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第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.1 双曲线及其标准方程
学案
一、学习目标
1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；
2. 通过双曲线标准方程的推导过程理解数形结合思想.
二、基础梳理
1. 一般地，我们把平面内与两个定点的距离的差的绝对值_______非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的_______，两焦点间的距离叫做双曲线的_______.
2. 双曲线的标准方程：
（1）焦点在x轴上，焦点分别是的双曲线的标准方程为______________.
（2）焦点在y轴上，焦点分别是的双曲线的标准方程为______________.
这里___________.
三、巩固练习
1.已知动点满足，则动点的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的左支 D.双曲线的右支
2.已知双曲线过点和，则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
3.若椭圆和双曲线有相同的焦点，则实数的值是( )
A. B. C.5 D.9
4.“”是“方程表示双曲线”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则等于( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的一个焦点为，点在双曲线上，且线段的中点坐标为，则此双曲线的标准方程是( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点为，点P在双曲线上，且线段的中点坐标为，则此双曲线的方程是( )
A. B. C. D.
8.设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线交于两点，其中在左支上，在右支上.若，则( )
A.8 B.4 C. D.
9.已知，当为何值时：
（1）方程表示双曲线；
（2）方程表示焦点在轴上的双曲线；
（3）方程表示焦点在轴上的双曲线.
10.求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）过两点；
（2）与双曲线有公共焦点，且过点；
（3）与椭圆有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4.
参考答案
基础梳理
1. 等于；焦点；焦距.
2. ；；.
巩固练习
1.答案：D
解析：表示动点到两定点的距离之差等于2，，由双曲线的定义，知动点的轨迹是双曲线的右支.故选D.
2.答案：B
解析：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为.因为，两点在双曲线上，所以，解得，于是所求双曲线的标准方程为.故选B.
3.答案：B
解析：由题意，可知椭圆的半焦距，双曲线的半焦距，所以，则实数.故选B.
4.答案：A
解析：如果方程表示双曲线，那么；而如果，由于的值不确定(比如)，故无法得出方程表示双曲线.所以“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件，故选A.
5.答案：C
解析：由双曲线定义，知，.又，，，，.故选C.
6.答案：B
解析：由双曲线的焦点可知，线段的中点坐标为，所以.设右焦点为，则有，且轴，点P在双曲线的右支上，所以，所以，所以，所以双曲线的标准方程为.故选B.
7.答案：B
解析：由双曲线的焦点可知，线段的中点坐标为，所以.设右焦点为，则有，且轴，点P在双曲线的右支上，所以，所以，所以，，所以双曲线的方程为.故选B.
8.答案：C
解析：由可知，.由双曲线定义可知，，，两式相加得，.故选C.
9.答案：（1）原方程可变形为.
要使方程表示双曲线，必须满足，
即或，解得或.
（2）若方程表示焦点在轴上的双曲线，
则，解得.
（3）若方程表示焦点在轴上的双曲线，
则，解得.
10.答案：（1）∵双曲线的焦点位置不定，
∴设双曲线的方程为.
∵点在双曲线上，
∴，解得，
∴所求双曲线的标准方程为.
（2）设双曲线的标准方程为.
由题意，知.
∵双曲线过点，∴.
又，∴.
故双曲线的标准方程为.
（3）椭圆的焦点为，，故可设双曲线的标准方程为，且.
由双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，可得这个交点的坐标为或，由该点在双曲线上，得.
解方程组，得.
∴所求双曲线的标准方程为.
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