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人教B版（2019）选择性必修第一册《2.4 曲线与方程》2022年同步练习卷（1）
一 、单选题（本大题共5小题，共44分）
1.（9分）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线：流是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：
①曲线围成的图形的面积是；
②曲线上的任意两点间的臥离不超过；
③若是曲线上任意一点，则的最小值是
其中正确结论的个数为
A. B. C. D.
2.（9分）方程+3(y-1)2=9的曲线关于( )
A. x轴对称 B. y轴对称 C. 原点对称 D. 以上都不对
3.（9分）在平面直角坐标系中，角和角的顶点均与原点重合，始边均与轴的非负半轴重合，它们的终边关于轴对称，若，则
A. B. C. D.
4.（9分）命题p：的否定形式为（ ）
A. B.
C. D.
5.（8分）方程所表示的曲线是
A. 一个圆 B. 两个圆 C. 一个半圆 D. 两个半圆
二 、多选题（本大题共1小题，共8分）
6.（8分）数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，心形曲线：就是其中之一，则下列结论中正确的是
A. 曲线关于轴对称
B. 曲线恰好经过个整点即横、纵坐标均为整数的点
C. 曲线上存在到原点的距离超过的点
D. 曲线所围成的区域的面积大于
三 、填空题（本大题共4小题，共32分）
7.（8分）已知条件：，条件：，且是的充分不必要条件，则的取值集合是______.
8.（8分）正方形边长为，为正方形边界及内部的动点，且，则动点的轨迹长度为 ______.
9.（8分）曲线与直线恰有个公共点，则的取值范围为______．
10.（8分）已知在直角坐标平面内，两定点，，动点满足以为直径的圆与轴相切．直线与动点的轨迹交于另一点，当时，直线的斜率为 ______.
四 、解答题（本大题共2小题，共16分）
11.（8分）已知为坐标原点，点的坐标为，平面内的动点满足
求动点的轨迹的方程；
由所得曲线与直线：相交于两点，，且，求直线的方程．
12.（8分）已知平面直角坐标系内两个定点、，满足的点形成的曲线记为．
求曲线的方程；
过点的直线与曲线相交于、两点，当的面积最大时，求直线的方程为坐标原点；
设曲线分别交、轴的正半轴于、两点，点是曲线位于第三象限内一段上的任意一点，连结交轴于点、连结交轴于求证四边形的面积为定值．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：曲线：可知曲线关于原点，，轴对称，
当，时，可得，可得，所以可得是以为圆心，为半径的半圆，
由此可作出曲线的图象，如图所示，
所以曲线围成的图形的面积是，故命题①正确；
曲线上任意两点间距离的最大值为，故命题②错误；
设圆心到直线的距离为，
故曲线上任意一点到直线的距离的最小值为最小值为，
故的最小值是，故命题③正确．
故选：
由曲线方程知曲线关于原点，，轴对称，当，时，可得，可得，所以可得是以为圆心，为半径的半圆，由此可作出曲线的图象，从而通过运算可判断命题①②③的真假．
此题主要考查命题真假的判断，以及考查由曲线方程研究曲线的相关性质，属中档题．
2.【答案】B;
【解析】设点(a，b)在曲线上，则点(a，b)满足方程+3(b-1)2=9，然后判定点(a，-b)，(-a，b)，(-a，-b)是否也在曲线+3(y-1)2=9上，从而得到结论．

若点(a，b)在曲线+3(y-1)2=9上，则+3(b-1)2=9，
令x=a，y=-b，则有+3(-b-1)2=9不成立，故点(a，-b)不在曲线C上，即不关于x轴对称；
令x=-a，y=b，则有(-a)2+3(b-1)2=9成立，故点(-a，b)在曲线C上，即关于y轴对称；
令x=-a，y=-b，则有(-a)2+3(b-1)2=9不成立，故点(-a，-b)不在曲线C上，即不关于原点对称．
故选B。
3.【答案】B;
【解析】解：角与角均以轴的非负半轴为始边，它们的终边关于轴对称，则，，
则
故选：
由题意利用任意角的三角函数的定义及诱导公式即可求解．
此题主要考查任意角的三角函数的定义及诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
4.【答案】D;
【解析】略
5.【答案】D;
【解析】解：，或
，
，或，
故选：．
由，知，再由的取值分别讨论．
此题主要考查曲线的方程和求法，解时要注意分类讨论法的合理运用．
6.【答案】ABD;
【解析】解：对于，将换成，方程不变，故曲线关于轴对称，故正确；
对于，当时，代入方程可得，所以，即曲线经过点，，
当时，方程变为，由，解得，
只能取整数，当时，，解得或，即曲线经过点，，
根据对称性，可得曲线还经过，，故曲线一共经过个整点，故选项正确；
对于选项，当时，由，可得，当且仅当取等号，
所以，所以，
故曲线上轴右边的点到原点的距离不超过，
根据对称性可得，曲线上任意一点到原点的距离都不超过，故选项错误；
对于，在轴上方图形的面积大于矩形的面积，
在轴下方图形的面积大于等腰直角三角形的面积，
因此曲线所围成的“心形”区域的面积大于，故选项正确．
故选：
利用题中给出的曲线的方程，通过将变换为，即可判断选项；通过方程，确定和的取值情况，即可判断选项；利用基本不等式以及两点间距离公式进行分析求解，即可判断选项；求出曲线所围成的面积，即可判断选项
此题主要考查了曲线与方程的理解和应用，主要考查了对称性、面积等问题，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
7.【答案】;
【解析】解：条件：，
条件：，
是的充分不必要条件，
，或，
时，满足题意．
时，若，则，解得
若，则，解得
综上可得：的取值集合是：
故答案为：
条件：，条件：，根据是的充分不必要条件，可得因此，或，分类讨论即可得出．
此题主要考查了方程的解法、集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8.【答案】;
【解析】
此题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系等知识，属于中等题．
先求出点的轨迹，又因为为正方形边界及内部的动点，所以动点的轨迹长度为圆弧，求出圆弧对应的圆心角，由弧长公式即可求出答案．

解：建立如图所示的直角坐标系，则，，

设，又因为，所以，
化简为：，即，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．
又因为为正方形边界及内部的动点，所以动点与轴正半轴的交点为，
动点与轴正半轴的交点为，则动点的轨迹长度为圆弧，
在三角形中，，所以，，
所以圆弧
故答案为：
9.【答案】[-2，2）∪{2};
【解析】解：由题意可得直线与半圆恰有个公共点，
如图所示：当直线过点时，可得，求得．
当直线和半圆相切于点时，由圆心到直线的距离等于半径可得
，求得，或舍去，
故的取值范围是，
故答案为：
由题意可得直线与半圆有公共点，当直线过点时，求得 的值；当直线和半圆相切于点时，根据圆心到直线的距离等于半径求得的值，数形结合从而得到的取值范围．
这道题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．
10.【答案】;
【解析】解：设，的中点坐标为，
由于动点满足以为直径的圆与轴相切，
所以，整理得点的轨迹方程为
依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去并化简得，，
设，，
则，，
由于，所以，
即，
，
，
，解得
故答案为：
求得点的轨迹方程，设出直线的方程，结合根与系数关系列方程，化简求得直线的斜率．
此题主要考查轨迹方程，考查学生的运算能力，属于中档题．
11.【答案】解：（1）设P（x，y），由|PA|=2|PO|，得=2，化简得（x+1）2+=4，
经检验，P的轨迹方程为（x+1）2+=4．
（2）设圆心到直线的距离为d，由|MN|=2，得d=，
∴=，∴k=-7或1，
可得直线l的方程为7x+y-3=0或x-y+3=0．;
【解析】
根据直接法，由动点满足，直接列式整理即可得解；
由知曲线为圆，直接利用垂径定理，根据圆的弦长公式即可得解．
此题主要考查圆的方程，垂径定理，圆的弦长公式，是中档题．
12.【答案】解：（1）由题设知，两边化简得+=4
∴点P的轨迹Γ的方程为+=4…（3分）
（2）由题意知的斜率一定存在，设l：y=k（x-4）即kx-y-4k=0，
∵原点到直线l的距离，…（5分）
∴，…（7分）
当且仅当=2时，取得“=”=2＜=4
∴当=2时，此时，．

∴直线l的方程为．…（9分）
（3）设…（11分）
设Q（，），E（e，0），F（0，f）（其中）
则，令x=0得
∴…（12分），令y=0得
∴…（13分）
∴=（定值）…（16分）;
【解析】
由两个定点、，满足的点，得到关系式化简即可得出曲线的方程；
表示出面积，利用基本不等式得出结论；
设，即可证明结论．
此题主要考查轨迹方程，考查面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．

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