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直角三角形存在性问题
1、如图，对称轴为的抛物线与轴相交于点、.
(1）求抛物线的解析式，并求出顶点的坐标；
(2)连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线.点P是上一动点.设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为，当0＜S≤18时，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当取最大值时，抛物线上是否存在点，使△OP为直角三角形且OP为直角边.若存在,直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.
2. （2012山东枣庄10分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (－1，0) ．如图所示，B点在抛物线y＝x2＋x－2图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3．
（1）求证：△BDC≌△COA； （2）求BC所在直线的函数关系式；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3、（2012内蒙古）如图，抛物线与x轴交于A．B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AF的解析式；
（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
4、如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的图象过点，并与直线相交于、 两点.
求抛物线的解析式（关系式）；
过点作交轴于点，求点的坐标；
除点外，在坐标轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

直角三角形
1、解：（1）∵点B与O（0，0）关于x=3对称, ∴点B坐标为（6，0）.
将点B坐标代入得： 36+12=0, ∴=. ∴抛物线解析式为.
当=3时，, ∴顶点A坐标为（3，3）
（2）设直线AB解析式为y=kx+b.
∵A(3,3),B(6,0),∴ 解得, ∴.
∵直线∥AB且过点O,∴直线解析式为.∵点是上一动点且横坐标为,∴点坐标为（）
当在第四象限时（t＞0），=12×6×3+×6×=9+3.
∵0＜S≤18,∴0＜9+3≤18,∴-3＜≤3.又＞0,∴0＜≤3.5分
当在第二象限时（＜0）,
作PM⊥轴于M，设对称轴与轴交点为N. 则
=-3+9.
∵0＜S≤18,
∴0＜-3+9≤18,
∴-3≤＜3.
又＜0,
∴-3≤＜0.6分
∴t的取值范围是-3≤＜0或0＜≤3.
(3)存在，点坐标为（3，3）或（6，0）或（-3，-9）.9分
2、【答案】解：（1）证明：∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°，
∴∠BCD＝∠OAC。
∵△ABC为等腰直角三角形 ，∴BC＝AC。
在△BDC和△COA中，∠BDC＝∠COA＝90°，∠BCD＝∠OAC，BC＝AC，
∴△BDC≌△COA（AAS）。
（2）∵C点坐标为 (－1，0)，∴BD＝CO＝1。
∵B点横坐标为－3，∴B点坐标为 (－3，1)。
设BC所在直线的函数关系式为y＝kx＋b，
∴，解得。∴BC所在直线的函数关系式为y＝－ x－ 。
由题意可得：，解得，。∴P2（－， ）。
∴P点坐标分别为P1（－，－）、P2（－， ）。
3、
（3）存在。理由如下：
①当∠FCP=90°时，点P与点E重合，
∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点，∴E（0，﹣1）。∴P（0，﹣1）。
②当CF是斜边时，过点C作CP⊥AF于点P。
设P（x1，﹣x1﹣1），
∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F（4，﹣5），
∴CE=CF。∴EP=PF。∴CP=PF。
∴点P在抛物线的对称轴上。∴x1=2。
把x1=2代入y=﹣x﹣1，得y=﹣3。∴P（2，﹣3）。
综上所述，直线AF上存在点P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形。
4、解： 如图，因为一次函数交轴于点，所以，，，即.
又，一次函数交轴于点，所以，，，即.
由、是抛物线的图象上的点，
所以，抛物线的解析式是：
如图，、 ∴ 在中，
∴点的坐标：
设除点外，在坐标轴上还存在点，使得是直角三角形，即或
.在中，若，那么是以为直径的圆与坐标轴的交点，这时会在轴的正半轴上和轴的正半轴上.
.若交点在轴的正半轴上（如图），设，则有，



，此时
.若交点在轴的正半轴上（如图），设，此时过作垂直轴于点，则有，于是：

，
，
此时，或
.在中，若，即过作，这时会在轴的正半轴上和轴的负半轴上.
. 在轴的正半轴上，如图，设，同样过作垂直轴于点，则在中，有 ， 此时，
. 在轴的负半轴上，如图，设，过作垂直轴于点，则在中，有，即： 此时，
综上所述，除点外，在坐标轴上还存在点，使得是直角三角形，满足条件的点的坐标是：、或、或、或，或共五个点.

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