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菱形存在性问题
1．如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=，点C的坐标为（-18，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式；
（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．已知抛物线y=x2 + 1 (如图所示)．
(1)填空：抛物线的顶点坐标是(__ __，_ _)，对称轴是__ __；
(2)已知y轴上一点A(0，2)，点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形?若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
3.如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与 x轴交于点D.直线y=﹣2x ﹣ 1经过抛物线上一点B（-2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F.
（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；
（2）P(x,y)是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC,求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形.若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由.
4．如图，二次函数y=x2﹣x+c的图象与x轴分别交于A、B两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．
（1）若A（﹣4，0），求二次函数的关系式；
（2）在（1）的条件下，求四边形AMBM′的面积；
（3）是否存在抛物线y=x2﹣x+c，使得四边形AMBM′为正方形？若存在，请求出此抛物线的函数关系式；若不存在，请说明理由．
菱形答案
1、解：（1）过点B作BF⊥x轴于F
在Rt△BCF中 ∵∠BCO=45°，BC=6 2∴CF=BF=12
∵C 的坐标为（-18，0） ∴AB=OF=6 ∴点B的坐标为（-6，12）．
（2）过点D作DG⊥y轴于点G ∵AB∥DG ∴△ODG∽△OBA 21世纪教育网
∵ ，AB=6，OA=12 ∴DG=4，OG=8 ∴D（-4，8），E（0，4）
设直线DE解析式为y=kx+b（k≠0） ∴ ∴ ∴直线DE解析式为．
（3）结论：存在．
设直线y=-x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F，则E（0，4），F（4，0），OE=OF=4，．
如答图2所示，有四个菱形满足题意．
①菱形OEP1Q1，此时OE为菱形一边．则有P1E=P1Q1=OE=4，P1F=EF-P1E= ．
易知△P1NF为等腰直角三角形，∴P1N=NF= ；
设P1Q1交x轴于点N，则NQ1=P1Q1-P1N= ，又ON=OF-NF= ，∴Q1；
②菱形OEP2Q2，此时OE为菱形一边．此时Q2与Q1关于原点对称，∴Q2；
③菱形OEQ3P3，此时OE为菱形一边．此时P3与点F重合，菱形OEQ3P3为正方形，∴Q3（4，4）；
④菱形OP4EQ4，此时OE为菱形对角线．由菱形性质可知，P4Q4为OE的垂直平分线，
由OE=4，得P4纵坐标为2，代入直线解析式y=-x+4得横坐标为2，则P4（2，2），
由菱形性质可知，P4、Q4关于OE或x轴对称，∴Q4（-2，2）．
综上所述，存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形；
点Q的坐标为：Q1，Q2，Q3（4，4），Q4（-2，2）．
2、解：(1)顶点坐标是(0，1)，对称轴是y轴(或x=O)．
(2) ∵△PAB是等边三角形， ∴∠ABO=90o-60o=30o． ∴AB=20A=4．∴PB=4．
解法一：把y=4代人y=x2 + 1，得 x=±2. ∴P1(2，4)，P2(-2，4)．
(3)存在.N1(，1)，N2(-，-1)，N3(-，1)，N4(，-1).
3、解：（1）∵点B(-2,m)在直线上
∴m=3 即B（-2，3）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 1分
又∵抛物线经过原点O
∴设抛物线的解析式为
∵点B（-2，3），A（4，0）在抛物线上
∴ 解得：
∴设抛物线的解析式为 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4分
（2）∵是抛物线上的一点
∴
若
∵ ┅┅┅┅┅┅┅┅ 6分
又∵点C是直线与轴交点
∴C(0,1) ∴OC=1
∴， 即或
解得：
∴点P的坐标为 ┅┅┅ 10分
（3）存在：


4、解：（1）∵A（﹣4，0）在二次函数y=x2﹣x+c的图象上，∴×（﹣4）2﹣（﹣4）+c=0，解得c=﹣12，
∴二次函数的关系式为y=x2﹣x﹣12；
（2）∵y=x2﹣x﹣12，=（x2﹣2x+1）﹣﹣12，=（x﹣1）2﹣，∴顶点M的坐标为（1，﹣），
∵A（﹣4，0），对称轴为x=1，∴点B的坐标为（6，0），∴AB=6﹣（﹣4）=6+4=10，
∴S△ABM=×10×=，∵顶点M关于x轴的对称点是M′，∴S四边形AMBM′=2S△ABM=2×=125；
（3）存在抛物线y=x2﹣x﹣，使得四边形AMBM′为正方形．
理由如下：令y=0，则x2﹣x+c=0，设点AB的坐标分别为A（x1，0）B（x2，0），
则x1+x2=﹣=2，x1?x2==2c，所以，AB==，
点M的纵坐标为：==，
∵顶点M关于x轴的对称点是M′，四边形AMBM′为正方形，
∴=2×，整理得，4c2+4c﹣3=0，解得c1=，c2=﹣，又抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×c＞0，解得c＜，∴c的值为﹣，故，存在抛物线y=x2﹣x﹣，使得四边形AMBM′为正方形．

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