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2023届导数微专题——公切线问题的模型求解
曲线的公切线问题是高考的热点题型之一。其中单一曲线的切线问题相对简单，但对于两条曲线的公切线问题的求解，就比单一曲线的切线问题要复杂，方法更灵活，具体的求解方法如下：
方法一:利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
方法二:设公切线 在曲线 上的切点为 ，在曲线 上的切点为 ，则 ，再解决相关问题。
一、典例分析
例1.若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 。
变式训练
1.若存在过点(1,0)的直线与曲线和都相切,则等于(　　)
A.或 B. 或 C. 或 D. 或
2.已知 （ 为自然对数的底数）， ，直线 是 与 的公切线，则直线 的方程为 。
例2. 若曲线 与曲线 有公切线，则实数 的取值范围是 。
变式训练
1.设点 为函数 与 的图象的公共点，以 为切点可作直线 与两曲线都相切，则实数 的最大值为( )
A. B. C. D.
2. 已知曲线 与 有公切线，求实数 的取值范围。
例3.已知函数
（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；
（2）设是的一个零点，证明曲线在处的切线也是曲线的切线.
变式训练
1.已知函数.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线.
二、综合练习
1.若曲线与曲线存在公切线，则的最值情况为（ ）
A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为
2.已知曲线在点 处的切线与曲线相切，则 .
3.若函数 , 和直线 , 。
（1） 求 的值；
（2） 是否存在实数 ，使得直线 既是函数 的图象的切线，又是 的图象的切线？如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由。
4.设，.已知函数，.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点处有相同的切线，
（i）求证：在处的导数等于0；
（ii）若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围.
2023届导数微专题——公切线问题的模型求解解析
曲线的公切线问题是高考的热点题型之一。其中单一曲线的切线问题相对简单，但对于两条曲线的公切线问题的求解，就比单一曲线的切线问题要复杂，方法更灵活，具体的求解方法如下：
方法一:利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；
方法二:设公切线 在曲线 上的切点为 ，在曲线 上的切点为 ，则 ，再解决相关问题。
一、典例分析
例1.若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 。
【答案】
【解析】设直线 和曲线 的切点为 ， ，根据导数的几何意义得 ①，根据切点既在切线上又在曲线上，得 , ，则 ②。现考虑切线 与曲线 相切，设直线 与曲线 的切点为 , ，则 ③,得 ④。将①③的式子分别代入②④消掉 , ，得 解得
变式训练
1.若存在过点(1,0)的直线与曲线和都相切,则等于(　　)
A.或 B. 或 C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线含有参数，所以考虑先从常系数的曲线入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线求出的值。设过的直线与曲线切于点 ,切线方程为，即，因为在切线上，所以解得：或，即切点坐标为或.当切点时，由与相切可得
，同理，切点为解得
2.已知 （ 为自然对数的底数）， ，直线 是 与 的公切线，则直线 的方程为 。
【答案】 或
【解析】设 与 的切点为 ，则 , ,所以 ,所以切点为 ,切线斜率 ，所以切线方程为 ，即 ①，同理设 与 的切点为 ，所以 ， ，所以 ，切点为 ，切线斜率 ，所以切线方程为 ，即 ②，由题意知，①与②相同，所以 把③代入④有 ，即 ，解得 或 ，当 时，切线方程为 ；当 时，切线方程为 ，综上，直线 的方程为 或 。
例2. 若曲线 与曲线 有公切线，则实数 的取值范围是 。
【答案】
【解析】设 是公切线和曲线 的切点，则切线斜率 ,切线方程为 ，整理得 。设 是公切线和曲线 的切点，则切线斜率 ，切线方程为 ，整理得 ，其中 。令 , ，则 ，代入第二个方程得 。又 ,则 。设 , ，则 ,即 在 上单调递减。又 ，当 时， ，所以 ，故 的取值范围是 。
变式训练
1.设点 为函数 与 的图象的公共点，以 为切点可作直线 与两曲线都相切，则实数 的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设 ，由于 为公共点，则 。又点 处的切线相同，则 ，即 ，即 。又 , ，则 ，于是 。设 , ，则 。当 时， 单调递增；当 时， 单调递减。故 ，于是 的最大值为 。故选D。
2. 已知曲线 与 有公切线，求实数 的取值范围。
【答案】设切线与 相切于点 ， ，
所以切线方程为 ，
即 ，联立 得 ，
所以 ，即 ，
即 有解，令 ，
，
当 时， ，当 时, ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，又 时, ，
故 的值域为 ，所以 ，即 ，
故实数 的取值范围是 。
例3.已知函数
（1）讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；
（2）设是的一个零点，证明曲线在处的切线也是曲线的切线.
【答案】（1）依题意知函数的定义域为
则函数在上是增函数.故在上有唯一零点即则且故在上有唯一零点综上，在其定义域上有且仅有两个零点.
（2）依题意知点在曲线上，则点在曲线上.依据题意知则直线AB的斜率而曲线在处的切线斜率也是故曲线在处的切线也是曲线的切线.
变式训练
1.已知函数.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线的切线.
【答案】（1）f（x）的定义域为（0，1）（1，+∞）．因为，所以在（0，1），（1，+∞）单调递增．因为f（e）=，，所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．又，，故f（x）在（0，1）有唯一零点．综上，f（x）有且仅有两个零点．
（2）因为，故点B（–lnx0，）在曲线y=ex上．由题设知，即，故直线AB的斜率．曲线y=ex在点处切线的斜率是，曲线在点处切线的斜率也是，所以曲线在点处的切线也是曲线y=ex的切线．
二、综合练习
1.若曲线与曲线存在公切线，则的最值情况为（ ）
A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为
【答案】B
【解析】设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，由可得：，所以有，所以，即，设，则。可知在单调递增，在单调递减，所以
2.已知曲线在点 处的切线与曲线相切，则 .
【答案】8
【解析】由求得曲线在点处的切线斜率 ，故切线方程，当时，为直线，不符合题意，当时，由得，依据解得.
3.若函数 , 和直线 , 。
（1） 求 的值；
（2） 是否存在实数 ，使得直线 既是函数 的图象的切线，又是 的图象的切线？如果存在，求出 的值；如果不存在，请说明理由。
【答案】（1）由已知得 ，因为 ，所以 。
（2）假设存在 ,设直线 与 , 的图象相切的切点的横坐标分别为 , ，则有 解得 , , 。
所以存在 ，使得直线 既是函数 的图象的切线，又是 的图象的切线。
4.设，.已知函数，.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点处有相同的切线，
（i）求证：在处的导数等于0；
（ii）若关于的不等式在区间上恒成立，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）由，可得
。令，解得，或，由，得.
当变化时，，的变化情况如下表：
所以，的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（Ⅱ）（i）因为，由题意知，所以，解得.
所以，在处的导数等于0.
（ii）因为，，由，可得.
又因为，，故为的极大值点，由（Ⅰ）知.
另一方面，由于，故，由（Ⅰ）知在内单调递增，在内单调递减，故当时，在上恒成立，从而在区间上恒成立.由，得，.
令，，所以，令，解得（舍去），或.因为，，，故的值域为.
所以，的取值范围是.

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