资源简介

相似三角形
1、(福建福州)如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；
(3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．

2、（辽宁省鞍山市）如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°．
（1）直接写出直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3、（福建漳州）如图，在平行四边形OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60o，OC=4cm．OA=8cm．动点P从点O出发，以1 cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以a cm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空：点C的坐标是(__ _，____)，对角线OB的长度是_______cm；
(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大?
(3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．
（浙江台州）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离.
已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角系中四点.
（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____,
当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为______
（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式.
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M.
①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长;
②点D的坐标为(0，2)，m≥0，n≥0，作MH⊥x轴,垂足为H，是否存在m的值，使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
1、解：(1) ∵ 抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4)．
∴ ，解得：．∴ 抛物线的解析式是y＝x2－3x．

(2) 设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B(4，4)，得：4＝4k1，解得k1＝1．∴ 直线OB的解析式为y＝x．
∴ 直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m．
∵ 点D在抛物线y＝x2－3x上．∴ 可设D(x，x2－3x)．又点D在直线y＝x－m上，
∴ x2－3x ＝x－m，即x2－4x＋m＝0．
∵ 抛物线与直线只有一个公共点，∴ △＝16－4m＝0，解得：m＝4．
此时x1＝x2＝2，y＝x2－3x＝－2，∴ D点坐标为(2，－2)．
(3) ∵ 直线OB的解析式为y＝x，且A(3，0)，∴ 点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0，3)．
设直线A'B的解析式为y＝k2x＋3，过点B(4，4)，∴ 4k2＋3＝4，解得：k2＝．
∴ 直线A'B的解析式是y＝x＋3．
∵ ∠NBO＝∠ABO，∴ 点N在直线A'B上，∴ 设点N(n，n＋3)，又点N在抛物线y＝x2－3x上，
∴ n＋3＝n2－3n，
解得：n1＝－，n2＝4(不合题意，会去)，∴ 点N的坐标为(－，)．
方法一：如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，则N1(－，－)，B1(4，－4)，
∴ O、D、B1都在直线y＝－x上．
∵ △P1OD∽△NOB，∴ △P1OD∽△N1OB1，∴ ＝＝，∴ 点P1的坐标为(－，－)．
将△OP1D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(，)．
综上所述，点P的坐标是(－，－)或(，)．
方法二：如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N2OB2，则N2(，)，B2(4，－4)，
∴ O、D、B2都在直线y＝－x上．
∵ △P1OD∽△NOB，∴ △P1OD∽△N2OB2，∴ ＝＝，∴ 点P1的坐标为(，)．
将△OP1D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(－，－)．
综上所述，点P的坐标是(－，－)或(，)．
2、
考点：
二次函数综合题。
分析：
（1）根据A（0，4），B（4，0）两点坐标，可求直线AB的解析式；
（2）作DG⊥y轴，垂足为G，由已知得OA=OB=4，△OAB为等腰直角三角形，而AD⊥AB，利用互余关系可知，△ADG为等腰直角三角形，则DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=5﹣4=2，可求D点坐标；
（3）存在．已知O（0，0），B（4，0），设抛物线的交点式，将D点坐标代入求抛物线解析式，由于对顶角∠CFE=∠BFP=45°，故当△BPF与△FCE相似时，分为：∠ECF=∠BPF=90°，∠CEF=∠BPF=90°两种情况，根据等腰直角三角形的性质求P点坐标．
解答：
解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（0，4），B（4，0）两点坐标代入，
得，解得，所以，直线AB的解析式为y=﹣x+4；
（2）过D点作DG⊥y轴，垂足为G，
∵OA=OB=4，∴△OAB为等腰直角三角形，
又∵AD⊥AB，∴∠DAG=90°﹣∠OAB=45°，即△ADG为等腰直角三角形，
∴DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=5﹣4=2，∴D（2，6）；
（3）存在．
由抛物线过O（0，0），B（4，0）两点，设抛物线解析式为y=ax（x﹣4），
将D（2，6）代入，得a=﹣，所以，抛物线解析式为y=﹣x（x﹣4），
由（2）可知，∠B=45°，则∠CFE=∠BFP=45°，C（2，2），
设P（x，0），则MP=x﹣2，PB=4﹣x，
①当∠ECF=∠BPF=90°时（如图1），△BPF与△FCE相似，
过C点作CH⊥EF，此时，△CHE、△CHF、△PBF为等腰直角三角形，
则PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4﹣x+2（x﹣2）=x，
将E（x，x）代入抛物线y=﹣x（x﹣4）中，得x=﹣x（x﹣4），解得x=0或，即P（，0），
②当∠CEF=∠BPF=90°时（如图2），此时，△CEF、△BPF为等腰直角三角形，
则PE=MC=2，将E（x，2）代入抛物线y=﹣x（x﹣4）中，得2=﹣x（x﹣4），
解得x=或，即P（，0），
所以，P（，0）或（，0）．
点评：
本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据A、B两点坐标判断△ABC的形状，利用互余关系判断其它三角形形状，求出D点坐标及抛物线解析式，根据△BPF为等腰直角三角形，△BPF与△FCE相似，且有对顶角相等，由直角的对应关系，分类求P点坐标．
3、解：(1)C(2，2)，OB=4cm．……………………4分
(2)①当0 过点Q作QD⊥x轴于点D(如图1)，则QD=t．
∴S=OP·QD=t2. ………………………5分
②当4≤t≤8时，
作QE⊥x轴于点E(如图2)，则QE=2.
∴S =DP·QE=t． ……………………6分
③当8≤t<12时，
解法一：延长QP交x轴于点F，过点P作PH⊥AF于点H(如图3)．
易证△PBQ与△PAF均为等边三角形，∴OF=OA+AP=t,AP=t-8．
∴PH=(t-8). ∴S=S△OQF-S△OPF =t·2-t·(t-8)
=-t2+3t． 当t=8时，S最大．
(3)①当△OPM～△OAB时(如图4)，则PQ∥AB．
∴CQ=OP． ∴at-4=t，a=1+.
t的取值范围是0②当△OPM～△OBA时(如图5)， 则，
∴, ∴OM=．
又∵QB∥OP， ∴△BQM～△OPM， ∴,
∴, 整理得t-at=2，∴a=1-.
t的取值范围是6≤t≤8．综上所述：a=1+(04、【答案】解：（1）2；。
（2）∵点B落在圆心为A，半径为2的圆上，∴2≤m≤6。
当4≤m≤6时，根据定义， d=AB=2。
当2≤m＜4时，如图，过点B作BE⊥OA于点E，
则根据定义，d=EB。
∵A(4，0)，B(m，n)，AB=2，∴EA=4－m。
∴
。
∴。
（3）①如图，由（2）知，当点B在⊙O的左半圆时，d=2 ，此时，点M是圆弧M1M2，长2π；
当点B从B1到B3时，d=2 ，此时，点M是线段M1M3，长为8；
同理，当点B在⊙O的左半圆时，圆弧M3M4长2π；点B从B2到B4时，线段M1M3=8。
∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为16+4π。
②存在。如图，由A(4，0)，D(0，2), 得。
（i）∵M1H1=M2H2=2，
∴只要AH1=AH2=1, 就有△AOD∽△M1H1A和△AOD∽△M2H2A，此时OH1=5，OH2=3。
∵点M为线段BC的中点, BC=4，
∴OH1=5时，m=3；OH2=3时，m=1。
（ii）显然，当点M3与点D重合时，△AOD∽△AH3M3，此时m=－2, 与题设m≥0不符。

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