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第二十四章 圆
24.1.3 弧、弦、圆心角
欣赏动画：折扇的收拢和展开.
圆是中心对称图形，
圆心是它的对称中心．
把圆绕圆心旋转任意
一个角度，所得的图形
与原图形重合，即圆有
旋转不变性．
顶点在圆心的角叫做圆心角．
学 习 新 知
思考：1.图中有几个圆心角，分别是什么？
　 2.图中的圆心角所对的弧、弦分别是什么？
共同探究1
如图，⊙O中，当圆心角∠AOB =∠A ′OB ′ 时，它们所对的弧 和 、弦AB和A′B′相等吗？为什么？
O
A
B
A ′
B′
1.将∠AOB旋转到∠A ′ OB ′的位置，它能否与∠AOB完全重合？
2.如果能重合，你会发现哪些等量关系？
3.你能证明这些结论吗？
4.如果圆心角∠AOB= ∠A ′ OB ′ ，你能否得到相同的结论？
5.你能用语言叙述上面的命题吗？
思考
将∠AOB连同 绕圆心O旋转，使射线OA与OA′重合.
∵∠AOB=∠A′OB′，∴射线OB与OB′重合.
又OA=OA′，OB=OB′，
∴点A与A′重合，点B与B′重合，
因此， 与 重合，AB与A′B′重合.即
= 、AB=A′B′.
分析：
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心
角所对的弧相等，所对的弦也相等.
共同探究2
思考：
1.在圆心角性质定理中，为什么要说“在同圆或等圆中”？能不能去掉？
2.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，能得到什么结论？
3.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，能得到什么结论？
1.圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；
2.到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
圆的第二定义：圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.
即：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等.
·
A
B
C
D
O
填空：如图，AB、CD是⊙O的两条弦.


（1）如果AB=CD，那么 ， .
（2）如果 ，那么 ， .
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 ， .
例3
如图，在⊙O中， ，∠ACB=60°.
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
B
C
O
要证圆心角∠AOB=∠BOC=∠AOC，需证 或 ；
而 ，可得 ，又∠ACB=60°，所以△ABC是
三角形，则 ，从而得证.
1.圆是中心对称图形，圆有旋转不变性.
2.圆心角概念：顶点在圆心的角.
3.圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等.
4.利用同圆或等圆中圆心角、弦、弧之间的关系可以证明角、弦或弧相等.
检测反馈
1.在同圆或等圆中，如果 ，那么AB与CD的关系是（ ）
AB＞CD B. AB=CD
C. AB＜CD D.无法确定
解析：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所以由 得AB=CD，故选B.
B
C
2.如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D是 上的三等分点，∠AOE=600，则∠COE=（ ）
A. 40O B.60O C.80O D.120O
解析：∵∠AOE=60°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=120°，∴ 的度数是120°，∵C、D是 上的三等分点，∴弧CD与弧ED的度数都是40°，∴∠COE=80°．故选C．
A
B
C
D
E
O
3.如图，在⊙O中， ，∠A=400，则∠B= .
解析：∵ ，∴AB=AC，∵∠A=40°，∴∠B=∠C=（180°-∠A）÷2=70°．
故填70°.
70°
4.如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么 与 的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？
解：
（1）OE=OF，
理由是：∵OE⊥AB， OF⊥CD，
OA=OB， OC=OD
∴∠OEB=∠OFD=90°，∠EOB= ∠AOB，
∠FOD= ∠COD,
∵∠AOB=∠COD,∴∠EOB=∠FOD,
又∵OB=OD,∴△EOB≌△FOD(AAS),
∴OE=OF.
（2） ，AB=CD ，∠AOB=∠COD， 理由是：
∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠OEB=∠OFD=90°
∴Rt△BEO≌Rt△DFO（HL），∴BE=DF，
∵OB=OD,OE=OF,
由垂径定理得AB=2BE,CD=2DF,
∴AB=CD, ∴ ,∠AOB=∠COD.

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