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2023届古典概型一轮复习
一、基础知识：
1、基本事件：一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果称为一个基本事件。例如：在扔骰子的试验中，向上的点数1点，2点，……，6点分别构成一个基本事件
2、基本事件空间：一次试验，将所有基本事件组成一个集合，称这个集合为该试验的基本事件空间，用表示。
3、基本事件特点：设一次试验中的基本事件为
（1）基本事件两两互斥
（2）此项试验所产生的事件必由基本事件构成，例如在扔骰子的试验中，设为“出现点”，事件为“点数大于3”，则事件
（3）所有基本事件的并事件为必然事件
由加法公式可得：
因为，所以
4、等可能事件：如果一项试验由个基本事件组成，而且每个基本事件出现的可能性都是相等的，那么每一个基本事件互为等可能事件。
5、等可能事件的概率：如果一项试验由个基本事件组成，且基本事件为等可能事件，则基本事件的概率为
证明：设基本事件为，可知
所以可得
6、古典概型的适用条件：
（1）试验的所有可能出现的基本事件只有有限多个
（2）每个基本事件出现的可能性相等
当满足这两个条件时，事件发生的概率就可以用事件所包含的基本事件个数占基本事件空间的总数的比例进行表示，即
7、运用古典概型解题的步骤：
① 确定基本事件，一般要选择试验中不可再分的结果作为基本事件，一般来说，试验中的具体结果可作为基本事件，例如扔骰子，就以每个具体点数作为基本事件；在排队时就以每种排队情况作为基本事件等，以保证基本事件为等可能事件
② 可通过计数原理（排列，组合）进行计算
③ 要保证中所含的基本事件，均在之中，即事件应在所包含的基本事件中选择符合条件的
二、典例剖析
题型一 简单古典概型的求法
解题要点 求古典概型概率的基本步骤：
(1)算出所有基本事件的个数n.
(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.
(3)代入公式P(A)＝，求出P(A)．
例1　我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A． B． C． D．
变式训练
1.袋中共有个除了颜色外完全相同的球，其中有个白球，个红球．从袋中任取个球，所取的个球中恰有个白球，个红球的概率为
A． B． C． D．
题型二 图形类古典概型
解题要点 将概率问题转为面积占比问题
例2.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则
A． B． C． D．
变式训练
2.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A． B． C． D．
题型三 较复杂古典概型的概率
解题要点 求较复杂事件的概率问题的方法：
(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．
(2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解．
例3　某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4
保 费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数 0 1 2 3 4
概 率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
变式训练
3.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果．
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率
（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和均值（数学期望）．
三、当堂练习
1．从1，2，3，4，5中随机抽三个不同的数，则其和为奇数的概率为________．
2．一枚硬币连掷两次，只有一次出现正面的概率为________．
3. 从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是________．
4．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．
5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
四、课后作业
（一）填空题
1． 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________．
2．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是________．
3．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是________．
4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________．
5．袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是________．
6．从字母a，b，c，d，e中任取两个不同的字母，则取到字母a的概率为________．
7．一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x＋y＝8上的概率为________．
8．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________．
9．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．
10．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．
11．有一质地均匀的正四面体，它的四个面上分别有1,2,3,4四个数字，现将它连续抛掷3次，其底面落于桌面，记三次在正四面体底面的数字和为S，则“S恰好为4”的概率为__________．
（二）解答题
12．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1、b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；
(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．
13．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．
2023届古典概型一轮复习解析
一、基础知识：
1、基本事件：一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果称为一个基本事件。例如：在扔骰子的试验中，向上的点数1点，2点，……，6点分别构成一个基本事件
2、基本事件空间：一次试验，将所有基本事件组成一个集合，称这个集合为该试验的基本事件空间，用表示。
3、基本事件特点：设一次试验中的基本事件为
（1）基本事件两两互斥
（2）此项试验所产生的事件必由基本事件构成，例如在扔骰子的试验中，设为“出现点”，事件为“点数大于3”，则事件
（3）所有基本事件的并事件为必然事件
由加法公式可得：
因为，所以
4、等可能事件：如果一项试验由个基本事件组成，而且每个基本事件出现的可能性都是相等的，那么每一个基本事件互为等可能事件。
5、等可能事件的概率：如果一项试验由个基本事件组成，且基本事件为等可能事件，则基本事件的概率为
证明：设基本事件为，可知
所以可得
6、古典概型的适用条件：
（1）试验的所有可能出现的基本事件只有有限多个
（2）每个基本事件出现的可能性相等
当满足这两个条件时，事件发生的概率就可以用事件所包含的基本事件个数占基本事件空间的总数的比例进行表示，即
7、运用古典概型解题的步骤：
① 确定基本事件，一般要选择试验中不可再分的结果作为基本事件，一般来说，试验中的具体结果可作为基本事件，例如扔骰子，就以每个具体点数作为基本事件；在排队时就以每种排队情况作为基本事件等，以保证基本事件为等可能事件
② 可通过计数原理（排列，组合）进行计算
③ 要保证中所含的基本事件，均在之中，即事件应在所包含的基本事件中选择符合条件的
二、典例剖析
题型一 简单古典概型的求法
解题要点 求古典概型概率的基本步骤：
(1)算出所有基本事件的个数n.
(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.
(3)代入公式P(A)＝，求出P(A)．
例1　我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率，故选C．
变式训练
1.袋中共有个除了颜色外完全相同的球，其中有个白球，个红球．从袋中任取个球，所取的个球中恰有个白球，个红球的概率为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 基本事件总数为，恰有个白球与1个红球的基本事件为，所求概率为．
题型二 图形类古典概型
解题要点 将概率问题转为面积占比问题
例2.如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】通解 设直角三角形的内角，，所对的边分别为，，，则区域I的面积即的面积，为，区域Ⅱ的面积
，所以，由几何概型的知识知，故选A．
优解 不妨设为等腰直角三角形，，则，所以区域I的面积即的面积，为，区域Ⅱ的面积
，区域Ⅲ的面积．
根据几何概型的概率计算公式，得，，所以，
，，故选A．
变式训练
2.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设正方形的边长为，由题意可知太极图的黑色部分的面积是圆的面积的一半，根据几何概型的概率计算，所求概率为．选B．
题型三 较复杂古典概型的概率
解题要点 求较复杂事件的概率问题的方法：
(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解．
(2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解．
例3　某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 0 1 2 3 4
保 费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出险次数 0 1 2 3 4
概 率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
【解析】（Ⅰ）设续保人本年度的保费高于基本保费为事件，
．
（Ⅱ）设续保人保费比基本保费高出为事件，
．
（Ⅲ）解：设本年度所交保费为随机变量．
平均保费
，
∴平均保费与基本保费比值为．
变式训练
3.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果．
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率
（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和均值（数学期望）．
【解析】（1）记“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件．
．
（2）的可能取值为．
．
．
．
故的分布列为
．
三、当堂练习
1．从1，2，3，4，5中随机抽三个不同的数，则其和为奇数的概率为________．
答案
解析 从1，2，3，4，5中随机抽三个不同的数共有(1，2，3)、(1，2，4)、(1，2，5)、(1，3，4)、(1，3，5)、(1，4，5)、(2，3，4)、(2，3，5)、(2，4，5)、(3，4，5)共10种情况，其中(1，2，4)、(1，3，5)、(2，3，4)、(2，4，5)中三个数字和为奇数，所以概率为.
2．一枚硬币连掷两次，只有一次出现正面的概率为________．
答案
解析 一枚硬币连掷两次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，其中只有一次出现正面的概率为P＝＝.
3. 从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是________．
答案
解析 从1,2,3,4中任取2个不同的数，共有的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共有6种不同的情形，其中2个数之差的绝对值为2的情形有(1,3)，(2,4)共两种不同的情形，其概率P＝＝.
4．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________．
答案
解析 五人录用三人共有10种不同方式，分别为：{丙，丁，戊}，{乙，丁，戊}，{乙，丙，戊}，{乙，丙，丁}，{甲，丁，戊}，{甲，丙，戊}，{甲， 丙，丁}，{甲，乙，戊}，{甲，乙，丁}，{甲，乙，丙}．其中含甲或乙的情况有9种.
5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
答案　
解析　这两只球颜色相同的概率为，故两只球颜色不同的概率为1－＝.
四、课后作业
（一）填空题
1． 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________．
答案　0.6
解析　5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，结果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10种．恰有一件次品的结果有6种，则其概率为p＝＝0.6.
2．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是________．
答案
解析 基本事件为：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，红1)，(黑1，红2)，(黑2，黑3)，(黑2，红1)，(黑2，红2)，(黑3，红1)，(黑3，红2)，(红1，红2)共10个结果．同色球为(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(红1，红2)共4个结果，∴P＝.
3．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是________．
答案
解析 从A、B中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种情况，其中两个数之和为4的有(2,2)，(3,1)，故所求概率为＝.
4．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________．
答案　
解析　基本事件的个数有5×3＝15，其中满足b>a的有3种，所以b>a的概率为＝.
5．袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是________．
答案　
解析　该试验中会出现(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共6种等可能的结果，事件“至少摸出1个黑球”所含有的基本事件为(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共5种，据古典概型概率公式，得事件“至少摸出1个黑球”的概率是.
6．从字母a，b，c，d，e中任取两个不同的字母，则取到字母a的概率为________．
答案
解析 从a，b，c，d，e中任取两个，共有如下10种不同的情形：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，其中取到a的有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，共有4种不同的情形，其概率P＝＝.
7．一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x＋y＝8上的概率为________．
答案
解析 依题意，以(x，y)为坐标的点有6×6＝36个，其中落在直线2x＋y＝8上的点有(1,6)，(2,4)，(3,2)共3个．故所求事件的概率P＝＝.
8．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为________．
答案
解析 两人玩游戏，共有6×6＝36种不同的情形，其中满足|a－b|≤1的情形有：若a＝1，b＝1,2；若a＝2，b＝1,2,3；若a＝3，b＝2,3,4；若a＝4，b＝3,4,5；若a＝5，b＝4,5,6；若a＝6，则b＝5,6.共有16种不同的情形，∴他们“心有灵犀”的概率为P＝＝.
9．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．
答案
解析 记2本数学书分别记为1,2,1本语文书记为3，将其排成一行，共有如下6种不同的情形(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)．其中2本数学书相邻的有(1,2,3)，(2,1,3)，(3,1,2)，(3,2,1)共4种不同的情形，∴其概率P＝＝.
10．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．
答案
解析 三人站成一排，有甲乙丙，甲丙乙，乙丙甲，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共6种，其中甲乙相邻的有4种，故所求概率为P＝＝.
11．有一质地均匀的正四面体，它的四个面上分别有1,2,3,4四个数字，现将它连续抛掷3次，其底面落于桌面，记三次在正四面体底面的数字和为S，则“S恰好为4”的概率为__________．
答案
解析 本题是一道古典概型问题．用有序实数对(a，b，c)来记连续抛掷3次得到的数字，总事件中含4×4×4＝64个基本事件，取S＝a＋b＋c，事件“S恰好为4”中包含了(1,1,2)，(1,2,1)，(2,1,1)三个基本事件，则P(S恰好为4)＝＝.
（二）解答题
12．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1、b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．
(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；
(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由．
解析 (1)所有可能结果为：(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a1)，(A2，a2)，(A2，b1)，(A2，b2)；(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2)共计12种结果．
(2)设“中奖”为事件A，则P(A)＝＝，P()＝1－＝，P(A)＜P()，故此种说法不正确．
13．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．
解析 (1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.
(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4.
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2，
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P＝.

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