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4．3.3　等比数列的前n项和(2)
1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式．
2. 探究并掌握等比数列前n项和的简单性质．
活动一 理解等比数列的通项公式及前n项和公式
1. 在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5＝________．
2. 已知数列{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5＝________.
活动二 掌握等比数列的前n项和公式与“指数式”的关系
　　练习：求出下列等比数列的前n项和Sn.
(1) 1，，，，…，则Sn＝____________；
(2) 若a1＋a6＝66，a2·a5＝128，则Sn＝________________________.
例1　已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a≠0，a≠1)，求证：数列{an}是等比数列．
思考1
等比数列前n项和的一般形式是怎样的？反过来满足这种特征的数列一定是等比数列吗？
活动三 掌握等比数列前n项和的性质
例2　一个等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．
例3　已知在等比数列{an}中，a1＝1，ak＝243，q＝3，
(1) 分别求Sk，S2k，S3k的值；
(2) 计算S2k－Sk及S3k－S2k，并观察数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k有何特征．
思考2
等比数列前n项，前2n项，前3n项和分别是Sn，S2n，S3n(Sn≠0)，那么Sn，S2n－Sn，S3n－S2n一定成等比数列吗？
例4　若等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，求证：Sm＋n＝Sn＋qn·Sm.
1. 若等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为(　　)
A. B. C. D.
2. (2021·浙江北斗星盟月考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝2S8，则的值是(　　)
A. －4 B. － C. D. 4
3. (多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列四个命题中不正确的是(　　)
A. 若a1≠0，且对于任意n∈N*，a＝anan＋2，则数列{an}为等比数列
B. 若Sn＝Aqn＋B(非零常数q，A，B满足q≠1，A＋B＝0)，则数列{an}为等比数列
C. 若数列{an}为等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等比数列
D. 若数列{an}为等比数列，且a14. 设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列，则q的值为________．
5. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S6＝－7S3，且a2，1，a3成等差数列．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设bn＝|an－1|，求数列{bn}的前2n项和T2n.
参考答案与解析
【活动方案】
1. 84　解析：在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则3＋3q＋3q2＝21，解得q＝2或q＝－3(舍去)，所以a3＋a4＋a5＝(a1＋a2＋a3)q2＝21×4＝84.
2. 5　解析：因为{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，所以a＋2a3a5＋a＝25，所以(a3＋a5)2＝25.又因为an>0，所以a3＋a5＝5.
练习：(1)
(2) 2(2n－1)或128　解析：在等比数列{an}中，a2·a5＝a1·a6＝128.又a1＋a6＝66，所以a1＝2，a6＝64或a1＝64，a6＝2，所以Sn＝2(2n－1)或Sn＝128.
例1　由题意，得Sn＋1＝an＋1－1，
所以an＋1＝an＋1－an＝an(a－1)，
an＝an－an－1＝an－1(a－1)，
所以＝＝a，
所以数列{an}是等比数列．
思考1：等比数列前n项和的一般形式为Sn＝A＋B·qn，但满足这种特征的数列不一定是等比数列．
例2　设此数列的公比为q，项数为2n，
则解得
所以此数列的公比为2，项数为8.
例3　(1) 由题意，得ak＝1×3k－1＝243，解得k＝6，
所以Sk＝S6＝＝364，
S2k＝S12＝＝265 720，
S3k＝S18＝＝.
(2) S2k－Sk＝364×729，
S3k－S2k＝364×7292，
所以(S2k－Sk)2＝Sk·(S3k－S2k)．
思考2：Sn＝a1＋a2＋…＋an，
S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n，
S3n＝a1＋a2＋…＋a2n＋a2n＋1＋…＋a3n，
所以S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n＝(a1＋a2＋…＋an)·qn，
S3n－S2n＝a2n＋1＋…＋a3n＝(a1＋a2＋…＋an)·q2n，
所以(S2n－Sn)2＝(a1＋a2＋…＋an)2q2n，
Sn(S3n－S2n)＝(a1＋a2＋…＋an)2q2n，
所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
例4　因为Sm＋n＝，Sn＝，
qn·Sm＝qn·，
所以Sn＋qn·Sm＝
＝＝＝Sm＋n，
所以Sm＋n＝Sn＋qn·Sm.
【检测反馈】
1. C
2. B　解析：由等比数列的性质得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，即2S8，－S8，S12－S8成等比数列，所以＝＝－，则2S12－2S8＝S8，所以2S12＝3S8，所以S12＝S8，所以＝＝－.
3. AC　解析：对于A，若an＝0，满足对于任意n∈N*，a＝anan＋2，但数列{an}不是等比数列，故A错误；对于B，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn＋B－(Aqn－1＋B)＝Aqn－1·(q－1)且q≠1；当n＝1时，A＋B＝0，则a1＝S1＝Aq＋B＝A(q－1)，符合上式，故数列{an}是首项为A(q－1)，公比为q的等比数列，故B正确；对于C，若数列{an}为等比数列，当公比q＝－1，且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均为0，不为等比数列，故C错误；对于D，设等比数列{an}的公比为q，因为a10，则11，则{an}为递增数列；若a1<0，可得1>q>q2，解得04. －2　解析：当q＝1时，由题意，得Sn＝na1，Sn＋1＝(n＋1)a1，Sn＋2＝(n＋2)a1，则2na1＝(2n＋3)a1，即a1＝0，与{an}为等比数列矛盾，故q≠1，则＝＋，所以q2＋q－2＝0，解得q＝1(舍去)或q＝－2.
5. (1) 设等比数列{an}的公比为q，由S6＝－7S3，得S3＋a4＋a5＋a6＝S3＋q3(a1＋a2＋a3)＝－7S3，即(1＋q3)S3＝－7S3，
又S3≠0，所以1＋q3＝－7，解得q＝－2.
由a2，1，a3成等差数列，得a2＋a3＝2，即－2a1＋4a1＝2，解得a1＝1，
所以an＝a1qn－1＝(－2)n－1.
(2) 当n为偶数时，an－1＝－2n－1－1<0；
当n为奇数时，an－1＝2n－1－1≥0，
所以T2n＝(a1－1)－(a2－1)＋(a3－1)－(a4－1)＋…＋(a2n－1－1)－(a2n－1)
＝a1－a2＋a3－a4＋…＋a2n－1－a2n
＝1＋2＋22＋23＋…＋22n－1＝＝22n－1.

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