资源简介

(共29张PPT)
3.3.1抛物线及其标准方程
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．
2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．
3.抛物线的简单应用
1.数学抽象：抛物线的定义
2.逻辑推理：抛物线标准方程的推导
3.数学运算：根据条件求抛物线标准方程
4.直观想象：抛物线的定义的运用
椭 圆 双曲线
方程
a b c关系
图象
椭圆与双曲线的比较
y
X
F1
0
F2
M
X
Y
0
F1
F2
p
1
2
=
+
b
y
a
x
2
2
2
（ a＞ b ＞0）
1
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
( a＞ 0 b＞0)
2
2
2
=
+
b
a
(a＞ 0 b＞0)
c
2
2
2
=
-
b
a
(a＞ b＞0)
c
关于x轴、y轴、原点对称
图形
方程
范围
对称性
顶点
离心率
y
x
O
A2
B2
A1
B1
.
.
F1
F2
y
B2
A1
A2
B1
x
O
.
.
F2
F1
A1（- a，0），A2（a，0）
B1（0，-b），B2（0，b）
F1(-c,0) F2(c,0)
F1(-c,0)
F2(c,0)
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
渐近线
无
关于x轴、y轴、原点对称
图形
方程
范围
对称性
顶点
离心率
A1（- a，0），A2（a，0）
A1（0，-a），A2（0，a）
关于x轴、y轴、原点对称
渐近线
.
.
y
B2
A1
A2
B1
x
O
F2
F1
x
B1
y
O
.
F2
F1
B2
A1
A2
.
F1(-c,0)
F2(c,0)
F2(0,c)
F1(0,-c)
我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：
都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.
·
M
F
l
0＜e ＜1
(2) 当e＞1时，是双曲线;
(1)当0(其中定点不在定直线上)
l
F
·
M
e＞1
那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？
·
F
M
l
·
e=1
当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？
探究？
可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)
M
·
F
l
·
e=1
我们把这样的一条曲线叫做抛物线.
抛物线的定义:
在平面内,与一个定点F
和一条定直线l(l不经过点F)
距离相等的点的轨迹叫做抛
物线.
M
·
F
l
·
|MF|=d
焦点
d
准线
点F叫做抛物线的焦点,
直线l 叫做抛物线的准线.
明确了抛物线的定义，你能根据定义求出抛物线的
标准方程吗？
一条经过点F且垂直于l 的直线
想一想：定义中当直线l 经过定点F，则点M的轨迹是什么
l
·
F
·
·
·
·
·
·
1.建:建立直角坐标系.
3. 限:根据几何条件列出等式;
4. 代:代入坐标与数据;
5. 化:化简方程.
2.设:设点(x,y);
回顾求曲线方程一般步骤：
6. 简:检验方程.
l
解法三：以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.
两边平方,整理得
x
K
y
o
M(x,y)
F
一、标准方程的推导
依题意得
这就是所求的轨迹方程.
若抛物线的开口分别朝左、朝上、朝下，你能根据上述办法求出它的标准方程吗？
F
M
l
N
·
·
y
x
F
M
l
N
·
·
H
F
M
l
N
·
·
O
F
M
l
N
·
·
x
H
y
O
相同点：
（1）顶点为原点;
（2）对称轴为坐标轴;
（3）顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离为p/2.
不同点：（1）一次项变量为x(y)，则对称轴为x(y)轴;
（2）一次项系数为正（负），则开口方向坐标轴的正（负）方向.
记忆方法：P永为正，一次项变量为对称轴，一次项变量前系数为开口方向，且开口方向坐标轴的正（负）方向相同
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
准线方程
焦点坐标
标准方程
图 形
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
x
F
O
y
l
y2=2px
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
P的意义:抛物线的焦点到准线的距离
方程的特点:
(1)左边是二次式,
(2)右边是一次式;决定了焦点的位置.
四种抛物线的对比
例1(1)已知抛物线的标准方程是y2 =6x，求它的焦点坐标和准线方程;
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程.
解:(1)因为p=3，所以焦点坐标是 , 准线方程是
,所以所求抛物线的标准方程是
(2)因为焦点在y轴的负半轴上，且
变式练习
分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.
(1)经过点(－3，－1)；
解　因为点(－3，－1)在第三象限，
所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0).
若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，
若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，
解　对于直线方程3x－4y－12＝0，
令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0).
(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点.
此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
例2 一种卫星接收天线的轴截面如图(1)所示.卫
星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天
线，经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)
为4.8m,深度为1m，试建立适当的坐标系，求抛物线
的标准方程和焦点坐标.
,即p=2.88.
解 如图(2)，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合.
设抛物线的标准方程是
所以，所求抛物线的标准方程是y2=5.76x ,焦
点坐标是（1.44，0）.
由已知条件可得，点A的坐标是（1，2.4），代入方程得
x
y
O
A
B
(2)
.
F
y2＝2px(p>0)
变式训练
　河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时，小船开始不能通航？
解　如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，
当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航，
设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，
又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，
所以h＝|yA|＋0.75＝2(m).
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
（2）准线方程 是x = ；
（3）焦点到准线的距离是2。
y2 =12x
y2 =x
y2 =4x，y2 = -4x，x2 =4y 或 x2 = -4y
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2 = 20x (2)x2= y
(3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0
焦点坐标 准线方程
(1)
(2)
(3)
(4)
（5，0）
x=-5
（0，—）
1
8
y= - —
1
8
8
x= —
5
（- —，0）
5
8
（0，-2）
y=2
课堂练习
1.抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .
焦点
相等
准线
标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形
顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F F F F
离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向 向右 向左 向上 向下
作业：课本133页练习1,2,3

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