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哈三中 2022—2023 学年度上学期
高三学年第二次验收考试数学试卷
考试说明：（1）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分．
考试时间为 120 分钟；
（2）第 I 卷，第 II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第 I 卷 （选择题, 共 60 分）
一、选择题（共 60 分）
(一)单项选择题（共 8 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1. A = x 5x 3 0 x 1， B = x 2 1 ，则 A B =
3 3 3
A． ,15
B． 0,1 C． 0, D． ,+
5 5
2. 已知a = ( , 1) ，b = (2,3)，且a / /b，则 =
3 2 3 2
A． B． C． D．
2 3 2 3
3. 已知等比数列{an}的公比q 1，前n项和为 Sn ，a1 =1， a2 + a3 = 6，则 S5 =
A．29 B．30 C．31 D．32
4. 近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是电机和控制
器，我国永磁电机的技术处于国际领先水平.某公司用9 万元进购一台新设备用于生
产电机，第一年需运营费用3万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2 万
*
元，该设备每年生产的收入均为12万元，设该设备使用了n (n N )年后，年平均
盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于
A．6 B．5 C． 4 D．3
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5. 在 ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，且满足 AD = 3AP，若存在实数m 和
n，使得BP = mAB + nAC ，则m+n =
2 1 2 1
A． B． C． D．
3 3 3 3
2
6. 平面直角坐标系中，角 的终边经过点P( 3, 4) ，则cos ( + ) =
2
1 1 4 9
A． B． C． D．
10 5 5 10
2 4 3 4 3
7. 已知实数a = sin ,b = sin ,c = cos ，则a,b,c 的大小关系为
3 3 4 3 4
A．a b c B．a c b
C．a b c D．a c b
1
8. 已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (x + 2) = f (x +1) .当 x 0时，
2
f (x) = x .则下列结论错．误．的是
A． f (2022) = 0
2 2
B．函数 f (x) 的值域为 ,
2 2
11
C．函数 f (x) 的图像关于直线 x = 对称
2
D．方程 f (x) x + a = 0最少有两个解
(二)多项选择题（共 4 小题，每小题 5 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
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9. 下列说法中正确的有
1
A．“ a 0 ”是“ + a 2 ”的充要条件
a
B．“ x = 6 ”是“ x2 5x 6 = 0 ”的必要不充分条件
C．命题“存在 x R, x + 2 0 ”的否定是：“存在 x R, x + 2 0 ”
a b
D．设a,b都是非零向量，则a = 2b是 = 成立的充分不必要条件
a b
10. 已知函数 f (x) = 2sin xcos x ，则下列结论正确的是
A．函数 f (x) 的最小正周期为

B．函数 f (x) 在区间 ,0 上单调递减
4
C．函数 f (x) 的图像不是中心对称图形
k
D．函数 f (x) 图像的对称轴方程仅有 x = ，k Z
2
11. 若数列 an 的前 项和为 Sn ，满足a1 =1,an+1 = ( 1)
n+1an + 2 ，则下列结论正确的有
A． S21 = 20 B． S199 = S201
n+1 * n 1 *
C．a2n 1 = ( 1) ,n N D．a2n = 2+ ( 1) ,n N
x 2
12. 已知函数 f (x) = e ax, g(x) = x ln x， e是自然对数的底数，则下列正确的是
A．若函数 f (x) 仅有一个零点，则a =1
2 e
B．若 g(x1) = g(x2 ), (x1 x2 ) ， x1 + x 2
e
C．若 f (x) 0对任意 x (0，+ )恒成立，则a e
D．若 f (x) g(x) 恒成立，则整数a的最大值为 2
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第Ⅱ卷 （非选择题, 共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡相应的位置上)
x +1
13. 已知函数 f (x) = ，定义域为 (2,+ )，则 f (x) 的值域为 .
x 1
14. 已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列， Sn 是数列{an}的前 n 项和， S11 =11，
a
b log 6 =5b7 = 3，则 3 2 . b6
15. 如图所示，点 P 是正三角形 ABC 外接圆圆O 上的动点，正三
角形的边长为 3，则OP OA+ 2OP OB + 4OP OC 的取值范
围是 .
16. 已知 ABC 满足sin(2C + B) = sin B sin C ， D 是 ABC 的边BC 上一点，且
BC = 3BD ， AD = 2，则 AC + 2AB 的最大值为 .
三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 设函数 f (x) = a b ，其中向量a = (2cos x,1) ，b = (cos x, 3 sin 2x m) .
（1）求函数 f (x) 单调递增区间；

（2）当 x , 时，函数 f (x) 恰有三个零点，求m 的取值范围.
6
18. 已知数列{an}满足a1 =1， an+1 an = n .
（1）求数列{an}的通项公式；
1
（2）记bn = ，求数列{bn}的前n项和 Sn .
an+1 a1
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B +C
19. 在①2S = 3 AB AC ；②2cos
2 =1+ cos 2A；③c = 3a sin C c cos A；
2
在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.
在锐角 ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别是a,b,c ，且
（1）求角 A 的大小；
（2）若a = 3，求 ABC 周长的范围.
20. 疫情期间，为保障学生安全，要对学校进行消毒处理.校园内某区域由矩形OABC 与

扇形 OCD 组成， OA = 2m ， AB = 2 3m ， COD = .消毒装备的喷射角
3

EOF = ，阴影部分为可消毒范围，要求点 E 在弧CD上，点 F 在线段 AB 上，
3
设 FOC = ，可消毒范围的面积为 S .
（1）求消毒面积 S 关于 的关系式，并求出 tan 的范围；
（2）当消毒面积 S 最大时，求 tan 的值.
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n
21. 已知数列 an 的前 项和为 Sn ，满足 2Sn = 3an 2 +1 .
n
（1）求证：数列 an + 2 是等比数列，并求数列 an 的通项公式；
n
（2）记b b Mn = (2n 1)(an + 2 )，求数列 n 的前 项和为 n ；
3n 2n cn 3
（3）记an = ，数列 cn 的前 项和为Tn .求证：Tn .
2cn +1 2
22. 已知函数 f (x) = xex ln (x +1)+ ax .
（1）求函数 f ( x)在点 (0, f (0))处的切线方程；
（2）当a = 0 时，函数 g (x) = f (x) m 有两个零点，求实数m 的取值范围；
（3）求证：对任意的 x1, x2 (0,+ )，都有 f (x1 + x2 ) f (x1 )+ f (x2 ) .
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高三学年第二次验收考试数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A B C D C B A D AD BC CD CD
13. (1,3) 14. 1 15. 3 7,3 7 16. 4 3

17.（1） f (x)= 2sin 2x+ m+1，2x+ 2k ，2k + ，k ，
6 6 2 2

解得单调递增区间为 k ，k + ，k .
3 6


13
（2）当 x ， 时，2x+ ， , 2sin 2x+ = m 1有三个不等实根，
6 6 6 6 6
则m 1 1，1 ，m 0，2 .
n (n 1)
18. （1）an a1 =1+2+ + (n 1)，an = +1(n 2)
2
n (n 1)
检验a1 =1符合，则a n = +1
2
2 1 1
（2）bn = = 2 ，
n (n +1) n n +1
1 1 1 1 1 2n
则 Sn = 2 1 + + + =
2 2 3 n n+1 n+1
1
19. （1）①2S = 3AB AC , 2 bcsin A = 3bccos A , sin A = 3 cos A , tan A = 3 ，
2

A 0, ， A =
2 3
2 B+C A
②2cos =1+ cos2A，2sin
2 =1+ cos2A ,1 cos A=1+2cos2 A 1，
2 2
1
2cos2 A+cos A 1=0，cos A = (cos A = 1舍)， A 0, ， A =
2 2 3
1
③ c = 3asinC ccos A，sinC = 3 sin AsinC sinC cos A， sinC 0，
1
sin A = ，， A 0, ， A =
6 2 2 3
a b c
（2） = = = 2， b = 2sin B,c = 2sinC ， b+c = 2sin B+2sinC ，
sin A sin B sinC
2 2 2
B+C = ， C = B ， b+ c = 2sin B+ 2sin B = 2 3sin B+ ，
3 3 3 6

B , ， b+ c (3,2 3 ， a+b+ c (3+ 3,3 3
6 2
1 2 2 1 2 2
20. （1） S1 = (2 3) = 2 6 ，OF = ， S2 = 4 3 2 = 4 3 ，
2 3 tan 2 tan tan
2 3
S = S1 + S2 = 2 + 4 3 6 , tan , 3
tan 3
2 3
（2）设 y = 6 + , tan , 3 ，
tan 3
2 6sin2 2 2( 3 sin +1)( 3 sin 1) 1 3
y = 6 = = ， sin , , y 0 ，
sin2 sin2 sin2 2 3
3 3
sin , , y 0
3 2
， sin = ,即tan = 时， y 取最小值，此时 S 取最大值.
3 2 3 2
n
21. （1） 2Sn = 3an 2 +1， 2Sn+1 = 3a
n+1 n
n+1 2 +1，作差得2an+1 = 3an+1 3an 2 ，
an+1 = 3an + 2
n n+1 n
， an+1 + 2 = 3(an + 2 )，而n =1时，2S1 = 3a1 2+1, a1 =1, a1 +2 = 3，
n n n n n数列 an + 2 是等比数列， an + 2 = 3 , an = 3 2 .
n n
（2）bn = (2n 1)(an + 2 ) = (2n 1)3 ，
n+1
利用倍差法分别求得M n = (n 1)3 + 3 .
n n n 1 n 1 n 1 n 1 n 13 2 c
n 2 2 2 2 1 2 （3） an = ， cn = ， c = = = 2c +1 3n 2n 1 n 3n 2n 1

n 2 3
n 1 +3n 1 2n 1 2 3n 1 2 3
2
n
2
1 n
1 3 3 2 3 Tn = (1 )
2 2 2 3 21
3
22. （1） f (0) = 0，
x
f (x) = ex ln (x +1)+ xex ln (x +1)+ ex + a，故 f (0) = a ，
x+1
则函数 f (x)在 (0, f (0))处的切线方程为 y = ax；
x
（2）当a = 0时， g (x) = xe ln (x+1) m，
x
则 g (x) = ex (x +1) ln (x +1)+ x = e (x +1)h (x) 2
(x +1)
x x2 + x + 2
则有h(x) = ln (x+1)+ 2 ，则h (x) = 03 对 x 1恒成立
(x+1) (x +1)
则有h (x)为 ( 1,+ )上的单调递增函数，又由h(0) = 0
知，
x ( 1,0) 0 (0,+ )
g (x) 0 +
g (x) 单调递减 极小值 单调递增
又由于当 x → 1时， f (x)→+ ，且当 x →+ 时， f (x)→+
故函数 g (x)有两个零点，只需m 的取值范围为 (0,+ )
f (x)
（3）首先：设F (x) = = ex ln (x +1)+ a ，
x
ex 1
则有：F (x) = ex ln (x +1)+ = exh (x)，即h(x) = ln (x+1)+
x +1 x+1
x
则有：h (x) = 0 ,2 (x 0)，即h (x)为 (0,+ )上的单调递增函数，
(x+1)
3
则有：当 x (0,+ )时，h(x) h(0) =1 0，即F (x) 0对任意 x (0,+ )恒成立，
则 F (x)为 (0,+ )上的单调递增函数，
对任意的 x1, x (0,+ )，由于 x1 + x2 x1 02 ，知F (x1 + x2 ) F (x1 )，
即 x1 f (x1 + x2 ) (x1 + x2 ) f (x1 ) ............①
同理 x2 f (x1 + x2 ) (x1 + x2 ) f (x2 ) ............②
由①②可得： f (x1 + x2 ) f (x1 )+ f (x2 ) .
4

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