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2022-2023学年人教五四新版九年级上册数学期中复习试卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝x B．y＝﹣ C．y＝x2 D．y＝
2．如图，P是平面直角坐标系中第一象限内一点，OP＝1，且OP与x轴正方向夹角为α，则P点关于x轴对称的点P′的坐标是（　　）
A．（cosα，sinα） B．（sinα，cosα）
C．（cosα，﹣sinα） D．（sinα，﹣cosα）
3．二次函数y＝﹣4（x﹣2）2﹣5的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）
4．在函数y＝的图象上有三点，A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则下列各式正确的是（　　）
A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2
5．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长为（　　）cm
A．8 B．6 C．4 D．2
6．抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点情况是（　　）
A．有两个交点 B．只有一个交点
C．没有交点 D．无法判断
7．以下说法正确的有（　　）
①方程x2＝x的解是x＝1．
②有两边对应相等的两个直角三角形一定全等．
③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°．
④反比例函数y＝﹣，y随的x增大而增大．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，由点B观测点A的方向是（　　）
A．南偏西48° B．南偏西42° C．北偏东42° D．北偏东48°
9．某同学将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线m4，m5，m6的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（　　）
A．m1，m4 B．m2，m5 C．m3，m6 D．m2，m4
10．如图，A（a，b）、B（﹣a，﹣b）是反比例函数y＝的图象上的两点，分别过点A、B作y轴的平行线，与反比例函数y＝的图象交于点C、D．若四边形ACBD的面积是4，则m、n满足等式（　　）
A．m+n＝4 B．n﹣m＝4 C．m+n＝2 D．n﹣m＝2
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①3a+b＜0；②a﹣b+c＜0；③c＞0；④a+b＞0．其中正确的结论有（　　）
A．仅①②③ B．仅②③④ C．仅①②④ D．①②③④
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则：
①a+c＝0；②无论a取何值，此二次函数图象截x轴所得的线段长度必大于2；③若a＝1，则OA OB＝OC2．
以上说法正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．计算：（ +1）0﹣（sin30°）﹣1＝　 　．
14．如图，已知直线y＝﹣4x与双曲线y＝交于A，B两点，若点A的纵坐标为4，则点B的坐标为　 　．
15．已知点P（3，﹣2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k＝　 　．
16．初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
根据表格上的信息回答问题：求二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于y轴对称的函数解析式是　 　．
17．中国石拱桥是我国古代人民建筑艺术上的智慧象征，如图所示，某桥拱是抛物线形，正常水位时，水面宽AB为20m，由于持续降雨，水位上升3m，若水面CD宽为10m，则此时水面距桥面距离OE的长为 　 　．
18．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是　 　．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．计算（不使用计算器）：
（1）4sin30°+2cos45°﹣tan260°；
（2）3（2cos30°﹣sin60°）+（1﹣tan30°）；
（3）sin260°+cos260°﹣tan45°；
（4）|﹣1|﹣×﹣（5﹣π）0+4cos45°．
20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，延长CB至点D，使BD＝AB．
（1）求∠D的度数；
（2）求tan75°的值．（结果可以保留根号）
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣5ax﹣6a与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝4OA，求抛物线解析式．
22．某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式扶梯AB长为10m，坡角∠ABD＝30°；改造后斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝9°，请计算改造后的斜坡AC的长度，（结果精确到0.01）【sin9°≈0.156，cos9°≈0.988，tan9°≈0.158】
23．如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（1，m），B（n，2）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）直接写出不等式≥kx+b的解集．
24．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？
（3）当每千克应涨价多少元时，该商场每天盈利最大为多少？
25．如图，在平行四边形中，边BC在x轴上，点A在y轴上．且BC＝6，平行四边形ABCD的面积为12，C是抛物线顶点，A，D在抛物线上，求抛物线的解析式．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．解：A、y＝x，是正比例函数，不符合反比例函数的定义，故此选项不合题意；
B、符合反比例函数的定义，正确；
C、y＝x2是二次函数关系，故此选项不合题意；
D、y＝﹣5，不符合反比例函数的定义，故此选项不合题意．
故选：B．
2．解：如图，作PQ⊥x轴于点Q，
∵sinα＝、cosα＝，OP＝1，
∴PQ＝OPsinα＝sinα、OQ＝OPcosα＝cosα，
∴点P的坐标为（cosα，sinα），
则点P关于x轴的对称点的坐标为（cosα，﹣sinα）
故选：C．
3．解：∵y＝4（x﹣2）2﹣5，
∴顶点坐标为（2，﹣5），
故选：D．
4．解：在函数y＝的图象上表示出三点，
A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3），
如图所示：
∴y2＜y1＜y3，
故选：A．
5．解：在Rt△BCD中，
∵cos∠BDC＝＝，
设CD＝3k，BD＝5k，
∴BC＝＝4k．
∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD＝5k．
∵AD+CD＝8k＝8cm，
∴k＝1cm．
∴BC＝4k＝4cm．
故选：C．
6．解：∵y＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），
∴当y＝0时，x＝2或x＝3，
即抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0），
故抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴有两个交点，
故选：A．
7．解：①方程x2＝x的解是x＝1或0，故原说法错误；
②两边对应相等的两个直角三角形全等，若是两条直角边，可以根据SAS判定全等，若是直角边与斜边，可根据HL判定全等．可判断原说法正确．
③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°或150°，故原说法错误．
④反比例函数y＝﹣，在图象的每一支上y随的x增大而增大，故原说法错误；
故选：A．
8．解：由题意可知由点B观测点A的方向是南偏西42°．
故选：B．
9．解：∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴顶点坐标为（1，1﹣a），
∵a＜0，
∴抛物线与m5的交点为顶点，
∴m4为y轴，
∵1﹣a＞1，
∴m2为x轴，
故选：D．
10．解：连接AB，OC，如图，
∵A（a，b）、B（﹣a，﹣b）关于原点对称，且是反比例函数y＝的图象上的两点，
∴点O在线段AB上，且OA＝OB，
∵A（a，b）是反比例函数y＝的图象上的点，
∴b＝，
∵AC∥y轴，
∴点C的坐标为（a，），
∴AC＝|﹣|，
同理可得BD＝|﹣|，
∴AC＝BD，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∴S△AOC＝S△ACB＝S平行四边形ACBD＝1，
∴AC|a|＝1，
∴（﹣） （﹣a）＝1，
整理得：n﹣m＝2．
方法二：A（a，）、B（﹣a，﹣）D（﹣a，﹣），
∴SACBD＝BD （xD﹣xA）＝（﹣+）（﹣a﹣a）＝4
∴n﹣m＝2．
故选：D．
11．解：抛物线开口方向向下，则a＜0，
∵对称轴是直线x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，故①正确；
当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故②正确；
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，故③正确；
∵b＝﹣2a，
∴a+b＝a﹣2a＝﹣a，
∵a＜0，
∴﹣a＞0，
∴a+b＞0，故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④．
故选：D．
12．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），
∴，
∴①+②得：a+c＝0；故①正确；
∵a＝﹣c，
∴b2﹣4ac＝b2+4a2＞0，
∴无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点，
∵＝﹣1，
∴|x1﹣x2|＝＝＝＞2，故②正确；
∵a＝1，a+c＝0，
∴c＝﹣1，
∴OC＝1，
∴OC2＝1，
∴二次函数为y＝x2+bx﹣1，
∴x1 x2＝﹣1，
∵|x1 x2|＝OA OB，
∴OA OB＝1，
∴OC2＝OA OB，故③正确；
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．解：（ +1）0﹣（sin30°）﹣1＝1﹣2＝﹣1．
14．解：将y＝4代入y＝﹣4x得，4＝﹣4x，
解得x＝﹣1，即A（﹣1，4），
∵直线y＝﹣4x与双曲线y＝关于原点对称，
∴B（1，﹣4），
故答案为（1，﹣4）．
15．解：∵点P（3，﹣2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴﹣2＝，
解得k＝﹣6，
故答案为﹣6．
16．解：由表得，顶点坐标为（2，1），
设顶点式为y＝a（x﹣2）2+1，
再把x＝0，y＝5代入y＝a（x﹣2）2+1，得a＝1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的解析式是y＝（x﹣2）2+1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于y轴对称的函数解析式是y＝（x+2）2+1，
故答案为：y＝（x+2）2+1．
17．解设抛物线的解析式为y＝ax2（a不等于0），桥拱最高点E到水面CD的距离为OE＝hm．
则D（5，﹣h），B（10，﹣h﹣3）
∴，
解得，
∴OE＝1m，
故答案为：1m．
18．解：根据题意，BE＝AE．设BE＝x，则CE＝8﹣x．
在Rt△BCE中，x2＝（8﹣x）2+62，
解得x＝，故CE＝8﹣＝，
∴tan∠CBE＝＝．
故答案为：．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．解：（1）4sin30°+2cos45°﹣tan260°
＝4×+2×﹣（）2
＝2﹣﹣3
＝﹣1﹣；
（2）3（2cos30°﹣sin60°）+（1﹣tan30°）
＝3×（2×﹣）+1﹣
＝3×（﹣）+1﹣
＝3﹣+1﹣
＝+1；
（3）sin260°+cos260°﹣tan45°
＝1﹣1
＝0；
（4）|﹣1|﹣×﹣（5﹣π）0+4cos45°
＝1﹣2﹣1+4×
＝1﹣﹣1+2
＝．
20．解：（1）∵BD＝AB，
∴∠D＝∠BAC，
∵∠ABC＝30°，
∴∠D＝∠DAB＝15°，
（2）∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，
∴AB＝BD＝2，BC＝，
∴CD＝2+，
∵∠D＝15°，
∴∠DAC＝75°，
∴tan75°＝tan∠CAD＝＝2+．
21．解：∵抛物线y＝ax2﹣5ax﹣6a＝a（x﹣6）（x+1），
∴当y＝0时，x＝6或x＝﹣1，当x＝0时，y＝﹣6a，
∵抛物线y＝ax2﹣5ax﹣6a与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，﹣6a），
∵OC＝4OA，
∴﹣6a＝4×|﹣1|，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2﹣5×（﹣）x﹣6×（﹣）＝﹣x2+x+4，
即抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4．
22．解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10m，
∴AD＝ABsin∠ABD＝10×sin30°＝5（m），
在Rt△ACD中，∠ACD＝9°，sin9°＝，
∴AC＝≈≈32.05（m），
答：改造后的斜坡AC的长度约为32.05米．
23．解：（1）把点A（1，m），B（n，2），分别代入得m＝6，2n＝6，解得n＝3，
∴A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），
把A（1，6），B（3，2）分别代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣2x+8；
（2）不等式≥kx+b的解集是0＜x≤1或x≥3．
24．解：（1）设每次下降的百分率是x%，
根据题意得50（1﹣x%）2＝32，
解得x%＝20%，
答：每次下降的百分率是20%；
（2）设每千克应涨价m元，（0＜m≤8），
根据题意得（m+10）（500﹣20m）＝6000，
解得m＝5或m＝10（不符合题意，舍去），
答：每千克应涨价5元；
（3）设商场每天的盈利为y元，由（2）可知：
y＝（10+m）（500﹣20m）＝﹣20m2+300m+5000，
∵﹣20＜0，
∴当x＝﹣＝7.5时，y取最大值，
∴当x＝7.5时，y最大值＝（10+7.5）×（500﹣20×7.5）＝6125（元），
答：应涨价7.5元，每天的盈利达到最大值，最大盈利为6125元．
25．解：∵平行四边形ABCD的面积为12，
∴OA BC＝12，
∴OA＝＝2，
∴A（0，2），
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC＝6，AD∥BC，
∴A、D为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴顶点C的坐标为（3，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2，
把C（0，2）代入得a（﹣3）2＝2，解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2，

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