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第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学案
一、学习目标
1. 理解双曲线的简单几何性质；
2. 能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题.
二、基础梳理
1. 双曲线关于x轴、y轴和原点都是________的.这时，坐标轴是双曲线的________，原点是双曲线的________.双曲线的对称中心叫做双曲线的________.
2. 双曲线的顶点为________________.线段叫做双曲线的________，它的长等于________，a叫做双曲线的________；线段叫做双曲线的________，它的长等于________，b叫做双曲线的________.
3. 双曲线的渐近线为________.双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.
4. 双曲线的离心率，.
三、巩固练习
1.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则等于( )
A. B. C.4 D.
2.“”是“双曲线的离心率为”的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分又不必要条件 D.充分不必要条件
3.若实数满足，则曲线与曲线的( )
A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等
4.已知分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，与轴垂直，，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.2
5.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则渐近线方程是( )
A. B. C. D.
6.设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.3
7.双曲线经过点，且离心率为3，则它的虚轴长是__________.
8.双曲线的离心率，则实数的取值范围是______________.
9.已知双曲线过点，且渐近线方程为，则双曲线的标准方程为____________.
10.设分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线交双曲线左支于两点，且，则双曲线的离心率为____________.
11.已知双曲线的方程为.
（1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；
（2）设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，求的大小.
12.已知双曲线的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，过点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由.
参考答案
基础梳理
对称；对称轴；对称中心；中心.
；实轴；2a；实半轴长；虚轴；2b；虚半轴长.
；
；.
巩固练习
1.答案：A
解析：双曲线方程化为标准形式：，则有，.由题设知，解得.故选A.
2.答案：D
解析：当时，双曲线方程化为标准方程是，其离心率；当双曲线，即的离心率为时，则，得.故“”是“双曲线的离心率为”的充分不必要条件.故选D.
3.答案：A
解析：因为，所以方程与均表示焦点在轴上的双曲线.双曲线中，实轴长为10，虚轴长为，焦距为；双曲线中，实轴长为，虚轴长为6，焦距为.因此两曲线的焦距相等，故选A.
4.答案：A
解析：由，得，所以，则.故选A.
5.答案：D
解析：根据双曲线的对称性，可设双曲线的一个焦点坐标为，一条渐近线方程为.由题意可知，而，所以，因此双曲线的渐近线方程为.故选D.
6.答案：B
解析：根据双曲线的定义，可得.由已知可得.两式作差得.又，所以，即，得，两边平方得，即，即，则，所以双曲线的离心率.故选B.
7.答案：
解析：由题意可得，解得，因此，该双曲线的虚轴长为.
8.答案：
解析：双曲线方程可变形为，则.又因为，即，解得.
9.答案：
解析：方法一：因为双曲线过点，渐近线方程为，且点在直线的下方，所以该双曲线的标准方程可设为，所以，解得，故双曲线的标准方程为.
方法二：因为双曲线的渐近线方程为，所以可设双曲线的方程为.又因为双曲线过点，所以，解得，故双曲线的标准方程为.
10.答案：
解析：结合双曲线的定义，得，又，所以，即.又，故为直角，所以，则，所以双曲线的离心率为.
11.答案：（1）由双曲线方程得焦点坐标分别为，离心率，渐近线方程为.
（2）由双曲线的定义可知，
，
则.
12.答案：（1）由双曲线的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为，可设双曲线方程为，将点的坐标代入，可得，所以双曲线的标准方程为.
（2）假设存在被点平分的弦，记弦所在的直线为.设是弦的中点，设，则.因为点在双曲线上，所以它们的坐标满足双曲线方程，即，两式相减得，所以，所以，所以直线的方程为，即.联立直线与双曲线方程得，消去，得，显然，所以直线与双曲线无交点，所以直线不存在，故不存在被点平分的弦.
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