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第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.2 圆与圆的位置关系
学案
一、学习目标
1. 能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系；
2. 能用圆的方程解决一些简单的数学问题.
二、基础梳理
1. 圆与圆的位置关系：
（1）两圆________，有________公共点；
（2）两圆________，包括________与________，________公共点；
（3）两圆________，包括________与________，________公共点.
2. 两圆方程联立消元后得到的方程的时，两圆________；当时，两圆________，若较小圆的圆心在另一个圆内，则两圆________；否则，两圆________； 当时，两圆________，若较小圆的圆心在另一个圆内，则两圆________；否则，两圆________.
三、巩固练习
1.已知圆，圆，则两圆的位置关系是( )
A.相交 B.内切 C.外切 D.外离
2.圆和圆交于两点，则直线的方程是( )
A. B. C. D.
3.已知点在圆上，点在圆上，则的最大值是( )
A.5 B.7 C.9 D.11
4.已知，圆与圆有两个不同的交点，则实数r的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知圆与圆外切，为正实数，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是( )
A． 内切 B． 相离 C． 外切 D． 相交
7.如果圆上总存在两个点到原点的距离均为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知两圆相交于点，两圆的圆心均在直线上，则的值为__________.
9.已知两圆和相交于两点，若点的坐标为，则点的坐标为___________.
10.设直线与圆交于两点，若圆的圆心在线段上，且圆与圆相切，切点在圆的劣弧上，则圆的半径的最大值是_________.
11.如图，已知点为圆与圆在第一象限内的交点.过的直线被圆和圆所截得的弦分别为(不重合)，若，则直线的方程是___________________.
12.在平面直角坐标系中，已知圆，圆.若圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，则圆的方程是__________________.
13.求过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程.
14.已知圆与圆的公切线是直线和，且两圆的圆心距是3，求圆的方程.
15.已知圆和圆.
（1）当时，判断圆和圆的位置关系.
（2）是否存在实数，使得圆和圆内含？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
基础梳理
1. 相交；两个；
相切；外切；内切；只有一个；
相离；外离；内含；没有.
2. 相交；相切；内切；外切；相离；内含；外离.
巩固练习
1.答案：D
解析：将两圆方程分别化为标准方程，得到圆，圆，则圆心，半径，两圆的圆心距，即圆心距大于半径之和，两圆外离，故选D.
2.答案：C
解析：两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为.故选C.
3.答案：C
解析：由题意知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径.因为两圆的圆心距，所以两圆外离，从而的最大值为.故选C.
4.答案：C
解析：由题意得，，即，解得，故选C.
5.答案：B
解析：因为圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
所以，所以，
所以，所以，即当时，取得最大值，最大值为.故选B.
6.答案：D
解析：由得，所以圆M的圆心为，半径为，因为圆M截直线所得线段的长度是，
所以，解得，圆N的圆心为，半径为，
所以，，，因为，所以圆M与圆N相交，故选D.
7.答案：A
解析：到原点的距离为的点的轨迹为圆，因此圆上总存在两个点到原点的距离均为转化为圆与圆有两个交点，两圆的圆心和半径分别为，，，解得实数的取值范围是，故选A.
8.答案：3
解析：分析题意，可知的中点坐标为在直线上，.又直线与直线垂直，，.
9.答案：
解析：由两圆的方程，可知它们的圆心坐标分别为，则过两圆圆心的直线方程为，即.根据圆的几何性质，可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称，故点与点关于直线对称.又，所以.
10.答案：1
解析：由题意并结合圆的性质，可知当圆的圆心为线段的中点时，圆的半径最大.而原点到直线的距离为1，圆的半径为2，所以圆的半径的最大值为1.
11.答案：
解析：由方程组，得.设的中点为，则，令的中点为的中点为，则.，，，，直线的方程为.
12.答案：
解析：法一：设圆的半径为，圆心的坐标为.因为圆平分圆的圆周，所以，同理可得，所以，即，解得，从而得，故圆的方程为.
法二：设圆的方程为，则圆与圆的公共弦方程为(*)，因为圆平分圆的圆周，所以直线(*)经过圆的圆心，即①，同理由圆平分圆的圆周，得②，由①②得，，故圆的方程为.
13.答案：由题意，设所求圆的方程为，
即，
则其圆心为.
由题意，得，
.
所求圆的方程是.
14.答案：由题意，知圆心在轴上或轴上.
①当圆心在轴上时，设圆心.
因为两圆的圆心距是3，
所以，解得或.
因为到直线的距离是，
到直线的距离是，
所以圆的方程是或.
②当圆心在轴上时，设圆心.
因为两圆的圆心距是3，
所以，解得.
因为到直线的距离是，
所以圆的方程是或.
综上，圆的方程是或或或.
15.答案：（1）当时，圆的方程为，
圆心为，半径为，
圆的方程为，圆心为，半径为，
两圆的圆心距，
又，
所以，所以圆和圆相交.
（2）不存在实数，使得圆和圆内含.理由如下：
圆的方程可化为，圆心的坐标为，半径为3.
假设存在实数，使得圆和圆内含，
则圆心距，
即，此不等式无解.
故不存在实数，使得圆和圆内含.
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