资源简介

第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
学案
一、学习目标
1. 掌握椭圆的定义、标准方程；
2. 通过对椭圆标准方程的推导，进一步体会数形结合的思想.
二、基础梳理
1. 椭圆的定义：把平面内与两个定点的距离的和__________（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的__________，两焦点间的距离叫做椭圆的__________，焦距的一半称为__________.
2. 椭圆的标准方程：
（1）焦点在x轴上，两个焦点分别是的椭圆的标准方程为___________
；
（2）焦点在y轴上，两个焦点分别是的椭圆的标准方程为___________
.
这里___________.
三、巩固练习
1.下列说法中正确的是( )
A.已知，平面内到两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B.已知，平面内到两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C.平面内到两点的距离之和等于点到两点的距离之和的点的轨迹是椭圆
D.平面内到点的距离相等的点的轨迹是椭圆
2.设定点，动点满足条件，则点的轨迹是( )
A.椭圆 B.线段 C.射线 D.椭圆或线段
3.若椭圆上一点到焦点的距离为3，则点到另一焦点的距离为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
4.已知椭圆上任意一点都满足关系式，则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
5.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的方程是( )
A. B. C. D.
6.“”是“方程表示椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为( )
A.5 B.7 C.13 D.15
8.若点是椭圆上的一动点，是椭圆的两个焦点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的两个焦点的对称点分别为，线段的中点在上，则点到两点的距离和为( )
A.6 B.8 C.12 D.36
10.若椭圆上一点到两焦点的距离之和为，则实数的值为_______，焦点坐标为_________.
11.设分别为椭圆的左右焦点，点在椭圆上，若，则点的坐标是_________.
12.已知椭圆焦点为，且过点，椭圆第一象限上的一点到两焦点的距离之差为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求的内切圆方程.
13.如图，在面积为1的中，.建立适当的平面直角坐标系，求出以为焦点且过点的椭圆方程.
14.如图所示，已知椭圆的两焦点分别为为椭圆上一点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点在第二象限，，求的面积.
参考答案
基础梳理
1. 等于常数；焦点；焦距；半焦距.
2. ；；.
巩固练习
1.答案：C
解析：A中，，则平面内到两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A错误；B中，到两点的距离之和等于6，小于，这样的点不存在，所以B错误；C中，点到两点的距离之和为，则C正确；D中，轨迹应是线段的垂直平分线，所以D错误.故选C.
2.答案：A
解析：因为，所以，所以点的轨迹为以为焦点的椭圆.故选A.
3.答案：B
解析：依题意，得，则.故选B.
4.答案：B
解析：由题设可知椭圆的焦点在轴上，其坐标分别为，故，，，所以椭圆的标准方程为.故选B.
5.答案：B
解析：依题意，知椭圆的焦点坐标为.设所求方程为，将点代入，得，则所求椭圆的方程为.故选B.
6.答案：B
解析：若方程表示椭圆，则，解得且，所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选B.
7.答案：B
解析：由题意知椭圆的两个焦点分别是两圆的圆心，且，从而的最小值为.
8.答案：B
解析：由椭圆的定义，可得，.
又，，，当且仅当时等号成立，的最小值为，故选B.
9.答案：C
解析：设椭圆的左、右焦点分别为，如图所示.因为线段的中点为，点为的中点，所以，同理可得，.因为点在椭圆上，所以有，所以，即点到两点的距离和为12，故选C.
10.答案：9；
解析：若，则，得(舍去)；若，则，解得或1(舍去)，所以，所以焦点坐标为.
11.答案：或
解析：根据题意，设点的坐标为，点的坐标为.易得，..点都在椭圆上，，解得，故点的坐标为或.
12.答案：（1）由题意，可知，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由，解得.
又，所以，
故的内切圆半径，内切圆圆心为，
所以内切圆的方程为.
13.答案：以线段的中点为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设所求椭圆的方程为，则.
设，依题意知.
所以，解得，即.
又，所以.
于是，
所以，则，
所以.
故所求椭圆的方程为.
14.答案：（1）设椭圆的标准方程为，焦距为，
则由已知得，
所以，所以，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）在中，.
由余弦定理，得，
即，所以，
所以.
2

展开更多......

收起↑