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2023届圆锥曲线微专题——三角形四心
三角形四心的知识点较多，结论容易混淆，常常放在圆锥曲线中进行综合考查
高中数学三角形的四心分别为重心、垂心、内心和外心。
重心:三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心;
垂心:三角形的三条高或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心:
内心:三角形内切圆的圆心称为内心，内心到三角形三条边的距离相等:
外心:三角形外接圆的圆心称为外心，也是三条边的垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。
一、典例分析
例1.已知点是椭圆上的三点，坐标原点是的重心，若点，直线的斜率恒为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
例2.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的右焦点与点关于直线对称，问：是否存在过右焦点的直线与椭圆交于两点，使的重心恰好在直线上？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
对点练习
1.已知A是双曲线的左顶点，分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，G是的重心，若，则为（ ）
A． B． C． D．与的取值有关
2.已知的三个顶点都在抛物线：，且，抛物线的焦点为的重心，则（ ）
A．40 B．38 C．36 D．34
3.已知为椭圆与抛物线的交点，设椭圆的左右焦点为，抛物线的焦点为，直线将的面积分为9：7两部分.
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）若直线：与椭圆相交于两点，且的重心恰好在圆上，求的取值范围.
例3.已知点P是双曲线（a0，b0）右支上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，M是△PF1F2的内心，若成立，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
例4.如图，已知椭圆的上、右顶点分别为，，是椭圆的右焦点，是椭圆上的点，且（是坐标原点）．
（1）求，的值；
（2）若不过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，试问：当点在直线的上、下方时，的内心是否分别位于某条定直线上？若是，请求出两条定直线的方程；若不是，请说明理由．
对点练习
1．已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，是的内心，当时（其中，分别为点与内心的纵坐标），椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2.已知抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）若斜率为的直线与抛物线交于两点，且点在直线的右上方，求证：△的内心在直线上；
（3）在（2）中，若，求的内切圆半径长．
例5.已知坐标平面中，点，分别为双曲线（）的左、右焦点，点在双曲线的左支上，与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，点为的外心，若、、三点共线，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．3 C． D．5
例6.已知椭圆的左右焦点分别是，是椭圆上一动点(与左右顶点不重合)，已知的内切圆半径的最大值是椭圆的离心率是.
（1）求椭圆的方程；
（2）过作斜率不为0的直线交椭圆于两点，过作垂直于轴的直线交椭圆于另一点，连接，设的外心为，求证：为定值.
对点练习
1.已知椭圆和双曲线其中若两者图像在第二象限的交点为A，椭圆的左右焦点分别为B、C，T为△ABC的外心，则的值为_____.
2.在直角坐标系xOy中直线与抛物线C：交于A，B两点，且．
求C的方程；
若D为直线外一点，且的外心M在C上，求M的坐标．
例7.已知点，在抛物线上，为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
例8.已知①如图，长，宽为的矩形，以 为焦点的椭圆恰好过两点
②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否为椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，记，分别是椭圆与轴相交的下上顶点，若一直线交椭圆于两点，问是否存在直线使得为的垂心.若存在请求出直线的方程，若不存在请说明理由.
对点练习
1.已知分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，若坐标原点恰为的垂心（三角形三条高的交点），则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
2.已知拋物线，为拋物线外一点，过点作抛物线的切线交抛物线于，两点，交轴于，两点.
（1）若，设的面积为，的面积为，求的值；
（2）若，求证：的垂心在定直线上.
二、综合练习
1.已知抛物线：的焦点为，过点的直线交于，两点，的重心为点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
2.已知点，是椭圆的左、右焦点，点是这个椭圆上位于轴上方的点，点是的外心，若存在实数，使得，则当的面积为8时，的最小值为
A．4 B． C． D．
3.椭圆的左、右焦点分别是，是椭圆第一象限上的一点（不包括轴上的点），的重心是，的角平分线交x轴于点（m，0），下列说法正确的有（ ）
A．G的轨迹是椭圆的一部分 B．的长度范围是
C．取值范围是 D．
4.瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
5.已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，若的外心为为坐标原点）,则当最大时，=____.
6.已知点P为双曲线心（，）右支上一点，点、分别为双曲线的左右焦点，点I是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的渐近线方程是________________．
7．若椭圆：的右焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，设为坐标原点，点满足，设直线的斜率为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若为椭圆上一点，且点为△的重心，证明：.
8.双曲线：的左右两个焦点分别为、，为双曲线上一动点，且在第一象限内，已知的重心为，内心为.
（1）若，求的面积；
（2）若，求点的坐标.
9.在双曲线： 中，、分别为双曲线的左、右两个焦点，为双曲线上且在第一象限内的点，的重心为，内心为.
（1）是否存在一点，使得 ？
（2）设为双曲线的左顶点，直线过右焦点，与双曲线交于、两点.若、的斜率、满足，求直线 的方程.
10.已知坐标原点为，双曲线的焦点到其渐近线的距离为，离心率为.
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设过双曲线上动点的直线分别交双曲线的两条渐近线于，两点，求的外心的轨迹方程.
11．如图，已知直线与抛物线相交于两点，，且.
（1）证明：直线AB经过一个定点，并求出定点坐标；
（2）设动点P满足的垂心恰好是，记点C到直线AB距离为d，若，求实数的值.
2023届圆锥曲线微专题——三角形四心解析
三角形四心的知识点较多，结论容易混淆，常常放在圆锥曲线中进行综合考查
高中数学三角形的四心分别为重心、垂心、内心和外心。
重心:三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心;
垂心:三角形的三条高或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心:
内心:三角形内切圆的圆心称为内心，内心到三角形三条边的距离相等:
外心:三角形外接圆的圆心称为外心，也是三条边的垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等。
一、典例分析
例1.已知点是椭圆上的三点，坐标原点是的重心，若点，直线的斜率恒为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设，又
由原点是的重心，得，
即，又是椭圆上的点，
，作差可得：，
即，即，，
故选：D
例2.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知椭圆的右焦点与点关于直线对称，问：是否存在过右焦点的直线与椭圆交于两点，使的重心恰好在直线上？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题可得抛物线的交点为，，则，
所以椭圆的方程为；
（2）可得，则直线的方程为，假设存在符合题意的直线，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易得的重心坐标为，不满足在直线上，舍去；当直线的斜率存在时，设为，显然，则的方程为，设，联立方程得，则，
要使的重心恰好在直线上，则，即，
即，方程无解.综上，不存在满足条件的直线.
对点练习
1.已知A是双曲线的左顶点，分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，G是的重心，若，则为（ ）
A． B． C． D．与的取值有关
【解析】因为G是的重心，所以，又因，所以，
，，，又，，．故选：B．
2.已知的三个顶点都在抛物线：，且，抛物线的焦点为的重心，则（ ）
A．40 B．38 C．36 D．34
【解析】由题意知，解得，所以．设，，则由三角形的重心坐标公式得，化简得，根据抛物线的定义，得，故选：B．
3.已知为椭圆与抛物线的交点，设椭圆的左右焦点为，抛物线的焦点为，直线将的面积分为9：7两部分.
（1）求椭圆及抛物线的方程；
（2）若直线：与椭圆相交于两点，且的重心恰好在圆上，求的取值范围.
【解析】（1）为椭圆与抛物线的交点，；；
又直线将的面积分为9：7两部分；
，解之可得：，抛物线的方程为：；椭圆的方程为：
（2）设，，由得
由，得…（※），且
由重心恰好在圆上，得
即，即
∴，化简得，代入（※）得，
又设，，
当且仅当时，取等号，∴，则实数的取值范围为或
例3.已知点P是双曲线（a0，b0）右支上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，M是△PF1F2的内心，若成立，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【解析】
如图，设圆M与的三边分别相切于点E，F，G，连接ME，MF，MG，则，设r为内切圆M的半径，
，
，，
化简得：，由双曲线的定义可得：，∴离心率，故选：D.
例4.如图，已知椭圆的上、右顶点分别为，，是椭圆的右焦点，是椭圆上的点，且（是坐标原点）．
（1）求，的值；
（2）若不过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，试问：当点在直线的上、下方时，的内心是否分别位于某条定直线上？若是，请求出两条定直线的方程；若不是，请说明理由．
【解析】（1）设点，因为，所以，所以，
又是椭圆上的点，所以即，
所以，，所以，；
（2）由题意设直线，即，
设，，由（Ⅰ）得椭圆方程为，则，消去x得，由可得，则，，因为，，
所以
；所以当点在直线的上方时，的平分线为直线，所以此时内心位于定直线上；当点在直线的下方时，的平分线为直线，所以此时内心位于定直线上.
对点练习
1．已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，是的内心，当时（其中，分别为点与内心的纵坐标），椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设，不妨设，如图，
设三角形内切圆的半径为r，由三角形内切圆的性质可得:
，解得：，,因为，
所以，解得，所以，故选：C
2.已知抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为．
（1）求抛物线的方程；
（2）若斜率为的直线与抛物线交于两点，且点在直线的右上方，求证：△的内心在直线上；
（3）在（2）中，若，求的内切圆半径长．
【解析】（1）根据抛物线定义可得，解得
所以抛物线的方程为
（2）证明：由（1）得，设直线方程为， ，
由 得，所以，
又，，
所以
因此的角平分线为，即的内心在直线上
（3）由（II）得，直线的倾斜角分别为，
所以，直线，所以，
，解方程得，
同理
因为，设的内切圆半径为，所以，所以
例5.已知坐标平面中，点，分别为双曲线（）的左、右焦点，点在双曲线的左支上，与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，点为的外心，若、、三点共线，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．3 C． D．5
【解析】不妨设点在第二象限，设，，
由为的中点，、、三点共线知直线垂直平分，则，
故有，且，解得，，
将，即，代入双曲线的方程可得，化简可得，即，当点在第三象限时，同理可得.故选：C.
例6.已知椭圆的左右焦点分别是，是椭圆上一动点(与左右顶点不重合)，已知的内切圆半径的最大值是椭圆的离心率是.
（1）求椭圆的方程；
（2）过作斜率不为0的直线交椭圆于两点，过作垂直于轴的直线交椭圆于另一点，连接，设的外心为，求证：为定值.
【解析】（1）由题意知∶，∴a=2c，，
设△的内切圆半径为r，则.
故当面积最大时，r最大，即P点位于椭圆短轴顶点时，
所以，把a=2c，代入，解得∶a=2，，
所以椭圆方程为
（2）由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB为，
代入椭圆方程得.，
设，则，，
因此可得，所以AB的中点坐标为(，)
因为G是△ABQ的外心，所以G是线段AB的垂直平分线与线段BQ的垂直平分线的交点，由题意可知B，Q关于y轴对称，故，
AB的垂直平分线方程为
令y=0，得，即G(，0)，所以
又
=，故，所以为定值，定值为4.
对点练习
1.已知椭圆和双曲线其中若两者图像在第二象限的交点为A，椭圆的左右焦点分别为B、C，T为△ABC的外心，则的值为_____.
【解析】已知椭圆和双曲线
焦距相等所以焦点相同，设，
为两曲线在第二象限的交点，，，，
设，，
，
，因为为中点，△ABC的外心在轴上，，
2.在直角坐标系xOy中直线与抛物线C：交于A，B两点，且．
求C的方程；
若D为直线外一点，且的外心M在C上，求M的坐标．
【解析】（1）联立得， 设A(
则，.
从而.
，，
即，解得.故的方程为.
（2）设线段的中点为.
由（1）知，，.
则线段的中垂线方程为，即.
联立得，解得或4.
从而的外心的坐标为或.
例7.已知点，在抛物线上，为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【解析】如图所示，为的垂心，为焦点，
，垂直平分线段，直线垂直于轴．
设，，其中．为垂心，，，
即，解得，直线的方程为，即．故选：C．
例8.已知①如图，长，宽为的矩形，以 为焦点的椭圆恰好过两点
②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否为椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，记，分别是椭圆与轴相交的下上顶点，若一直线交椭圆于两点，问是否存在直线使得为的垂心.若存在请求出直线的方程，若不存在请说明理由.
【解析】（1）选择条件①：由题意得，由已知条件
，故M轨迹为椭圆，标准方程为.
选择条件②：∥，故，，
又，
所以根据椭圆的定义可得M点是以，为焦点的椭圆，其中，
又直线与轴不重合，故M不在x轴上，故，
则M点的轨迹方程为：不是椭圆；
（2）假设存在直线交椭圆于P、Q两点，且B恰好为的垂心，则设，
，，，，，
于是设直线方程为，联立直线和椭圆方程可得：
，，根据韦达定理可知，又，，，根据，，
代入得到
，
将韦达定理代入上式可得
整理后可得，解得（舍去），，
所以存在直线，且直线方程为.
对点练习
1.已知分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，若坐标原点恰为的垂心（三角形三条高的交点），则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解析】，则双曲线的渐近线为，则当时，，
设，∵若坐标原点恰为△ABF2的垂心，
∴OA⊥BF2，即，即，则，即，
∵ ∴，则，则离心率，故选C．
2.已知拋物线，为拋物线外一点，过点作抛物线的切线交抛物线于，两点，交轴于，两点.
（1）若，设的面积为，的面积为，求的值；
（2）若，求证：的垂心在定直线上.
【解析】（1）设，，由得，所以，所以直线的斜率为.
∴直线的方程为，整理得①，
同理可得的方程为②，∵，均过，
∴，∴直线既过，也过，
∴直线的方程为：，
设与轴交于点，则，所以，
在①式中令，∴，同理，
∴，∴.
（2）仿照（1）知方程为，，，，，
由∴.∵为的垂心，
设，，，由，
∴，
∴，故的垂心在定直线上.
二、综合练习
1.已知抛物线：的焦点为，过点的直线交于，两点，的重心为点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【解析】由题意，抛物线为，可令直线为，若，，
∴联立直线与抛物线得且，则，
∴，又的重心为点，即，
∴，则到直线的距离，
∴当时，.故选：C.
2.已知点，是椭圆的左、右焦点，点是这个椭圆上位于轴上方的点，点是的外心，若存在实数，使得，则当的面积为8时，的最小值为
A．4 B． C． D．
【解析】由于外心在的垂直平分线上,故外心在轴上,而方向朝着轴的负半轴,故点位于椭圆的上顶点,此时三角形面积为.所以,故选.
3.椭圆的左、右焦点分别是，是椭圆第一象限上的一点（不包括轴上的点），的重心是，的角平分线交x轴于点（m，0），下列说法正确的有（ ）
A．G的轨迹是椭圆的一部分 B．的长度范围是
C．取值范围是 D．
【解析】设重心，又，
∴ ，即，又是椭圆上一点，
∴，即，故A正确；
∵G的轨迹是椭圆的一部分，长半轴长为，短半轴长为，
∴，故B错误；
根据内角平分线定理可知，，又，∴，故C正确；
同样利用内角平分线定理与焦半径公式，由可知，，
∴，故D正确.
故选：ACD.
4.瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线与轴及双曲线的两条渐近线的三个不同交点构成集合，且恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合.若的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设，由，得，得，
由，得，得，由，得，得，
，，
，若为重心、为外心、为垂心，则，所以，化简得，此时双曲线的离心率，若为重心、为垂心、为外心，则，
所以，化简得不成立；若为重心、为垂心、为外心，则，所以，化简得，此时双曲线的离心率，若为重心，为垂心、为外心，则，
，化简得，此时双曲线的离心率；
若为重心、为垂心、为外心，则，
所以，化简得或，
此时双曲线的离心率或，
若为重心，为垂心、为外心，则，
所以，化简得或都不成立.
综上所述：或或或.故选：ABD
5.已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，若的外心为为坐标原点）,则当最大时，=____.
【解析】由题意知,为外接圆的半径，
在中,由正弦定理可知,(R为外接圆的半径),
当,即时,取得最大值2.
设,,易知,,则,得,即.设直线的方程为,即,代入得,,
则,,所以,解得.故.
6.已知点P为双曲线心（，）右支上一点，点、分别为双曲线的左右焦点，点I是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的渐近线方程是________________．
【解析】设的内切圆的半径为，由双曲线的定义可得，
则，因为，所以，可得，故，可得，所以，所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
7．若椭圆：的右焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，设为坐标原点，点满足，设直线的斜率为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若为椭圆上一点，且点为△的重心，证明：.
【解析】（1）设，，则，又，在椭圆上，
∴，两式作差，整理得：，
∴，又，∴，，故椭圆的方程为；
（2）设直线的方程为，
与椭圆联立并整理得：，，
∴，则，
又恰为△的重心，故坐标为，即
因为在椭圆上，即，解得，
∴，而，，
故；∴.
8.双曲线：的左右两个焦点分别为、，为双曲线上一动点，且在第一象限内，已知的重心为，内心为.
（1）若，求的面积；
（2）若，求点的坐标.
【解析】（1）设， ， ，解得，
..
（2）设，则.设的内切圆半径为，
则，
于是，.
由知，，即.
又，可得.因此，，
又点在第一象限，解得，（舍负），故.
9.在双曲线： 中，、分别为双曲线的左、右两个焦点，为双曲线上且在第一象限内的点，的重心为，内心为.
（1）是否存在一点，使得 ？
（2）设为双曲线的左顶点，直线过右焦点，与双曲线交于、两点.若、的斜率、满足，求直线 的方程.
【解析】(1)假设存在点使得
由为的重心,知.而为的内心,设的
内切圆半径为.则
由,知,
又,解得 .
从而, 由点在第一象限,解得:(舍负).
故存在点,使得.
(2)由题意,设过点的直线方程为,直线与椭圆交于点
由，.
由韦达定理得
又，
，
则.
故所求直线的方程为.
10.已知坐标原点为，双曲线的焦点到其渐近线的距离为，离心率为.
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）设过双曲线上动点的直线分别交双曲线的两条渐近线于，两点，求的外心的轨迹方程.
【解析】（Ⅰ）由已知可得：且，
即，，所以双曲线的方程为；
（Ⅱ）设，，且由已知得，渐近线方程为，
联立，解得：，所以；
联立，解得：，所以；
法一：设的外心，则由得：
即——①，同理——②，①②两式相乘得，又∵
所以的外心的轨迹方程为；
法二：设的外心，
线段的中垂线方程为：，线段的中垂线方程为：，联立，解得
∵，
即，代入得
所以的外心的轨迹方程为；
11．如图，已知直线与抛物线相交于两点，，且.
（1）证明：直线AB经过一个定点，并求出定点坐标；
（2）设动点P满足的垂心恰好是，记点C到直线AB距离为d，若，求实数的值.
【解析】（1）联立与消去化简整理得：.设，，
则，.由可知.又，，
所以
，所以，
即，所以.
所以直线，即，所以它经过定点.
（2）由（1）可知：.因为E是的垂心，所以，且.
由得，即①.
设，则②，
又，，
所以③，
由①②③得：，即，
同理：由可得：.
所以，是方程的两组解，
故此方程表示直线.又因为直线，
所以，，解得：，.
所以.所以.
①当时，，解得.
②当时，，解得.
综上所述：，或.

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