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第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.2 椭圆的简单几何性质
学案
一、学习目标
1. 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等简单性质；
2. 能利用椭圆的简单性质求椭圆方程
3. 能用椭圆的简单性质分析解决有关问题.
二、基础梳理
1. 椭圆位于直线___________和___________围成的矩形框里.
2. 椭圆关于x轴、轴都是对称的.这时，___________是椭圆的对称轴，___________是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的___________.
3. 如图，椭圆的四个顶点为___________，___________，___________，___________，线段分别叫做椭圆的___________和___________，它们的长分别等于___________和___________，和分别叫做椭圆的___________和___________.
4. 椭圆的离心率___________.
三、巩固练习
1.若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则( )
A． B． C． D．
2.已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上，则该椭圆的短轴长为( )
A.1 B. C.2 D.
3.已知椭圆的一个焦点是圆的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )
A. B. C. D.
4.已知椭圆的对称中心为坐标原点，一个焦点为直线与轴的交点，离心率为，则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
5.已知焦点在轴上的椭圆的焦距为4，则的离心率( )
A． B． C． D．
6.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
7.若直线经过椭圆的一个焦点，且椭圆的长轴长与短轴长的比值为，则该椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
8.与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
9.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则该椭圆的离心率不可能是( )
A. B. C. D.
10.已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为( )
A. B. C. D.
11.已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为.若椭圆的离心率为，则的最小值为( )
A.1 B. C. D.
12.设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是________________.
13.已知为轴上一点，是椭圆的两个焦点，为正三角形，且的中点恰好在椭圆上，则此椭圆的离心率为_____________.
14.若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是______________.
15.已知椭圆的左、右焦点分别为，则椭圆的离心率为__________，若过点且垂直于长轴的直线与椭圆交于两点，其中一点为，则______________.
16.求满足下列条件的椭圆的标准方程.
（1）长轴在轴上，长轴长等于12，离心率等于；
（2）椭圆过点，离心率；
（3）在轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8.
17.设分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，.
（1）若的周长为16，求；
（2）若，求椭圆的离心率.
18.已知椭圆的上、下、左、右四个顶点分别为轴正半轴上的某点满足.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设该椭圆的左、右焦点分别为，点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线，交椭圆于两点，求证：的周长是定值.
参考答案
基础梳理
1. ；.
2. 坐标轴；原点；中心.
3. ；；；；长轴；短轴；；；长半轴长；短半轴长.
4. .
巩固练习
1.答案：B
解析：由题意，则，化简后得.故选B.
2.答案：C
解析：因为，，所以，所以.故选C.
3.答案：D
解析：圆的标准方程为圆心坐标为.又.椭圆的焦点在轴上，椭圆的左顶点为.故选D.
4.答案：A
解析：直线与轴的交点为，即.又椭圆的离心率为，所以，故，所以，故椭圆的标准方程为.故选A.
5.答案：C
解析：焦点在轴上的椭圆的焦距为4， 可得，可得，又，所以.故选C.
6.答案：A
解析：由，椭圆，作出椭圆图象如图，
则.
由题意可得：，
∴，
∴.
∴ (负值舍去). 故选A.
7.答案：B
解析：由题意可知，椭圆)的一个焦点为，所以.因为椭圆的长轴长与短轴长的比值为，即，所以.又因为，所以，.故选B.
8.答案：B
解析：椭圆可化为，可知焦点在轴上，焦点坐标为，故可设所求椭圆的方程为，则.又，即，所以，则所求椭圆的标准方程为.故选B.
9.答案：A
解析：设.因为点在椭圆上，所以，所以.因为，所以，解得.由题意可知，即.由，可得，即，显然成立.由，可得，则.又，所以.故选A.
10.答案：B
解析：易得关于直线的对称点为，，所以.故选B.
11.答案：A
解析：不妨令.设，则.又椭圆的离心率为，所以，所以(当且仅当，即时等号成立).故选A.
12.答案：
解析：当时，，由条件知，解得；当时，，由条件知，解得.综上，实数的取值范围为.
13.答案：
解析：如图，连接.因为为正三角形，且为线段的中点，所以.
又，所以，
由椭圆的定义，得，即，所以，
所以椭圆的离心率.
14.答案：
解析：直线是圆的一条切线，椭圆的右焦点为，即.设，则，则直线的方程为，直线与轴的交点为，故椭圆的方程为.
15.答案：；
解析：由题意，可得，则，所以椭圆的离心率.过点且垂直于长轴的直线与椭圆交于点，所以，由椭圆的定义，可知.
16.答案：（1）由题意，可知，
得，从而.
又长轴在轴上，
故所求椭圆的标准方程为.
（2）若焦点在轴上，则，
由，得，所以，
此时椭圆的标准方程为.
若焦点在轴上，则，
由，得，
此时椭圆的标准方程为.
故椭圆的标准方程为或.
（3）分析知，故椭圆的标准方程为.
17.答案：（1）由，
得.
因为的周长为16，
所以由椭圆定义可得，
故.
（2）设，则且.
由椭圆定义，得.
在中，由余弦定理，得
，
即，
化简可得，而，故.
于是有.
因此，可得，
故为等腰直角三角形，从而，
所以椭圆的离心率.
18.答案：（1）设点的坐标为.
分析可知，故，
椭圆的标准方程是.
（2）法一：设，则.
又，则
，
.
在圆中，是切点，设为原点，
则，
，
同理，
，
的周长是定值6.
法二：设的方程为.
由，得.
设，则，
，
与圆相切，
，即，
.
，且，
同理可得，
，
的周长是定值6.
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