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等腰三角形存在性问题
1、如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；
（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？
2、（2012山东临沂）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
3、在平面直角坐标系xoy中， 一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边 AB在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．
（1）请直接写出点B、C的坐标：B（ ， ）、C（ ， ）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；
（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C． 此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．
①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；
②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4、如图，直线l1经过点A（－1，0），直线l2经过点B(3，0), l1、l2均为与y轴交于点C(0，)，抛物线经过A、B、C三点。
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴依次与轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G。求证：DE=EF=FG;
(3)若l1⊥l2于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使△PCG为等腰三角形，请写出符合条件的点P的坐标，并简述理由。
答 案
等腰三角形
1、解：（1）N（3，4）。
∵A（6，0）
∴可设经过O、A、N三点的抛物线的解析式为：y=ax（x﹣6），则将N（3，4）代入得
4=3a（3﹣6），解得a=﹣。
∴抛物线的解析式：。
（2）存在。过点N作NC⊥OA于C，
由题意，AN=t，AM=OA﹣OM=6﹣t，
∴NC=NA?sin∠BAO=。
∴。
∴△MNA的面积有最大值，且最大值为6。
（3）在Rt△NCA中，AN=t，NC=AN?sin∠BAO=，AC=AN?cos∠BAO=t。
∴OC=OA﹣AC=6﹣t。∴N（6﹣t，）。
∴。
又AM=6﹣t且0＜t＜6，
①当MN=AN时， ，即t2﹣8t+12=0，解得t1=2，t2=6（舍去）。
②当MN=MA时，，即，解得t1=0（舍去），t2=。
③当AM=AN时，6﹣t=t，即t=。
综上所述，当t的值取 2或或 时，△MAN是等腰三角形。
2、【答案】解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°。
∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°。
又∵OA=OB=4，
∴OC=OB=×4=2，BC=OB?sin60°=。
∴点B的坐标为（﹣2，﹣）。
（2）∵抛物线过原点O和点A．B，
∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2，﹣）代入，得
，解得。
∴此抛物线的解析式为。

∴y=不符合题意，舍去。
∴点P的坐标为（2，﹣）。
②若OB=PB，则42+|y+|2=42，解得y=﹣。
∴点P的坐标为（2，﹣）。
③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+|2，解得y=﹣。
∴点P的坐标为（2，﹣）。
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣）。
3、（1）B（3，0），C（0，）
解：法1： 设过A、B、C三点的抛物线为，则
∵A（—1，0）B（3，0） ∴
又∵C（0，）在抛物线上 ∴
∴∴ 即
（2）①解：当△OCE∽△OBC时，则 ∵， OE=AE—AO=， OB=3
∴ ∴ ∴当时，△OCE∽△OBC．
（2）②解：存在点P. 理由如下： 由①可知 ∴OE=1 ∴E（1，0） 此时，△CAE为等边三角形
∴∠AEC=∠A=60°
又∵∠CEM=60° ∴∠MEB=60° ∴点C与点M关于抛物线的对称轴对称.
∵C（0，） ∴M
过M作MN⊥轴于点N（2，0） ∴MN= ∴ EN=1 ∴ EM=
若△PEM为等腰三角形,则:
ⅰ)当EP=EM时, ∵EM=2，且点P在直线上 ∴P(1，2)或P(1，—2)
ⅱ）当EM=PM时,点M在EP的垂直平分线上 ∴P(1，2)
ⅲ）当PE=PM时，点P是线段EM的垂直平分线与直线的交点 ∴P(1，)
∴综上所述，存在P点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，）或（1，）时，△EPM为等腰三角形．
4、【答案】解：（1）∵抛物线经过A（－1，0），B（3，0），C（0，）三点，
∴ ，解得。∴抛物线的解析式为：．
（2）证明：设直线l1的解析式为y=kx+b，由直线l1经过A（－1，0），C（0，），得
∴，解得，∴直线l1的解析式为：y=-x 。
直线l2经过B（3，0），C（0，）两点，同理可求得直线l2解析式为：y= x 。
∵抛物线，
∴对称轴为x=1，D（1，0），顶点坐标为F（1， ）。
点E为x=1与直线l2：y= x的交点，令x=1，得y= ，∴E（1， ）。
点G为x=1与直线l1：y=-x 的交点，令x=1，得y= ，∴G（1，）。
∴各点坐标为：D（1，0），E（1， ），F（1，），G（1， ），它们均位于对称轴x=1上。
∴DE=EF=FG=。
（3）如图，过C点作C关于对称轴x=1的对称点P1，CP1交对称轴于H点，连接CF，PG。
△PCG为等腰三角形，有三种情况：
①当CG=PG时，如图，由抛物线的对称性可知，此时P1满足P1G=CG。
∵C（0，），对称轴x=1，∴P1（2， ）。
②当CG=PC时，此时P点在抛物线上，且CP的长度等于CG。
如图，C（1， ），H点在x=1上，∴H（1，）。
在Rt△CHG中，CH=1，HG=|yG－yH|=| －（）|= ，
∴由勾股定理得：。∴PC=2．
如图，CP1=2，此时与①中情形重合。
又Rt△OAC中，，∴点A满足PC=2的条件，但点A、C、G在同一条直线上，所以不能构成等腰三角形。
③当PC=PG时，此时P点位于线段CG的垂直平分线上.
∵l1⊥l2，∴△ECG为直角三角形。
由（2）可知，EF=FG，即F为斜边EG的中点。
∴CF=FG，∴F为满足条件的P点，∴P2（1，）。
又，∴∠CGE=30°。∴∠HCG=60°。
又P1C=CG，∴△P1CG为等边三角形。
∴P1点也在CG的垂直平分线上，此种情形与①重合。
综上所述，P点的坐标为P1（2， ）或P2（1， ）。

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