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5．2.3　简单的复合函数的导数
一、 单项选择题
1. (2021·扬州中学月考)已知f(x)＝e2x－2xf′(0)，则f′(1)等于(　　)
A. e2－ B. 2e2－ C. e＋ln2 D. 2e2－1
2. 函数y＝exsin2x的导数为(　　)
A. y′＝2excos2x
B. y′＝ex(sin2x＋2cos2x)
C. y′＝2ex(sin2x＋cos2x)
D. y′＝ex(2sin2x＋cos2x)
3. 曲线y＝xex－1＋在点(1，2)处的切线斜率等于(　　)
A. 3 B. 4 C. 2e＋1 D.
4. 曲线f(x)＝e4x－x－2在点(0，f(0))处的切线方程是(　　)
A. 3x＋y＋1＝0 B. 3x＋y－1＝0
C. 3x－y＋1＝0 D. 3x－y－1＝0
5. 设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f′(0)等于(　　)
A. 1 B. C. －1 D. －2
6. 已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝sin2x在点P处的切线互相垂直，则的值为(　　)
A. － B. C. －1 D. 1
二、 多项选择题
7. (2021·连城一中月考)下列函数中，满足在x＝1处的导数为－的是(　　)
A. f(x)＝－x2＋lnx
B. f(x)＝xex
C. f(x)＝sin
D. f(x)＝＋
8. 下列命题中，正确的有(　　)
A. 若f(x)＝xsinx＋cos2x，则f′(x)＝sinx－xcosx＋2sin2x
B. 设函数f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝e
C. 若函数f(x)＝3x2e2x，则f′(1)＝12e
D. 设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)＝－
三、 填空题
9. 曲线y＝在x＝0处的切线方程是____________．　
10. 已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．
11. 曲线y＝sin3x在点P处的切线方程为__________．
12. 设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________；该切线与坐标轴围成的面积为________．
四、 解答题
13. 求下列函数的导数：
(1) y＝3－2x＋1；
(2) y＝lg(3x＋5)；
(3) y＝cos(4x－3)；
(4) y＝.
14. 已知曲线y＝e2xcos3x在点(0，1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程．
参考答案与解析
1. B　解析：由f(x)＝e2x－2xf′(0)，得f′(x)＝2e2x－2f′(0)，f′(0)＝2－2f′(0)，f′(0)＝，故f′(x)＝2e2x－，则f′(1)＝2e2－.
2. B　解析：y′＝(ex)′·sin2x＋ex·(sin2x)′＝ex(sin2x＋2cos2x)．
3. A　解析：y′＝ex－1(1＋x)＋，当x＝1时，y′＝3，则切线斜率等于3.
4. D　解析：因为f′(x)＝4e4x－1，所以k＝f′(0)＝3.因为f(0)＝－1，所以y＋1＝3x，即切线方程为3x－y－1＝0.　
5. B　解析：因为f′(x)＝·(3x＋2)′－6x＝－6x，所以f′(0)＝.
6. C　解析：因为y′＝2sinxcosx＝sin2x，所以在点P处的切线斜率为1.又直线ax－by－2＝0与切线垂直，所以斜率＝－1.
7. AD　解析：对于A，f′(x)＝－x＋，f′(1)＝－1＋＝－，故A满足题意； 对于B，f′(x)＝ex＋xex，f′(1)＝2e，故B不满足题意；对于C，f′(x)＝2cos，f′(1)≠－，故C不满足题意；对于D，f′(x)＝－＋，f′(1)＝－1＋＝－，故D满足题意．故选AD.
8. BD　解析：对于A，f′(x)＝sinx＋xcosx－2sin2x，故A错误；对于B，f′(x)＝lnx＋1，则f′(x0)＝lnx0＋1＝2，解得x0＝e，故B正确；对于C，f′(x)＝6xe2x＋6x2e2x，则f′(1)＝12e2，故C错误；对于D，f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，则f′(2)＝－，故D正确．故选BD.
9. x－y＋1＝0　解析：因为y′＝2×＝，所以曲线在x＝0处的切线的斜率为1.当x＝0时，y＝1，所以切点坐标为(0，1)，故切线方程为x－y＋1＝0.
10. 2　解析：由y＝ln(x＋a)，得y′＝.设切点为(x0，x0＋1)，则解得a＝2.
11. 3x＋y－π＝0 　解析：因为y′＝cos3x·(3x)′＝3cos3x，所以曲线y＝sin3x在点P处的切线斜率为3cos＝－3，所以切线方程为y＝－3，即3x＋y－π＝0.
12. 2　 　解析：令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f′(0)．又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，所以a＝2，所以切线方程为y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.令x＝0，得y＝1；令y＝0，得x＝－，所以S＝××1＝.
13. (1) y＝3－2x＋1可由y＝3u，u＝－2x＋1复合而成，
所以y′x＝y′u×(－2)＝－2×3uln3＝－2×3－2x＋1×ln3.
(2) y＝lg(3x＋5)可由y＝lgu，u＝3x＋5复合而成，
所以y′x＝y′u×3＝3·＝.
(3) y＝cos(4x－3)可由y＝cosu，u＝4x－3复合而成，
所以y′x＝y′u×4＝4·(－sinu)＝－4sin(4x－3)．
(4) y＝可由y＝和u＝3－2x复合而成，
所以y′x＝－2×y′u＝－2·＝－.
14. 由题意，得y′＝2e2xcos3x－3sin3x·e2x＝e2x(2cos3x－3sin3x)，　
则过点(0，1)的切线的斜率为2，
所以切线的方程为y＝2x＋1.
设直线l的方程为y＝2x＋b，
则＝＝，
解得b＝6或b＝－4，
故直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.

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