资源简介 椭圆及其几何性质1.求椭圆的标准方程1.已知点M到两个定点A(-1,0)和B(1,0)的距离之和是定值2,则动点M的轨迹是( )A.一个椭圆 B.线段ABC.线段AB的垂直平分线 D.直线AB2.已知集合P={M||MF|+|MG|=10},其中F为定点且|FG|=8,若M到F的距离为2,N是MF的中点,则N点到FG中点O的距离是( )A.8 B.4 C.2 D.3.已知B、C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18,求这个三角形的顶点A的轨迹方程.4.求过点且与圆相内切的动圆圆心的轨迹方程。5.圆为圆上一点,的中垂线交于,求点的轨迹方程。6.点和圆,动圆和圆外切,并经过点,求动圆圆心的轨迹方程。7.已知在中,为动点,两定点的坐标分别为,,且满足,求动点的轨迹方程。8.点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1,求点M的轨迹方程。9.点、,过作两条互相垂直的直线和,求和的交点的轨迹方程。10.已知圆的方程是,在圆上任取一点,过作横轴的垂线交于点,线段的中点为,求点的轨迹方程。点差法例1.椭圆中,过的弦恰被点平分,则该弦所在直线方程为_________________。练习:1.已知以为圆心的圆与椭圆交于、两点,求弦的中点的轨迹方程。交轨法若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程,也可以解方程组先求出交点的参数方程,再化为普通方程。已知是椭圆中垂直于长轴的动弦,、是椭圆长轴的两个端点,求直线和的交点的轨迹方程。练习:1.两条直线和的交点的轨迹方程是_________。2.椭圆的焦点三角形的性质 1.如图所示,△PF1F2称为椭圆的焦点三角形.如勾股定理,余弦定理,正弦定理,三角形的面积公式等均成立.2.解题时应用相关定理要结合椭圆的定义.3.焦点三角形中常用的关系式有:(1)|PF1|+|PF2|=2a;(2)S△F1PF2=|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=(3)|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2.典例:1.如图所示,已知点P是椭圆+=1上的点,F1和F2是焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积.2.已知点P(3,4)是椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,若·=0.(1)求椭圆的方程;(2)求△PF1F2的面积.3.已知椭圆+=1的焦点为F1、F2,P为椭圆上的一点,已知PF1⊥PF2,则△F1PF2的面积为( )A.9 B.12 C.10 D.8若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则该椭圆长半轴长的最小值为5.F1、F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为( )A.7 B. C. D.6.设椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上的一动点,若△PF1F2是直角三角形,则△PF1F2的面积为( )A.3 B.3或 C. D.6或37.设椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆上的一动点,若△PF1F2是直角三角形,则△PF1F2的面积为( )A.3 B.3或 C. D.6或33.求椭圆的离心率1.A为y轴上一点,F1、F2是椭圆的两个焦点,△AF1F2为正三角形,且AF1的中点B恰好在椭圆上,求此椭圆的离心率.2.已知点F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点,若△ABF2为正三角形,则该椭圆的离心率e是( )A. B. C. D.3.已知、是椭圆的两个焦点,满足的点总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C. D.4.过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点,为右焦点,若,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.5.已知椭圆的左、右焦点分别为、,且,点在椭圆上,,,则椭圆的离心率( )A. B. C. D.6.已知是以为焦点的椭圆上的一点,若,,则此椭圆的的离心率为( )A. B. C. D.7.椭圆的长轴为,为短轴的一个端点,若∠,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.8.椭圆的四个顶点为、、、,若四边形的内切圆恰好过椭圆的焦点,则椭圆的离心率是( )A. B. C. D.9.设分别是椭圆()的左、右焦点,若在直线上存在(其中),使线段的中垂线过点,则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C. D.10.椭圆上一点看两焦点的视角为直角,设的延长线交椭圆于,又,则椭圆的离心率( )A. B. C. D.11.如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用和分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子:①; ②; ③; ④.其中正确式子的序号是( )A.①③ B.②③ C.①④ D.②④12.椭圆的右焦点,其右准线与轴的交点为,在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点,则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C. D.13.已知椭圆,是椭圆长轴的一个端点,是椭圆短轴的一个端点,为椭圆的一个焦点. 若,则该椭圆的离心率为 ( )A. B. C. D.14.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点,焦点在轴上,左右焦点分别为,且它们在第一象限的交点为,是以为底边的等腰三角形.若,双曲线的离心率的取值范围为.则该椭圆的离心率的取值范围是.15在中,,.若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率 .16.在平面直角坐标系中,设椭圆的焦距为,以点为圆心,为半径作圆.若过点作圆的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率为17.直线过椭圆的左焦点和一个顶点,该椭圆的离心率为_________.18.设是椭圆的两个焦点,是以为直径的圆与椭圆的一个交点,若,则椭圆的离心率等于________.19.椭圆的半焦距为,若直线与椭圆一个交点的横坐标恰为,椭圆的离心率为_________20.已知是椭圆的右焦点,以坐标原点为圆心,为半径作圆,过垂直于轴的直线与圆交于两点,过点作圆的切线交轴于点.若直线过点且垂直于轴,则直线的方程为______________;若,则椭圆的离心率等于_________.21.如图,在平面直角坐标系中,为椭圆的四个顶点,为其右焦点,直线与直线相交于点,线段与椭圆的交点恰为线段的中点,则该椭圆的离心率为 ___ .22.已知椭圆的左、右焦点分别为、,是椭圆上一点,,设,⑴求椭圆离心率和的关系式;⑵设是离心率最小的椭圆上的动点,若的最大值为,求椭圆的方程.23.设椭圆:的左右焦点分别为,若椭圆上存在一点,使,试求该椭圆的离心率的取值范围.直线与椭圆的位置关系1.已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;(2)求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程.椭圆中的最值问题椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题.椭圆上一动点与焦点的距离常称为焦半径.椭圆上一动点与长轴两端点重合时,动点与焦点取得最大距离a+c(称远日点)、最小距离a-c(称近日点).推导如下:设点P(x0,y0)为椭圆+=1(a>b>0)上的任意一点,左焦点为F1(-c,0),|PF1|=,由+=1得y=b2,将其代入|PF1|=并化简得|PF1|=x0+a.所以,当点P(x0,y0)为长轴右端点P(a,0)时,|PF1|max=·a+a=a+c;当点P(x0,y0)为长轴左端点P(-a,0)时,|PF1|min=·(-a)+a=a-c.当焦点为右焦点F2(c,0)时,可类似推出.已知点P在椭圆4x2+9y2=36上,求点P到直线l:x+2y+15=0的距离的最大值和最小值.2.已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m=____时,点B横坐标的绝对值最大.3.设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是__ __.4.设是椭圆的不垂直于对称轴的弦,为的中点,为坐标原点,则________;设椭圆的两焦点为,若椭圆上存在一点,使,则椭圆离心率的取值范围为________。5.已知椭圆 (0<b<2)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b的值是________,椭圆的离心率为________.6.已知F是椭圆的右焦点,直线交椭圆于A、B 两点,若,则椭圆C 的离心率是_____.7.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为椭圆E的左右顶点,B为上顶点,△A1BA2的面积为2.直线l过点D(1,0)且与椭圆E交于P,Q两点.(1)求椭圆E的标准方程;(2)求△OPQ面积的最大值.8.已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B.(1)求椭圆M的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设P(-2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D,若C,D和点Q共线,求k.9.已知椭圆上两个不同的点A,B关于直线对称.(1)求实数m的取值范围;(2)求△AOB面积的最大值(0为坐标原点)10:已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数,且直线经过椭圆的右顶点。(1)求椭圆C的标准方程;(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M,N两点,且直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,求△OMN面积的取值范围。11.设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上,若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.12.设,为椭圆的左、右焦点,动点的坐标为,过点的直线与椭圆交于,两点.(3)求,的坐标;(4)若直线,,的斜率之和为0,求的所有整数值.13.已知椭圆()的半焦距为,原点到经过两点,的直线的距离为.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)如图,是圆的一条直径,若椭圆经过,两点,求椭圆的方程.课后习题1.已知是椭圈上的动点,过作椭圆的切线与轴、轴分别交于点、,当(为坐标原点)的面积最小时,(、是椭圆的两个焦点),则该椭圆的离心率为__________.2.已知F1、F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.(1)求椭圆离心率的范围;(2)求证:的面积只与椭圆的短轴长有关.3.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:的焦点为F1(–1、0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C于点E,连结DF1.已知DF1=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.4.已知斜率为的直线与椭圆交于,两点.线段的中点为.(1)证明:;(2)设为的右焦点,为上一点,且.证明:.5.已知椭圆C:,过点分别作斜率为,的两条直线,,直线交椭圆于A,B两点,直线交椭圆于C,D两点,线段AB的中点为M,线段CD的中点为N.Ⅰ若,,求椭圆方程;Ⅱ若,求面积的最大值.6.设椭圆的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,.(1)求椭圆的方程;(2)设直线与椭圆交于,两点,与直线交于点M,且点P,M均在第四象限.若的面积是面积的2倍,求的值. 展开更多...... 收起↑ 资源预览