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第三章：圆的基本性质复习学案一答案
一．圆的基本概念：
例1.(1)．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ）
A．30° B．90° C．120° D．180°
答案：C
解析：∵360°÷3=120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故选C．
（2）．在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则弧AB=2弧CD；④若，则.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：A
解析：①若，则，正确；
②若，则，故不正确；
③由不能得到弧AB=2弧CD，故不正确；
④若，则，错误.
故选A.
（3）已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（　　）
A．4 B．8 C．10 D．12
答案：D
解析：因为圆中最长的弦为直径，所以弦长L≤10．
故选：D．
(4)已知的半径是3，若，则点A（ ）
A．在上 B．在内 C．在外 D．无法判定
答案：A
解析：∵⊙O的半径是3，OA=3，3=3，
∴点A在⊙O上，
故选：A．
（5）．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：由旋转可知，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴，
∵，
∴，故A选项错误，不符合题意；
由旋转可知，
∵为钝角，
∴，
∴，故B选项错误，不符合题意；
∵，
∴，故C选项错误，不符合题意；
由旋转可知，
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∴，
∴，故D选项正确，符合题意；
故选D．
（6）．如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：∵绕点顺时针旋转得到，
∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，
∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=，
∴选项A、C不一定正确，
∴∠A =∠EBC，
∴选项D正确．
∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于，
∴选项B不一定正确；
故选D．
1.已知的半径为2，点到圆心的距离为1.5，则点在（ ）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
答案：C
解析： ∵⊙O 的半径为2，点 P 到圆心 O 的距离为1.5，且 1.5<2 ，
∴ 点 P 在圆内，
故选：C．
2.已知⊙O的直径为4，若，则点与⊙O的位置关系是（　　）
A．点在⊙O上 B．点在⊙O内 C．点在⊙O外 D．无法判断
答案：C
解析：由⊙O的直径为4，可知圆的半径为r=2，又因为，可得4＞2，所以点P在⊙O外；
故答案为：C．
3.如图，△DEC 是由△ABC 绕点 C 顺时针旋转 30°所得，边 DE，AC 相交于点 F．若∠A＝35°，则∠EFC 的度数为（ 　　 ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
答案：D
解析：∵△DEC 是由△ABC 绕点 C 顺时针旋转 30°所得，
∴∠A=∠D=35°，∠ACD=30°，
∴∠EFC=∠D+∠ACD=65°，
故选：D．
4．如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转角度（）得到．若，则的值为（ ）
A．65° B．75° C．85° D．95°
答案：B
解析：∵在中，，，
∴，
∵将绕点A逆时针旋转角度（）得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴旋转角的度数是，
故选：B．
二．垂径定理：
例2.（1）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
答案：B
解析：连接OC，如图
∵AB 为⊙O 的直径，CDAB，垂足为点 E，CD=8，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：B．
（2）如图，AB是⊙O的一条弦， ， =120°，点D在⊙O上，CD⊥AB于点C，BC－AC=12，则CD的长为（　　）
A． B． C．13 D．12
答案：C
解析：过点O作OF⊥AB于点F，OE⊥DC于点E，
∴BF=，∠BFO=∠DEO=∠CFO=∠CEO=∠ECF=90°，
∴四边形CEFO是矩形，
∴CE=OF，CF=OE
∵弧AB=120°，
∴∠BOF=×120°=60°，
∴∠B=90°-60°=30°，
∴设OB=2OF=2x
在Rt△BOF中
解之：x=5（取正值）
∴OB=OD=2×5=10，OF=5
∵
解之：BC=6+
∴CF=BC-BF=6+-=6
∴OE=6，CE=5
在Rt△DOE中
∴CD=CE+DE=5+8=13.
故答案为：C.
（3）．如图，在⊙O中，CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，连接AC、OD，∠A＝26°，则∠D的度数是（　　）
A．26° B．38° C．52° D．64°
答案：B
解析：连接OC，
∵CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，
∴，
∴∠COB＝∠BOD，
∵∠A＝26°，
∴∠COB＝2∠A＝52°，
∴∠BOD＝52°，
∴∠D＝90°﹣∠BOD＝90°﹣52°＝38°．
故选：B．
1．如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（　　）
A．12 B．15 C．16 D．18
答案：A
解析：∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB=8，
∴AC=BC=AB=4．
设OA=r，则OC=r﹣2，
在Rt△AOC中，
∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5，
∴AE=10，
∴BE= ，
∴△BCE的面积=BC BE=×4×6=12．
故选A．
2．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（　　）
A．4 B．6 C．6 D．8
答案：D
解析：过作于，连接，则，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
过，
，
即，
故选：D．
3．如图，在等边中，，点为的中点，动点分别在上，且，作的外接圆，交于点．当动点从点向点运动时，线段长度的变化情况为（ ）
A．一直不变 B．一直变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小
答案：D
如图，连接BO， EO， FO， GO， HO，过点O作ON⊥EF于N， OP⊥GH于P，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°
∴∠EOF= 120，
∵OE= OF， ON⊥EF，
∠OEF=∠OFE= 30°
EN= FN=，
OF= 2ON， FN =ON，
ON= 1，FO= 2，
OB=GO=OH=2，
∴点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，
∴ OG = OH， OP⊥GH，
∴GH = 2PH，
∵PH=
∵动点E从点D向点A运动时，OP的长是先变小再变大，
∴ GH的长度是先变大再变小，
故选： D．
例3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P⊙O上，∠1=∠C．
（1）求证：CB∥PD；（2）若∠ABC=55°，求∠P的度数．
解析：（1）如图，∵∠1=∠C，∠P=∠C，
∴∠1=∠P，
∴CB∥PD；
（2）∵CD⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∵∠CBE=55°，
∴∠C=90°﹣55°=35°，
∴∠P=∠C=35°.
如图，AB是的直径，弦于点E．若，，求弦CD．
解析：连接OC，如图，
∵AB为直径，弦CD⊥AB，
∴CE=DE，
∵AB=8，
∴OA=OC=4，
∴OE=OA-AE=4-1=3，
在Rt△OCE中，CE=，
∴CD=2CE=．
例4.(1)如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，则∠α度数为（ ）
A．160o B．120o C．100o D．80o
答案：A
解析：如图，在⊙O取点，连接
四边形为⊙O的内接四边形，
．
故选A
（2）．如图，AB为的直径，C，D为上的两点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
答案：
解析：连接AD，如图，
AB为的直径，
，
，
．
故选B．
(3)．如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=25°，
∴∠BAC=90°-25°=65°，
∴∠BDC=∠BAC=65°，
故选：D．
（4）．以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB＝25°，则∠OCD＝（ ）
A．50° B．40° C．70° D．30°
答案：C
解析：∵∠DAB=25°，
∴∠BOD=2∠DAB=50°，
∴∠COD=90°-50°=40°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=（180°-∠COD）=70°，
故选：C．
1．如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：∵C ，D是⊙O上直径AB两侧的两点，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=25°，
∴∠BAC=90°-25°=65°，
∴∠BDC=∠BAC=65°，
故选：D．
2.如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（　　）
A．95° B．100° C．105° D．130°
答案：B
解析：∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°，
∵∠DOE＝130°，
∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，
故选：B．
3.如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（　　）
A．45° B．60° C．75° D．90°
答案：D
解析：连接BE，
∵∠BEC＝∠BAC＝15°，∠CED＝30°，
∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°，
∴∠BOD＝2∠BED＝90°．
故选：D．
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复习作业
一．选择题：
1.下列叙述正确的是（ ）
A．平分弦的直径必垂直于弦 B．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．等圆中，相等的弦所对的弧也相等
2．如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．8
3．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝（　　）
A．30° B．50° C．70° D．80°
4.如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（ ）
A．45° B．30° C．75° D．60°
5．如图，在直角坐标系中，点A（0，3）、点B（4，3）、点C（0，﹣1），则△ABC外接圆的半径为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
6.如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（　　）
A．2 B．2 C． D．1
二．填空题：
7.如图，是的直径，是的弦，，则________°
8.⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为_______
9．如图，点A，点B，点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝_____
10.如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为_____
三．解答题：
11．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，点D是的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：DF＝DE；（2）若BD＝6，CE＝8，求⊙O的半径．
12.如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．
13．如图，已知△ABC内接于⊙O，AD、AE分别平分∠BAC和△BAC的外角∠BAF，且分别交圆于点D、F，连接DE，CD，DE与BC相交于点G．
（1）求证：DE是△ABC的外接圆的直径；（2）设OG=3，CD=，求⊙O的半径．
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第三章：圆的基本性质复习学案一
一．圆的基本概念：
例1.(1)．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ）
A．30° B．90° C．120° D．180°
（2）．在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则弧AB=2弧CD；④若，则.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（3）已知AB是半径为5的圆的一条弦，则AB的长不可能是（　　）
A．4 B．8 C．10 D．12
(4)已知的半径是3，若，则点A（ ）
A．在上 B．在内 C．在外 D．无法判定
（5）．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
（6）．如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
1.已知的半径为2，点到圆心的距离为1.5，则点在（ ）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
2.已知⊙O的直径为4，若，则点与⊙O的位置关系是（　　）
A．点在⊙O上 B．点在⊙O内 C．点在⊙O外 D．无法判断
3.如图，△DEC 是由△ABC 绕点 C 顺时针旋转 30°所得，边 DE，AC 相交于点 F．若∠A＝35°，则∠EFC 的度数为（ 　　 ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
4．如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转角度（）得到．若，则的值为（ ）
A．65° B．75° C．85° D．95°
二．垂径定理：
例2.（1）如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
（2）如图，AB是⊙O的一条弦，，，点D在⊙O上，CD⊥AB于点C，BC－AC=12，则CD的长为（　　）
A． B． C．13 D．12
（3）．如图，在⊙O中，CD是⊙O上的一条弦，直径AB⊥CD，连接AC、OD，∠A＝26°，则∠D的度数是（　　）
A．26° B．38° C．52° D．64°
1．如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（　　）
A．12 B．15 C．16 D．18
2．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（　　）
A．4 B．6 C．6 D．8
3．如图，在等边中，，点为的中点，动点分别在上，且，作的外接圆，交于点．当动点从点向点运动时，线段长度的变化情况为（ ）
A．一直不变 B．一直变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小
例3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P⊙O上，∠1=∠C．
（1）求证：CB∥PD；（2）若∠ABC=55°，求∠P的度数．
如图，AB是的直径，弦于点E．若，，求弦CD．
三．圆心角和圆周角：
例4.(1)如图，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=100o，则∠α度数为（ ）
A．160o B．120o C．100o D．80o
（2）．如图，AB为的直径，C，D为上的两点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
(3)．如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ）
A． B． C． D．
（4）．以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB＝25°，则∠OCD＝（ ）
A．50° B．40° C．70° D．30°
1．如图，，是上直径两侧的两点．设，则（ ）
A． B． C． D．
2.如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（　　）
A．95° B．100° C．105° D．130°
3.如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠BAC＝15°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（　　）
A．45° B．60° C．75° D．90°
试卷第1页，共3页
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复习作业答案
一．选择题：
1.答案：B
解析：A选项，应注明该弦不能是直径，故错误；
B选项，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故正确；
C选项，只有在同圆或等圆中，才有相等的圆心角所对的弧相等，故错误；
D选项，等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故A错误；
故选择B.
2.答案：C
解析：如图，连接OC，
∵AB＝12，
∴OC＝OB＝6，
∵PB＝2，
∴OP＝4，
在Rt△OPC中，CP＝，
∵CD⊥AB，
∴CP＝DP，
∴CD＝2PC＝．
故选：C．
3.答案：C
解析：∵，∠CAD＝30°，
∴∠CAD＝∠CAB＝30°，
∴∠DBC＝∠DAC＝30°，
∵∠ACD＝50°，
∴∠ABD＝50°，
∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．
故选：C．
4.答案：D
解析：作半径OC⊥AB于点D，连结OA，OB，
∵将O沿弦AB折叠，圆弧较好经过圆心O，∴OD=CD，OD=OC=OA，
∴∠OAD=30°（30°所对的直角边等于斜边的一半），同理∠OBD=30°，∴∠AOB=120°，
∴∠APB=∠AOB=60°.（圆周角等于圆心角的一半）
故选D.
5.答案：D
解析：连接AB、BC，如图，
∵A（0，3）、B（4，3），
∴AB⊥y轴，
∴∠BAC＝90°，
∴BC为△ABC外接圆的直径，
∵AC＝3+1＝4，AB＝4，
∴BC＝＝4，
∴△ABC外接圆的半径为2．
故选：D．
6.答案：A
解析：连接AD、AE、OD、OC、OE，过点O作OH⊥CE于点H，
∵∠DCE＝100°，∴∠DAE＝180°﹣∠DCE＝80°，
∵点D关于AB对称的点为E，∴∠BAD＝∠BAE＝40°，
∴∠BOD＝∠BOE＝80°，
∵点C是的中点，∴∠BOC＝∠COD＝40°，
∴∠COE＝∠BOC+∠BOE＝120°，
∵OE＝OC，OH⊥CE，∴EH＝CH，∠OEC＝∠OCE＝30°，
∵直径AB＝4，∴OE＝OC＝2，
∴EH＝CH＝，∴CE＝2．
故选：A．
二．填空题：
7.答案：50
解析：如图所示，连接BC∴∠ADC=∠ABC
∵AB是直径∴∠ACB=90°∵∠BAC=40°∴∠ABC=180°-90°-40°=50° ∴∠ADC=∠ABC=50°
故答案为：50.
8.答案：1cm或7cm．
解析：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1
∵AB＝8cm，CD＝6cm，∴AE＝4cm，CF＝3cm，
∵OA＝OC＝5cm，∴EO＝3cm，OF＝4cm，∴EF＝4 3＝1cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，
∵AB＝8cm，CD＝6cm，∴AE＝4cm，CF＝3cm，
∵OA＝OC＝5cm，∴EO＝3cm，OF＝4cm，∴EF＝OF＋OE＝7cm．
∴AB与CD之间的距离为1cm或7cm．
故填1cm或7cm．
9.答案：
解析：如图，连接AO，BO，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，∠OAB＝∠OBA，
∵AB＝BC，
∴∠BOC＝∠AOB，
∴∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝（180°﹣∠BOC）＝∠OBC，
∵∠ABC＝40°，OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝20°．
故答案为：20°．
10.答案：
解：连接OB，OA′，AA′，∵AA′关于直线MN对称，∴
∵∠AMN=40°，∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，∴∠A′OB=120°，
过O作OQ⊥A′B于Q，在Rt△A′OQ中，OA′=2，∴A′B=2A′Q=，
即PA+PB的最小值.
三．解答题：
11．解析：（1）连接AD，
∵点D是的中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴CD＝BD，
在△CAD和△BAD中，
，
∴△CAD≌△BAD（SAS），
∴∠ACD＝∠ABD，
∴∠DCE＝∠DBF，
在△CED和△BFD中，
，
∴△CED≌△BFD（ASA），
∴DF＝DE；
（2）∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠DBF＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠DBF，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ECD＝∠ABD＝90°，
∴AD是⊙O的直径，
∵CD＝BD＝6，CE＝8，
∴DE＝＝10，
∴EB＝10+6＝16，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
设AB＝AC＝x，则x2+162＝（x+8）2，
解得x＝12，
∴AB＝12，
在Rt△ABD中，AB2+BD2＝AD2，
∴AD＝＝6，
∴⊙O的半径为3．
12.解析：（1）连接OD，如图：
∵M是CD的中点，CD＝12，
∴DM＝CD＝6，OM⊥CD，∠OMD＝90°，
Rt△OMD中，OD＝，且OM＝3，
∴OD＝＝3，即圆O的半径长为3；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，如图：
∵AB⊥CD，CE＝EF，
∴AB是CF的垂直平分线，
∴AF＝AC，即△ACF是等腰三角形，
∵CE＝EF，
∴∠FAE＝∠CAE，
∵＝，
∴∠CAE＝∠CDB，
∴∠FAE＝∠CDB，
Rt△BDE中，∠CDB+∠B＝90°，
∴∠FAE+∠B＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AG⊥BD，即AF⊥BD．
13.解析：（1）∵AD、AE分别平分∠BAC和△BAC的外角∠BAF，
∴∠1=∠2，∠3=∠EAF，
∵∠1+∠2+∠3+∠EAF=180°，
∴∠2+∠3=90°，
即∠DAE=90°，
∴DE是△ABC的外接圆的直径；
（2）解：连接OC，如图所示：
设⊙O的半径为r，
则OD=OC=r，DG=r﹣3，
∵∠1=∠2，
∴，
∴OD⊥BC，
∴∠OGC=∠DGC=90°，
由勾股定理得：CG2=CD2﹣DG2，CG2=OC2﹣OG2，
∴CD2﹣DG2=OC2﹣OG2，
即（ ）2﹣（r﹣3）2=r2﹣32，
解得：r=5，或r=﹣2（不合题意，舍去），
∴⊙O的半径为5．
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