线共有3条.故选C.
8.答案：D
解析：将圆的方程化为标准方程，得，则圆心坐标为，半径为1.因为直线与圆无公共点，所以圆心到直线的距离大于圆的半径，即，解得或，即实数的取值范围是.故选D.
10.答案：5
解析：依题意得，圆心到直线的距离，
因此，又，所以.
11.答案：2
解析：圆心的坐标为，点到直线的距离为，所以所求最小值为.
12.答案：
解析：由于圆的标准方程为，则圆的圆心坐标为，半径为1.若直线上至多存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆相切，则只需满足圆的圆心到直线的距离，即，解得.故实数的取值范围为.
13.答案：（1）由题意知点在圆上，
所以，解得.
当时，点为，所以，
切线此时切线方程为，即；
当时，点为，所以.
此时切线方程为，即.
综上，所求切线方程为或.
（2）设圆心到直线的距离分别为，
则.
因为，
所以，
所以
.
因为，即，所以，
当且仅当时取等号，所以，
所以.
所以，即的最大值为.
2

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