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2023届圆锥曲线焦点弦
弦长计算公式：
典例分析
例1（1）已知直线与抛物线交于，两点，则______．
（2）已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
对点练习
已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长（ ）
A． B． C．10 D．
例2（1）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线与抛物线交于两点，且与的横坐标之和为4，求的值及．
（2）直线交抛物线于A，B两点．若AB的中点横坐标为2，则弦长为______
对点练习
1.过抛物线的焦点的直线交于，两点，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
2.椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为
（1）求椭圆的方程
（2）斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，当时，求直线的方程
3．已知点，，动点满足条件．记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过曲线的一个焦点作倾斜角为45°的直线与曲线交于，两点，求．
例3.已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（　　）
A．16 B．20 C．24 D．32
对点练习
1.过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（ ）
A． B． C． D．
2.过椭圆上的焦点作两条相互垂直的直线，交椭圆于两点，交椭圆于两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例4.已知双曲线：的左 右焦点分别为，，直线与交于，两点，当最小时，四边形的面积为___________.
对点练习
设直线与抛物线相交于 两点，为坐标原点，若，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
综合练习
1.过拋物线：焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，，O为坐标原点，且△的面积为，则抛物线C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
2.经过椭圆(a＞b＞0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为（ ）
A． B． C． D．
3．已知F是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为（ ）
A．6 B．15 C．20 D．12
4．已知双曲线的离心率为，且其顶点到其渐近线的距离为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线：与双曲线交于，两点，若，求的值.
5.直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，且．
（1）求与满足的关系；
（2）求证：点到直线的距离是定值，并求的最小值．
2023届圆锥曲线焦点弦解析
弦长计算公式：
典例分析
例1（1）已知直线与抛物线交于，两点，则______．
【解析】联立，得：，即，
设，，则，，
所以.
（2）已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，则弦的长为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由椭圆得，，所以，
所以右焦点坐标为，则直线的方程为，设，
联立，消y得，，则，
所以.即弦长为.故选：C.
对点练习
已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长（ ）
A． B． C．10 D．
【解析】∵双曲线：的一条渐近线方程是，
∴，即，∵左焦点，∴，∴，∴，，
∴双曲线方程为，直线的方程为，
设，由，消可得，∴，，
∴．故选:C
例2（1）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线与抛物线交于两点，且与的横坐标之和为4，求的值及．
【解析】（1）因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，
所以，的方程为．
（2）设，则，
两式相减得，，
，联立，消去整理得，，
∵直线过抛物线的焦点，．
（2）直线交抛物线于A，B两点．若AB的中点横坐标为2，则弦长为______
【解析】设，易知k=0不合题意，将直线代入抛物线方程得：，所以，
因为AB的中点横坐标为2，所以，
所以，则.
对点练习
1.过抛物线的焦点的直线交于，两点，若，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【解析】方法一：如图，分别过点，作准线的垂线，，垂足分别为，，过点作于点，交轴于点．由已知条件及抛物线的定义，得，，所以．在中，因为，，所以，所以，所以焦点到准线的距离为，即．
方法二：依题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，将其代入抛物线的方程，得．设，，则．因为，所以，即，，所以，解得．
故选：C.
2.椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为
（1）求椭圆的方程
（2）斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，当时，求直线的方程
【解析】（1）因为椭圆经过点，离心率为，
所以，，因为，所以得，
所以椭圆方程为，
（2）设直线l为，设，
由，得，由，得，
由根与系数的关系得，因为，
所以，
解得，所以直线的方程为或
3．已知点，，动点满足条件．记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）过曲线的一个焦点作倾斜角为45°的直线与曲线交于，两点，求．
【解析】（1）因为，
所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线，
所以，所以，所以的方程为：；
（2）不妨设焦点，则直线：
由消去得：．设，，则，，
所以．
例3.已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（　　）
A．16 B．20 C．24 D．32
【解析】抛物线C：的焦点，设直线l1：，直线l2：
由题意可知，则，联立，整理得：
设，，则，
设，，同理可得：
由抛物线的性质可得：，
∴，
当且仅当时，上式“＝”成立．∴的最小值24.故选：C
对点练习
1.过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（ ）
A． B． C． D．
【解析】显然过椭圆焦点的最短弦所在直线l不垂直y轴，设l的方程为：x=my+c，
由消去x并整理得：，
设直线l与椭圆交于点，则有，
则有
，当且仅当时取“=”，
于是，当，即直线l垂直于x轴时，，
所以过椭圆的焦点的最短弦是与焦点所在坐标轴垂直的弦，最短弦长是.
故选：A
2.过椭圆上的焦点作两条相互垂直的直线，交椭圆于两点，交椭圆于两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】当直线有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则直线斜率为0，
此时，，所以，
当直线的斜率都存在且不为0时，不妨设直线的斜率为k，则直线的斜率为，
不妨设直线都过椭圆的右焦点，所以直线，直线，
联立与椭圆T，可得，
，，所以，
同理，所以，
令，因为，所以，所以=，
令，因为，所以，所以，所以，
所以，综上的取值范围是.故选：C
例4.已知双曲线：的左 右焦点分别为，，直线与交于，两点，当最小时，四边形的面积为___________.
【解析】设，由，得，
由韦达定理得，
所以，
当时，有最小值，设到直线的距离分别为，
，
所以四边形的面积为
对点练习
设直线与抛物线相交于 两点，为坐标原点，若，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为直线与抛物线相交于 两点，所以该直线斜率不为零，
设该直线的方程为，其中不同时为零；设 ，
由可得，则，，即；
因此，
又，所以，即，解得；
所以；
又点到直线的距离为，所以的面积为，即面积的取值范围是.故选：D.
综合练习
1.过拋物线：焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，，O为坐标原点，且△的面积为，则抛物线C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题设，令为，联立抛物线方程并整理得，
∴若，则，，又易得，
∴，则，即，
∴， 又，而，
∴，即，又，则，故.故选：D
2.经过椭圆(a＞b＞0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【解析】将或代入椭圆的标准方程得，，
解得，因此，过焦点且垂直于长轴的弦长是.故选：D.
3．已知F是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为（ ）
A．6 B．15 C．20 D．12
【解析】显然直线AB不垂直y轴，椭圆中心为原点O，设直线AB的方程为：x=my，
由消去y得：，设，
由椭圆对称性，不妨令，焦点，
△ABF的面积，当且仅当时取“=”，所以△ABF面积的最大值为12.故选：D
4．已知双曲线的离心率为，且其顶点到其渐近线的距离为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线：与双曲线交于，两点，若，求的值.
【解析】（1）由题得顶点到渐近线，即的距离为，
即，离心率，又，
则可解得，故双曲线方程为；
（2）设，联立可得，
则，解得，
则，解得.
5.直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，且．
（1）求与满足的关系；
（2）求证：点到直线的距离是定值，并求的最小值．
【解析】（1）设点A,B,联立消得,
∴,由得
代入化简可得和满足的关系为:;
（2）由点到直线的距离公式可得:,由(1)得
代入可解得为定值;由直线与双曲线交点弦弦长公式可得:
,令(t≤3)
化简可得,由t≤3可得当,t=3时.

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